コヒーレント状態

Specific quantum state of a quantum harmonic oscillator

物理学、特に量子力学において、コヒーレント状態は量子調和振動子の特定の量子状態であり、古典調和振動子の振動挙動に最も近いダイナミクスを持つ状態として説明されることが多い。エルヴィン・シュレーディンガーが1926年にシュレーディンガー方程式の対応原理を満たす解を探しているときに導出したのが、量子ダイナミクスの最初の例であった。^[1]量子調和振動子（したがってコヒーレント状態）は、さまざまな物理システムの量子論で生じる。^[2]たとえば、コヒーレント状態は、2次ポテンシャル井戸に閉じ込められた粒子の振動運動を記述する（初期の参考文献としては、シフの教科書^[3]などを参照）。 コヒーレント状態は、基底状態の波束がシステムの原点から変位しているシステムの状態を記述する。 この状態は、変位に等しい振幅で振動する粒子によって古典解に関連付けることができる。

これらの状態は、低下演算子 の固有ベクトルとして表現され、過剰完備族を形成し、ジョン・R・クローダーの初期の論文で導入されました（例えば^[4]）。 光の量子論（量子電磁力学）やその他のボゾン 量子場理論では、コヒーレント状態は1963年にロイ・J・グラウバーの研究によって導入され、グラウバー状態とも呼ばれています。

コヒーレント状態の概念は大幅に抽象化され、数理物理学および応用数学において主要なテーマとなっており、量子化から信号処理、画像処理に至るまで幅広い応用範囲をカバーしています （数理物理学におけるコヒーレント状態を参照）。このため、量子調和振動子に関連するコヒーレント状態は、正準コヒーレント状態（CCS）、標準コヒーレント状態、ガウス状態、あるいは振動子状態と呼ばれることもあります。

量子光学におけるコヒーレント状態

図1：Nd:YAGレーザーから放射される3つのコヒーレント状態における、光ホモダイン検出法によって測定された電場の位相依存性。電場中の量子ノイズ量は位相とは完全に独立している。電場強度、すなわちコヒーレント状態の振動振幅αが増加すると、量子ノイズまたは不確定性は1/2で一定となり、その影響は次第に小さくなる。電場強度が大きい極限では、この状態はノイズのない安定した古典波の良好な近似値となる。3つの状態の平均光子数は、上から順に⟨n⟩ =4.2、25.2、924.5である^[5]。

図 2: 図 1 に示されている 2 番目のコヒーレント状態に対応する振動波パケット。光場の各位相において、分布は一定幅のガウス分布になります。

図3:図2に示したコヒーレント状態のウィグナー関数。分布は状態の振幅αを中心とし、この点を中心に対称となる。リップルは実験誤差によるものである。

量子光学において、コヒーレント状態とは、量子化された電磁場等の状態を指し^{[2] [6] [7]}、最大のコヒーレンスと古典的な振る舞いを記述する。 エルヴィン・シュレーディンガーは1926年、対応原理を満たすシュレーディンガー方程式の解を求め、これを「最小不確定性」のガウス波束として導出した^[1]。 これは最小不確定性状態であり、位置と運動量の相対分散（自然無次元単位での標準偏差）が等しくなるように単一の自由パラメータが選択され、高エネルギーではそれぞれが等しく小さくなる。

さらに、系のエネルギー固有状態とは対照的に、コヒーレント状態の時間発展は古典的な軌跡に沿って集中する。量子線形調和振動子、ひいてはコヒーレント状態は、幅広い物理系の量子論において現れる。それらは、光の量子論（量子電磁力学）やその他のボゾン 量子場理論において現れる。

最小不確かさのガウス波束はよく知られていましたが、 1963年にロイ・J・グラウバーが電磁場のコヒーレンスの完全な量子論的記述を提供するまで、十分な注目を集めることはありませんでした。^{[8]この点において、} ECG・スダルシャンの同時貢献を無視することはできません。^[9] （ただし、グラウバーの論文には、「これらの状態を -量子状態の生成関数として使用することは、J・シュウィンガーによって既に行われている」という注記があります。 ^[10]）。グラウバーがこれを行うきっかけとなったのは、星の直径を決定するのに使用できる非常に広い基線（数百または数千マイル）の干渉パターンを生成したハンバリー・ブラウン＆トウィスの実験を説明することでした。これは、コヒーレンスのより包括的な理解への扉を開きました。（詳細については、「量子力学的記述」を参照してください。） ${\displaystyle n}$

