強制機能

Mathematical function

数学において、強制関数とは、それが定義された空間の両端において「急速に増大する」関数のことである。文脈に応じて、この概念の正確な定義は様々に用いられる。

強制ベクトル場

ベクトル場f  : R ⁿ → R ⁿが強制的と呼ばれるのは、 " " が通常のドット積を表し、がベクトルxの通常のユークリッドノルムを表す場合です。 $${\displaystyle {\frac {f(x)\cdot x}{\|x\|}}\to +\infty {\text{ as }}\|x\|\to +\infty ,}$$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \|x\|}$

強制ベクトル場は、コーシー・シュワルツ不等式より、に対して となるため、特にノルム強制的である。しかし、ノルム強制写像f  : R ⁿ → R ⁿは必ずしも強制ベクトル場ではない。例えば、f  : R ² → R ² , f ( x ) = (− x ₂ , x ₁ )の90°回転はノルム強制写像であるが、任意の に対してとなるため、強制ベクトル場にはならない。 ${\displaystyle \|f(x)\|\geq (f(x)\cdot x)/\|x\|}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle f(x)\cdot x=0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$

強制演算子と形式

が実ヒルベルト空間である自己随伴作用素は 、すべてのに対して となる定数が存在するとき、強制的と呼ばれる。 ${\displaystyle A:H\to H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle c>0}$ $${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq c\|x\|^{2}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H.}$

双線型形式 は、すべての​ ${\displaystyle a:H\times H\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c>0}$ $${\displaystyle a(x,x)\geq c\|x\|^{2}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H.}$

リースの表現定理から、任意の対称（におけるすべての に対してと定義される）、連続（におけるすべてのと何らかの定数に対して と定義される）、強制的な双線型形式は、表現 ${\displaystyle a(x,y)=a(y,x)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |a(x,y)|\leq k\|x\|\,\|y\|}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a(x,y)=\langle Ax,y\rangle }$$

何らかの自己随伴作用素に対して、それは強制作用素となる。また、強制的な自己随伴作用素が与えられた場合、上記で定義した双線型形式は強制的である。 ${\displaystyle A:H\to H,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a}$

が強制作用素である場合、それは強制写像である（ベクトル場の強制力の意味で、内積をより一般的な内積に置き換える必要がある）。実際、が大きい（が有界であれば、容易に従える）場合、を に置き換えると、 は強制作用素であることがわかる。また、 が自己随伴である場合、逆が成り立つことも示すことができる。ベクトル場、作用素、双線型形式における強制力の定義は密接に関連し、互換性がある。 ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq C\|x\|}$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\|x\|^{-2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

規範強制マッピング

2つのノルムベクトル空間と間の写像がノルム強制的であるのは、 ${\displaystyle f:X\to X'}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X',\|\cdot \|')}$ $${\displaystyle \|f(x)\|'\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}$$

より一般的には、2つの位相空間と間の関数が強制的であるとは、の任意 のコンパクト部分集合に対して、のコンパクト部分集合が存在し、 ${\displaystyle f:X\to X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f(X\setminus K)\subseteq X'\setminus K'.}$$

全単射な真写像とそれに続く強制写像の合成は強制的である。

（拡張値）強制関数

（拡張値）関数が強制的であるとは 、実数値の強制関数は特にノルム強制的であることを意味する。しかし、ノルム強制的関数は必ずしも強制的であるわけではない。例えば、上の恒等関数はノルム強制的であるが、強制的ではない。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ $${\displaystyle f(x)\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}$$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

参照

• 放射状に非有界な関数
• ラックス・ミルグラムの補題

参考文献

• レナーディ, マイケル; ロジャース, ロバート C. (2004). 『偏微分方程式入門（第2版）』 ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0。
• Bashirov, Agamirza E (2003).従属ノイズ下における部分観測線形システム. バーゼル; ボストン: Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-6999-X。
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). 『楕円型偏微分方程式 2 次』第 2 版ベルリン; ニューヨーク: Springer. ISBN 3-540-41160-7。

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