コヒーレント制御

コヒーレント制御は、光によって動的プロセスを制御する量子力学に基づく手法です。基本原理は、典型的にはレーザーパルスの位相を整形することにより、量子干渉現象を制御することです。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}この基本的な考え方は広く普及し、分光法、質量スペクトル、量子情報処理、レーザー冷却、極低温物理学など、幅広い分野に応用されています。

簡単な歴史

当初のアイデアは化学反応の結果を制御することでした。2つのアプローチが追求されました。

• 時間領域では、パルス間の時間遅延を制御する「ポンプダンプ」方式^{[ 3 ] [ 4 ]}
• 周波数領域では、1つまたは3つの光子によって制御される干渉経路。^{[ 5 ]}

最終的に、この2つの基本的な方法は最適制御理論の導入により統合されました。^{[ 6 ] [ 7 ]}

実験的実現はすぐに時間領域^{[ 8 ]}と周波数領域^{[ 9 ]}で続いた。2つの相互に関連した開発がコヒーレント制御の分野を加速させた。実験的には、空間光変調器によるパルス整形の開発^{[ 10 ] [ 11 ]}とコヒーレント制御への応用^{[ 12 ]}であった。2番目の開発は自動フィードバック制御のアイデア^{[ 13 ]}とその実験的実現であった。^{[ 14 ] [ 15 ]}

制御性

コヒーレント制御は、外部場を介して量子系を初期状態から目標状態へと制御することを目的としています。与えられた初期状態と最終状態（目標状態）に対して、コヒーレント制御は状態間制御と呼ばれます。一般化すれば、任意の初期純粋状態集合を任意の最終状態集合へと同時に制御すること、すなわちユニタリ変換を制御することが可能になります。このような応用は、量子ゲート操作の基礎となります。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

閉じた量子システムの制御可能性は、ターンとクラークによって研究されている。^{[ 19 ]}制御理論 に基づく彼らの定理は、有限次元の閉じた量子システムでは、システムは完全に制御可能である、つまり、 制御演算子と摂動のないハミルトニアンがすべてのエルミート演算子のリー代数を生成する場合、システムの任意のユニタリー変換が適切な制御の適用によって実現できることを示している。 ^{[ 20 ]}完全な制御可能性は、状態間の制御可能性を意味する。

特定の状態間変換のための制御場を見つける計算タスクは困難であり、システムのサイズが大きくなるにつれてさらに困難になる。このタスクは、計算複雑度の高い困難な反転問題のクラスに属する。ユニタリ変換を生成する場を見つけるアルゴリズムタスクは、システムのサイズに応じて階乗的に困難になる。これは、他の制御場と干渉することなく、より多くの状態間制御場を見つける必要があるためである。一般的な量子最適制御問題を解くことは、ディオファントス方程式を解くことと同等であることが示されている。したがって、ヒルベルトの第10問題に対する否定的な答えから、量子最適制御可能性は一般に決定不可能であることがわかる。^{[ 21 ]}

制約が課されると、制御性は低下する可能性があります。例えば、制御目標を達成するために必要な最小時間はどれくらいでしょうか？^{[ 22 ]} これは「量子速度限界」と呼ばれています。この速度限界は、ウラムの制御予想を量子化することで計算できます。^{[ 23 ]}

コヒーレント制御への建設的アプローチ

構成的アプローチでは、制御結果を推測できる事前に決定された制御フィールドのセットを使用します。

時間領域におけるポンプダンプ法^{[ 3 ] [ 4 ]と周波数領域における3対1光子干渉法[ 5 ]}が代表的な例です。もう一つの構成的アプローチは断熱的な考え方に基づいています。最もよく研​​究されている方法は、補助状態を用いて状態間の完全なポピュレーション移動を実現する 誘導ラマン断熱通過STIRAP法^{[ 24 ]です。}