古典光学では、光は光源から放射される電磁波と考えられています。多くの場合、コヒーレントなレーザー光は、位相が揃っている多数のそのような光源から放射される光と考えられています。実際には、1 つの光子が他の光子と位相が揃っているという考え方は、量子論では成り立ちません。レーザー放射は共鳴空洞内で生成されます。共鳴空洞の共鳴周波数は、場にエネルギー フローを提供する原子電子遷移に関連する周波数と同じです。共鳴モードのエネルギーが増大するにつれて、そのモードのみで誘導放出の確率が増加します。これは、共鳴モードの振幅が非線形効果によって制限されるまで指数関数的に増加する正のフィードバック ループです。反例として、電球は連続したモードに光を放射しますが、あるモードを他のモードよりも優先させるものはありません。放射プロセスは空間的にも時間的にも非常にランダムです (熱光を参照)。しかし、レーザーでは、光は共鳴モードで放射され、そのモードは非常にコヒーレントです。このように、レーザー光はコヒーレント状態として理想化されます。（古典的には、このような状態は安定した波として振動する電場によって記述されます。図1を参照）

コヒーレント状態は、レーザーを記述するだけでなく、ビームスプリッターの量子作用を記述する際にも便利な方法で動作します。2つのコヒーレント状態の入力ビームは、出力で単純に2つのコヒーレント状態ビームに変換され、古典的な電磁波の式で与えられた新しい振幅を持ちます。^[11]このような単純な動作は、数値状態を含む他の入力状態では発生しません。同様に、コヒーレント状態の光ビームが部分的に吸収された場合、残りはより小さな振幅を持つ純粋なコヒーレント状態になりますが、非コヒーレント状態の光の部分吸収は、より複雑な統計的混合状態を生成します。^{[11]熱光はコヒーレント状態の統計的混合として記述でき、}非古典的な光を定義する一般的な方法は、コヒーレント状態の単純な統計的混合として記述できないというものです。^[11]

線形調和振動子のエネルギー固有状態（例えば、バネ上の質量、固体の格子振動、分子中の原子核の振動運動、電磁場の振動）は、固定数の量子状態である。フォック状態（例えば、単一光子）は最も粒子に近い状態であり、粒子の数は固定で、位相は不確定である。コヒーレント状態は、量子力学的不確定性を正準共役座標、位置、運動量に均等に分配し、位相（経験的に定義される）と振幅の相対的な不確定性はほぼ等しく、高振幅では小さくなる。

量子力学的な定義

数学的には、コヒーレント状態は、対応する固有値αを持つ消滅演算子âの（唯一の）固有状態として定義されます。正式には、これは次のように表されます。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ~.}$

âはエルミートではないので、αは一般に複素数です。| α | と θと書くと、これらは状態 の振幅と位相と呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta },}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

関連記事「数理物理学におけるコヒーレント状態」に示されているように、コヒーレント状態には他にも多くの種類があるため、この状態は文献では標準的なコヒーレント状態と呼ばれています。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

物理的には、この式は、コヒーレント状態が場励起や例えば荷電粒子の消滅によって変化しないことを意味します。消滅演算子の固有状態は、以下に示すように、エネルギー固有状態の基底で表すとポアソン分布を持ちます。ポアソン分布は、すべての検出が統計的に独立であるための必要十分条件です。これを単一粒子状態（フォック状態）と比較してみましょう。1つの粒子が検出されると、別の粒子が検出される確率はゼロです。 ${\displaystyle |1\rangle }$

この導出には、量子光学では通常場の求積法と呼ばれる、 （非慣例的に正規化された）無次元演算子XおよびPが用いられる。（無次元化を参照。）これらの演算子は、定数kを持つバネ上の質量mの位置演算子および運動量演算子と関連している。

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{where }}\omega \equiv {\sqrt {k/m}}~.}$

図4：図3のコヒーレント状態におけるn個の光子を検出する確率、すなわち光子数分布。ポアソン分布に必須であるように、平均光子数は光子数分布の分散に等しい。バーは理論値、ドットは実験値を示す。

光学場の場合、

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\cos(\theta )X\qquad {\text{and}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

は体積の空洞内の電場のモードの実数成分と虚数成分である。^[12] ${\displaystyle V}$

これらの（無次元）演算子を用いると、どちらのシステムのハミルトニアンは

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{with}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

エルヴィン・シュレーディンガーは、最小不確実性ガウス波束を初めて導入したとき、最も古典的な状態を模索していました。不確実性関係を最小化し、 XとPの間で不確実性が均等に分配される調和振動子の量子状態は、次の式を満たします 。

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}}$

あるいは、

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle ~,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2}\mid \!\alpha \rangle =1~.}$

したがって、シュレーディンガーは、 (∆ X −∆ P ) ² ≥ 0が与えられたとき、線形調和振動子の最小不確定状態は ( X + iP )の固有状態であることを発見した。âは( X + iP )であるため、これは上記の定義の意味でコヒーレント状態として認識できる。

グラウバーは多光子状態の記法を用いて、電磁場のあらゆる秩序に対して完全なコヒーレンスを持つ状態を消滅演算子の固有状態として特徴付けた。これは数学的な意味では、シュレーディンガーが発見した状態と同じである。コヒーレント状態という名称は、グラウバーの研究後に定着した。

不確実性が最小限に抑えられているものの、 XとPの間で必ずしも均等にバランスが取れていない場合、その状態はスクイーズドコヒーレント状態と呼ばれます。

複素平面（位相空間）におけるコヒーレント状態の位置は、固有値α（または電磁波の場合は同じ複素電場値）によって与えられる位相θと振幅 | α |の古典振動子の位置と運動量を中心とします。図5に示すように、不確実性は全方向に均等に広がり、直径1 ⁄ 2の円盤で表されます。位相が変化すると、コヒーレント状態は原点の周りを円運動し、円盤は歪んだり広がったりしません。これは、量子状態が位相空間の単一点に最も類似した状態です。

図5：コヒーレント状態の位相空間プロット。これは、コヒーレント状態における不確実性が全方向に均等に分布していることを示しています。横軸と縦軸は、それぞれ場のX直交座標とP直交座標です（本文参照）。X軸上の赤い点は、図1における量子ノイズの境界を示しています。詳細については、位相空間定式化の対応する図を参照してください。

振動の振幅が増大しても不確かさ（ひいては測定ノイズ）は 1 ⁄ 2で一定であるため、図1に示すように、状態はますます正弦波に似た挙動を示す。さらに、真空状態はα =0のコヒーレント状態であるため、すべてのコヒーレント状態は真空と同じ不確かさを持つ。したがって、コヒーレント状態の量子ノイズは真空揺らぎに起因すると解釈できる。 ${\displaystyle |0\rangle }$

この表記は フォック状態を指すものではありません。例えば、α = 1の場合、単一光子フォック状態と混同しないように注意する必要があります。単一光子フォック状態も独自の表記で表されます。α = 1の式は、平均光子数が1である状態数のポアソン分布を表します。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle }$

固有値方程式の正式な解は、位相空間内の位置αに変位した真空状態である。すなわち、ユニタリ変位演算子 D ( α )を真空に作用させる ことによって得られる。

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$、

ここでâ = X + iP 、â ^† = X - iPです。

これは、フォック状態の基底におけるコヒーレント状態の表現を用いると、コヒーレント状態を含むほぼすべての結果と同様に容易に理解できる。

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}}|0\rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle ~,}$

ハミルトニアンのエネルギー（数）固有ベクトルは どこにあるか ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle H=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)~,}$

そして最終的な等式はベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式から導かれる。対応するポアソン分布では、 n個の光子を検出する確率は

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}~.}$

同様に、コヒーレント状態における平均光子数は

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

そして分散は

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$。

つまり、検出された数の標準偏差は、検出された数の平方根に比例します。したがって、αが大きい極限では、これらの検出統計は古典的な安定波のものと等価になります。

これらの結果は単一の検出器での検出結果に適用され、したがって1次コヒーレンス（コヒーレンス度を参照）に関連する。しかし、複数の検出器での検出を相関させる測定では、より高次のコヒーレンスが関与する（例えば、2つの検出器における強度相関、2次コヒーレンス）。グラウバーの量子コヒーレンスの定義では、すべてのnに対してn次相関関数（n次コヒーレンス）が関係する。完全なコヒーレント状態では、すべてのn次相関が1（コヒーレント）となる。つまり、すべての次数に対して完全にコヒーレントである。

二次相関係数は、研究対象のビーム内の光子統計の分散の観点から、光子状態のコヒーレンスの度合いを直接的に表す。^[13] ${\displaystyle g^{2}(0)}$

${\displaystyle ~g^{2}(0)=1+{\frac {{\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)-\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle }{(\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle )^{2}}}=1+{\frac {{\rm {Var}}(n)-{\bar {n}}}{{\bar {n}}^{2}}}}$

グラウバーの展開では、コヒーレント状態はポアソン分布に従って分布することが分かる。ポアソン分布の場合、分散は平均に等しい。すなわち、

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=1}$。

2 次相関係数が 1 の場合、コヒーレント状態にある光子は相関がないことを意味します。

ハンバリー・ブラウンとトウィスは、ボーズ・アインシュタイン統計によって記述される熱的非干渉性光源から放出された光子の相関挙動を研究した。ボーズ・アインシュタイン分布の分散は