最も一般的なパルス形状の一つはチャープパルス（時間とともに変化する周波数を持つパルス）である。^{[ 25 ] [ 26 ]}

最適な制御

コヒーレント制御に適用される最適制御は、量子システムを目的の方向に導くための最適な制御場を求める。^{[ 6 ] [ 7 ]} 状態間制御の場合、目的は最終時刻Tにおける状態との最大重なりとして定義される。 ${\displaystyle |\phi _{f}\rangle }$

${\displaystyle J=|\langle \psi (T)|\phi _{f}\rangle |^{2}}$

ここで初期状態は である。時間依存制御ハミルトニアンは典型的には次のような形をとる。 ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$

${\displaystyle H(t)=H_{0}+\mu \cdot \epsilon (t)}$

ここでは制御場である。最適制御は、ラグランジュ乗数を導入した変分法を用いて最適場を解く。新しい目的関数が定義される。 ${\displaystyle \epsilon (t)}$ ${\displaystyle \epsilon (t)}$

${\displaystyle J'=J+\int _{0}^{T}\langle \chi (t)|\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}-H(\epsilon (t))\right)|\psi (t)\rangle dt+\lambda \int _{o}^{T}|\epsilon (t)|^{2}dt}$

ここで、はラグランジュ乗数のような波動関数であり、パラメータは積分強度を規定する。をおよびに関して変化させると、 2つの結合したシュレーディンガー方程式が得られる。初期条件 に対する順方向方程式と、最終条件 に対するラグランジュ乗数に対する逆方向方程式である。解を求めるには反復的なアプローチが必要である。制御場を求めるために、クロトフ法などの様々なアルゴリズムが適用されてきた。^{[ 27 ]} ${\displaystyle |\chi \rangle }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle J'}$ ${\displaystyle \delta \epsilon }$ ${\displaystyle \delta \psi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle =|\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\chi \rangle }$ ${\displaystyle |\chi (T)\rangle =|\phi _{f}\rangle }$

局所的な時間的代替手法が開発されており^{[ 28 ]}、各時間ステップにおいて、状態を目標に向けるように場が計算される。関連する手法としてトラッキング^{[ 29 ]と呼ばれるものがある。}

実験的応用

コヒーレント制御の応用例には次のようなものがある。

• 単分子化学反応と二分子化学反応。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}
• レチナールの生物学的光異性化。^{[ 33 ] [ 34 ]}
• 核磁気共鳴の分野。^{[ 35 ]}
• 光会合のための超低温物質の分野。^{[ 36 ]}
• 量子情報処理。^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}
• アト秒物理学。^{[ 41 ] [ 42 ]}

もう一つの重要な問題は、二光子共鳴励起コヒーレント制御のスペクトル選択性である。^{[ 43 ]}ヘリウム原子の1s1s状態から1s3s状態への類似しているが非共鳴の二光子励起は、第一原理量子力学によっても研究されている。^{[ 44 ]}これらの概念は、単一パルスラマン分光法や顕微鏡法にも応用できる。^{[ 45 ]}

量子技術を実現するための基礎の一つとして、最適量子制御は進化を続け、量子強化センシング、単一スピン、光子、原子の操作、光分光法、光化学、磁気共鳴（分光法および医用画像）、量子情報処理、量子シミュレーションなど、多様な分野に拡大しています。^{[ 46 ]}

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さらに読む

• 分子プロセスの量子制御の原理、モシェ・シャピロ、ポール・ブルマー著、250ページ。ISBN 0-471-24184-9. Wiley-VCH、(2003)。
• 「分子プロセスの量子制御」、Moshe Shapiro および Paul Brumer、Wiley-VCH (2012)。
• ライス、スチュアート・アラン、メイシャン・チャオ著『分子動力学の光制御』ニューヨーク：ジョン・ワイリー、2000年。
• アレサンドロ、ドメニコ著『量子制御とダイナミクス入門』CRCプレス、2007年。
• David J. Tannor、「量子力学入門：時間依存の観点」（University Science Books、サウサリート、2007 年）。

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