${\displaystyle {\rm {Var(n)}}={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=2}$。

これは、ハンバリー・ブラウンとトウィスの相関測定に対応し、非コヒーレントなボーズ・アインシュタイン状態にある光子が相関または束になっていることを示しています。

フェルミ・ディラック統計に従う量子は反相関関係にある。この場合、分散は

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}-{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=0}$。

反相関は、2 次相関係数 =0 によって特徴付けられます。

ロイ・J・グラウバーの研究は、ハンバリー・ブラウンとトウィスの研究結果に触発されて行われた。彼らは、各検出器に狭帯域フィルター（部分的な一次コヒーレンス）を配置し、強度変動（二次コヒーレンスの欠如）を利用して長距離（数百から数千マイル）の一次干渉パターンを生成した。（非常に短い時間では、狭帯域フィルターにより、2つの検出器からほぼ瞬間的な干渉パターンが、相対的な位相差のシフトによりランダムに揺れ動く様子が想像できる。同時計数計を用いると、揺れ動く干渉パターンは（両方のビームに共通する）強度が上昇したときに強くなり、そのパターンは背景ノイズよりも強くなる。）光学のほぼすべては一次コヒーレンスに関係していた。ハンバリー＝ブラウンとトウィスの結果を受けて、グラウバーは高次のコヒーレンスの研究を始め、電磁場のあらゆる秩序に対するコヒーレンスの完全な量子論的記述（および信号＋雑音の量子論的記述）を導き出した。彼は「コヒーレント状態」という用語を考案し、古典的な電流が電磁場と相互作用するときにコヒーレンス状態が生成されることを示した。

α ≫ 1では 、図5から、単純な幾何学によりΔθ | α | = 1/2 が成り立つ。このことから、数不確定性と位相不確定性の間にはトレードオフがあり、 Δθ Δn = 1/2 となる。これは、数-位相不確定性関係と解釈されることもあるが、これは正式な厳密な不確定性関係ではない。量子力学には、一意に定義された位相演算子は存在しないからである。^{[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21]}

コヒーレント状態の波動関数

調和振動子の長さ を単位とした のコヒーレント状態ダイナミクス。確率密度と量子位相 (色) を示しています。 ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {10}}}$ ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega }}}$ ${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}}$

コヒーレント状態の波動関数、つまり最小不確実性シュレーディンガー波束を見つけるには、コヒーレント状態における量子調和振動子のハイゼンベルク描像から始めるのが最も簡単です。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

コヒーレント状態は、ハイゼンベルク描像における消滅演算子の固有状態です。

シュレーディンガー描像では、同じ固有値が

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

発生し、

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$。

を操作して得られる座標表現では、これは微分方程式となる 。 ${\displaystyle \langle x|}$

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

これは簡単に解くことができ、

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~,}$

ここで、θ(t)は未決定の位相であり、波動関数がシュレーディンガー方程式を満たすことを要求することで決定されます。

すると、

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

したがって、σは固有値の初期位相となります。

この「最小シュレーディンガー波束」ψ ^(α)の平均位置と運動量は、古典系と同様に振動している。

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle ={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\cos(\sigma -\omega t)~,}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}(t)\rangle ={\sqrt {2m\hbar \omega }}\Im [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {2m\hbar \omega }}\sin(\sigma -\omega t)~.}$

確率密度は、この振動平均を中心としたガウス分布のままであり、

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

正準コヒーレント状態の数学的特徴

これまでに説明した標準的なコヒーレント状態は、それぞれが状態を完全に規定するため、互いに同等な3つの特性を持つ。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

1. これらは消滅演算子の固有ベクトルです。   ${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$
2. これらは、ユニタリ変位演算子を適用することによって真空から得られます。   ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$
3. これらは（バランスのとれた）最小の不確実性の状態です   。 ${\displaystyle \Delta X=\Delta P={\sqrt {\frac {\hbar }{2}}}\,}$

これらの特性はそれぞれ、一般的には互いに異なる一般化につながる可能性がある（これらのいくつかについては、「数理物理学におけるコヒーレント状態」の記事を参照）。コヒーレント状態はフォック状態とは大きく異なる数学的特徴を持つことを強調しておく。例えば、2つの異なるコヒーレント状態は直交しない。

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

（これらは非自己随伴消滅演算子âの固有ベクトルであるという事実に関連しています）。

したがって、振動子が量子状態にある場合、他の量子状態にも非ゼロの確率で存在する （ただし、位相空間において状態が離れているほど、確率は低くなる）。しかし、それらは閉包関係に従うため、任意の状態はコヒーレント状態の集合上に分解できる。したがって、それらは過剰完備基底を形成し、その中で任意の状態を対角分解することができる。これが、グラウバー・スダルシャンP表現の前提である。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \rangle }$

この閉包関係は、量子状態のベクトル空間における恒等演算子Iの分解によって表現できる。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re (\alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

この恒等式の解決は、シーガル・バーグマン変換と密接に関係しています。

もう一つの特徴は、 には固有ケットが存在しない（一方、â には固有角が存在しない）ことである。次の等式は最も近い形式的な代用であり、技術的な計算に有用であることが分かっている。^[22] ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle \langle \alpha |=\left({\partial \over \partial \alpha }+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle \langle \alpha |~.}$

この最後の状態は「アガルワル状態」または光子付加コヒーレント状態として知られ、次のように表される。 ${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

n次の正規化アガルワル状態は次のように表される ^[23] ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$

上記の恒等式の分解は、（簡単のため空間次元を1次元に限定して）方程式の両辺に、位置の固有状態間の行列要素 をとることで導出できる。右辺では、これは直ちにδ(xy)を与える。左辺では、同じことが次の式を代入することで得られる。 ${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

前のセクションの（時間は任意）を使用し、 デルタ関数のフーリエ表現を使用してを積分し、 をガウス積分します。 ${\displaystyle \Im (\alpha )}$ ${\displaystyle \Re (\alpha )}$

特に、ガウスシュレーディンガー波束状態は明示的な値から導かれる。

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi ^{1/4}}}{e^{-{\frac {1}{2}}{(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}+ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )-i\Re (\alpha )\Im (\alpha )}}~.}$

恒等式の解決は、粒子の位置と運動量によっても表現できる。各座標次元について（ に新しい意味を持たせた表記法を用いる）、 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}}\rangle }$

コヒーレント状態の閉包関係は次のように表される。

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~.}$

これは任意の量子力学的期待値に挿入することができ、それを何らかの準古典的な位相空間積分と関連付け、特に、量子力学と一致した 古典的な分割関数の正規化係数の起源を説明します。 ${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$

コヒーレント状態は消滅作用素の正確な固有状態であることに加え、粒子の位置と運動量の近似的な共通固有状態でもある。再び1次元に限定すると、

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\rangle }$

これらの近似値の誤差は 位置と運動量の不確実性によって測定される。

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

熱コヒーレント状態

単一モード熱コヒーレント状態^[24]は、熱混合状態を位相空間で変位させることによって生成される。これは、コヒーレント状態を生成するという観点から真空状態の変位と直接類似している。コヒーレント熱状態の密度行列を演算子表現で表すと、

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}D(\alpha )e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}D^{\dagger }(\alpha ),}$

ここで、 は変位演算子であり、複素振幅 のコヒーレント状態を生成する。また、の分配関数は ${\displaystyle D(\alpha )}$ ${\displaystyle D(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\displaystyle e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }={\frac {1}{1-e^{-\hbar \beta \omega }}}.}$

フォック状態における恒等演算子の展開を用いると、密度演算子の定義は次の形で表すことができる。 ${\displaystyle I\equiv \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|}$

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }D(\alpha )|n\rangle \langle n|D^{\dagger }(\alpha )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|,}$

ここで、 は変位フォック状態を表す。温度がゼロになると、 ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle }$

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\rho (\alpha ,\beta )=\lim _{\beta \to \infty }\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }(1-e^{-\hbar \beta \omega })|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=\sum _{n=0}^{\infty }\delta _{n,0}|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=|\alpha ,0\rangle \langle \alpha ,0|,}$

これはコヒーレント状態の密度行列である。この状態における光子の平均数は以下のように計算できる。

${\displaystyle \langle n\rangle ={\text{Tr}}\{\rho a^{\dagger }a\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{D^{\dagger }(\alpha )a^{\dagger }D({\alpha })D^{\dagger }(\alpha )aD(\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{(a^{\dagger }+\alpha ^{*})(a+\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=}$

${\displaystyle =|\alpha |^{2}{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}+{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{a^{\dagger }ae^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=|\alpha |^{2}+{\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega },}$

最後の項については次のように書くことができる。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega }=-{\frac {\partial }{\partial (\beta \hbar \omega )}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }\right)={\frac {e^{-\beta \hbar \omega }}{(1-e^{-\beta \hbar \omega })^{2}}}.}$

その結果、

${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}+\langle n\rangle _{\text{th}},}$

ここで、熱状態に関して計算された光子数の平均である。ここでは表記を簡単にするために、次のように定義する。 ${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}}$

${\displaystyle \langle O\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{Z}}{\text{tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}O\},}$

そして、私たちは明示的に書きます

${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{e^{\beta \hbar \omega }-1}}.}$

極限ではが得られ、これは零温度における密度行列演算子の式と一致する。同様に、光子数の分散は次のように評価できる。 ${\displaystyle \beta \to \infty }$ ${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\langle n^{2}\rangle -\langle n\rangle ^{2}=\sigma _{\text{th}}^{2}+|\alpha |^{2}\left(1+2\langle a^{\dagger }a\rangle _{\text{th}}\right),}$

となる。平均値（第一モーメント）とは異なり、第二モーメントは熱モーメントおよび量子分布モーメントから切り離すことができないことが分かる。その意味で、変位した熱状態の光子統計は、ポアソン統計とボルツマン統計の和では記述されない。位相空間における初期熱状態の分布は、コヒーレント変位の結果として広がる。 ${\displaystyle \sigma _{\text{th}}^{2}=\langle n^{2}\rangle _{\text{th}}-\langle n\rangle _{\text{th}}^{2}}$

ボーズ・アインシュタイン凝縮体

• ボーズ・アインシュタイン凝縮体（BEC）は、すべて同じ量子状態にあるボソン原子の集合体である。^[25]熱力学系において、基底状態は臨界温度以下、つまり熱ド・ブロイ波長が原子間距離よりも長くなる温度以下で巨視的に占有される。液体ヘリウム4の超流動は、理想気体のボーズ・アインシュタイン凝縮と関連していると考えられている。しかし、^{4 He は強い相互作用を持ち、液体構造因子（2次の統計量）が重要な役割を果たしている。 4} He の超流動成分を表すためにコヒーレント状態を使用することで、超流動における凝縮体と非凝縮体の割合の良好な推定値が得られ、これは低速中性子散乱の結果と一致している。^{[26] [27] [28]}超流動の特殊な性質のほとんどは、超流動成分を表すためにコヒーレント状態を用いることで直接的に得られる。コヒーレント状態とは、体積全体にわたって明確に定義された振幅と位相を持つ、マクロ的に占有された単一体状態として作用する。（⁴ Heの超流動成分は、転移温度でゼロから絶対零度で100%になる。しかし、凝縮率は絶対零度T=0Kで約6%である^{[29] 。）}
• 超流動研究の初期において、オリバー・ペンローズとラース・オンサガーは超流動の指標（「秩序パラメータ」）を提案した。^[30] これは、一次縮約密度行列における巨視的因子化成分（巨視的固有値）によって表された。その後、CNヤン^[31]は、より一般化された巨視的量子コヒーレンスの指標として「非対角長距離秩序」（ODLRO）^[31]を提案した。これは、ボソン系だけでなくフェルミオン系も含む。ODLROは、任意の次数の縮約密度行列に巨視的に大きな因子化成分（固有値）が存在する場合に必ず存在する。超流動は、一次縮約密度行列における大きな因子化成分に対応する。（そして、すべての高次の縮約密度行列は同様に振る舞う。）超伝導は、二次縮約密度行列（「クーパー電子対」）における大きな因子化成分を伴う。
• 超流体におけるマクロな量子コヒーレンスを記述するために使用される縮約密度行列は、放射線におけるコヒーレンスの秩序を記述するために使用される相関関数と形式的に同じです。どちらもマクロな量子コヒーレンスの例です。グラウバーの信号プラスノイズの記述によって与えられる、電磁場におけるマクロ的に大きなコヒーレント成分とノイズは、超流動の二流体モデルにおけるマクロ的に大きな超流体成分と通常の流体成分とを合わせたものと形式的に同じです。
• ラジオ波やテレビ波といった日常的な電磁波も、ほぼコヒーレントな状態（マクロな量子コヒーレンス）の一例です。これは、量子と古典の間の従来の境界線について「考え直す」べき点です。
• 超流動におけるコヒーレンスは、ヘリウム原子のサブセットに起因するものではなく、すべての原子が関与する一種の集団現象です (次のセクションで説明する超伝導におけるクーパー対形成に似ています)。

超伝導において

• 電子はフェルミオンですが、クーパー対を形成するとボソンとして振る舞い、低温で集団的にコヒーレント状態を形成することができます。この対形成は実際には電子同士ではなく、電子がそれらの状態を出入りする際に利用可能な状態において行われます。^[32]クーパー対形成は、超伝導の最初のモデルを指します。^[33]
• これらのコヒーレント状態は、低温超伝導半導体における量子ホール効果などの効果を説明する要素の一部です。

角運動量のコヒーレント状態

• 角運動量演算子 と角運動量量子数を持つ量子系では、角運動量コヒーレント状態は、角運動量の3つの直交座標成分の不確定性の和を最小化する状態として定義できる。 ^[34]状態がこの量を最小化するには、次の単位ベクトルが存在する必要がある。 ${\displaystyle \mathbf {J} =(J_{x},J_{y},J_{z})}$ ${\displaystyle j,}$ $${\displaystyle (\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y}^{2})+(\Delta J_{z})^{2}~,}$$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ $${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} )|\psi \rangle =\hbar j|\psi \rangle ~.}$$

一般化

• これを独立に示したギルモアとペレロモフによれば、コヒーレント状態の構成は群論の問題として捉えられ、したがってコヒーレント状態はハイゼンベルク群とは異なる群と関連付けられ、それが上述の標準的なコヒーレント状態につながる可能性がある。^{[35] [36] [37] [38]さらに、これらのコヒーレント状態は}量子群にも一般化できる可能性がある。これらのトピックは、原著論文を参照しながら、数理物理学におけるコヒーレント状態において詳細に議論されている。

• 量子場理論と弦理論において、無限の自由度を使用して元の真空とは異なる真空期待値を持つ真空状態を定義する場合へのコヒーレント状態の一般化。
• フェルミオン自由度を持つ1次元多体量子系において、低エネルギー励起状態は、粒子-正孔励起を生成するボソン場演算子のコヒーレント状態として近似できる。このアプローチはボソン化と呼ばれる。
• 非相対論的量子力学のガウスコヒーレント状態は、クライン・ゴルドン粒子とディラック粒子の相対論的コヒーレント状態に一般化できる。^{[39] [40] [41]}
• コヒーレント状態はループ量子重力や（半）古典的正準量子一般相対論の構築に関する研究にも登場している。^{[42] [43]}

参照

• 数理物理学におけるコヒーレント状態
• 量子場理論
• 量子光学
• 量子増幅器
• 電磁場
• 一貫性の度合い
• グラウバー多重散乱理論

外部リンク

• 光場の量子状態
• グラウバー状態：量子調和振動子のコヒーレント状態
• 光子統計インタラクティブでコヒーレント状態を測定する

参考文献

1. シュレディンガー、E. (1926)。 「Der stetige Übergang von der Mikro-zur Makromechanik」。Die Naturwissenschaften (ドイツ語)。14 (28)。 Springer Science and Business Media LLC: 664–666。書誌コード:1926NW....14..664S。土井：10.1007/bf01507634。ISSN  0028-1042。S2CID  34680073。
2. JR KlauderとB. Skagerstam、「Coherent States」、World Scientific、シンガポール、1985年。
3. LIシフ、「量子力学」、マグロウヒル、ニューヨーク、1955年。
4. Klauder, John R. (1960). 「通常のc数を用いたスピノル場の作用オプションとファインマン量子化」Annals of Physics . 11 (2). Elsevier BV: 123– 168. Bibcode :1960AnPhy..11..123K. doi :10.1016/0003-4916(60)90131-7. ISSN  0003-4916.
5. Breitenbach, G.; Schiller, S.; Mlynek, J. (1997). 「スクイーズド光の量子状態の測定」(PDF) . Nature . 387 (6632). Springer Nature: 471– 475. Bibcode : 1997Natur.387..471B. doi : 10.1038/387471a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4259166.
6. Zhang, Wei-Min; Feng, Da Hsuan; Gilmore, Robert (1990-10-01). 「コヒーレント状態：理論といくつかの応用」Reviews of Modern Physics 62 ( 4). American Physical Society (APS): 867– 927. Bibcode :1990RvMP...62..867Z. doi :10.1103/revmodphys.62.867. ISSN  0034-6861.
7. JP. Gazeau、「量子物理学におけるコヒーレント状態」、Wiley-VCH、ベルリン、2009年。
8. Glauber, Roy J. (1963-09-15). 「放射場のコヒーレント状態とインコヒーレント状態」. Physical Review . 131 (6). American Physical Society (APS): 2766– 2788. Bibcode :1963PhRv..131.2766G. doi :10.1103/physrev.131.2766. ISSN  0031-899X.
9. Sudarshan, ECG (1963-04-01). 「統計的光ビームの半古典的記述と量子力学的記述の等価性」. Physical Review Letters . 10 (7). American Physical Society (APS): 277– 279. Bibcode :1963PhRvL..10..277S. doi :10.1103/physrevlett.10.277. ISSN  0031-9007.
10. シュウィンガー, ジュリアン (1953-08-01). 「量子化場の理論 III」.フィジカル・レビュー. 91 (3). アメリカ物理学会 (APS): 728– 740.書誌コード: 1953PhRv...91..728S. doi : 10.1103/physrev.91.728. ISSN  0031-899X.
11. レオンハルト、ウルフ (1997).光の量子状態の測定. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-49730-5。
12. 「場のエネルギー密度」www.sjsu.edu。2016年1月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。
13. Pearsall, Thomas P., 「Quantum Photonics, 2nd ed.」 Springer Nature, Cham, Switzerland, 2020, 287頁以降
14. L. SusskindとJ. Glogower、「量子力学的位相と時間演算子」、Physics 1 (1963) 49。
15. Carruthers, P.; Nieto, Michael Martin (1968-04-01). 「量子力学における位相と角度の変数」. Reviews of Modern Physics . 40 (2). American Physical Society (APS): 411– 440. Bibcode :1968RvMP...40..411C. doi :10.1103/revmodphys.40.411. ISSN  0034-6861. S2CID  121002585.
16. Barnett, SM; Pegg, DT (1989). 「エルミート光位相演算子について」. Journal of Modern Optics . 36 (1). Informa UK Limited: 7– 19. Bibcode :1989JMOp...36....7B. doi :10.1080/09500348914550021. ISSN  0950-0340.
17. Busch, P.; Grabowski, M.; Lahti, PJ (1995). 「POV測度を恐れるのは誰か？ 量子位相観測量への統一的アプローチ」Annals of Physics . 237 (1). Elsevier BV: 1– 11. Bibcode :1995AnPhy.237....1B. doi :10.1006/aphy.1995.1001. ISSN  0003-4916.
18. Dodonov, VV (2002-01-08). "「量子光学における『非古典的』状態：最初の75年間の『絞り込み』レビュー」。Journal of Optics B：量子光学および半古典光学。4 ( 1)。IOP Publishing：R1 – R33。doi ： 10.1088/1464-4266/4/1/201。ISSN 1464-4266  。
19. VV DodonovとVIMan'ko（編）、 非古典的光状態の理論、Taylor \& Francis、ロンドン、ニューヨーク、2003年。
20. Vourdas, A (2006-02-01). 「量子力学における解析的表現」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (7). IOP Publishing: R65 – R141 . doi :10.1088/0305-4470/39/7/r01. ISSN  0305-4470.
21. JP. Gazeau、「量子物理学におけるコヒーレント状態」、Wiley-VCH、ベルリン、2009年。
22. Scully, Marlan O.; Zubairy, M. Suhail (1997).量子光学. ケンブリッジ大学出版局, イギリス. p. 67. ISBN 978-0-521-43595-6。
23. Agarwal, GS; Tara, K. (1991-01-01). 「コヒーレント状態における励起によって生成される状態の非古典的性質」. Physical Review A. 43 ( 1): 492– 497. Bibcode :1991PhRvA..43..492A. doi :10.1103/PhysRevA.43.492. PMID  9904801.
24. Oz-Vogt, J.; Mann, A.; Revzen, M. (1991). 「熱コヒーレント状態と熱スクイーズ状態」. Journal of Modern Optics . 38 (12). Informa UK Limited: 2339– 2347. Bibcode :1991JMOp...38.2339O. doi :10.1080/09500349114552501. ISSN  0950-0340.
25. MH Anderson、JR Ensher、MR Matthews、CE Wieman、EA Cornell、「希薄原子蒸気中のボーズ・アインシュタイン凝縮の観測」、Science 269、198 (1995)。
26. Hyland, GJ; Rowlands, G.; Cummings, FW (1970). 「超流動ヘリウム中の平衡凝縮率の実験的決定に関する提案」. Physics Letters A. 31 ( 8). Elsevier BV: 465– 466. Bibcode :1970PhLA...31..465H. doi :10.1016/0375-9601(70)90401-9. ISSN  0375-9601.
27. ⁴ Heにおけるボーズ・アインシュタイン凝縮、位相コヒーレンス、そして二流体挙動」. Physical Review Letters . 92 (13) 135302. アメリカ物理学会 (APS). Bibcode :2004PhRvL..92m5302M. doi :10.1103/physrevlett.92.135302. ISSN  0031-9007. PMID  15089620.
28. Mayers, J. (2006-07-26). 「ボーズ・アインシュタイン凝縮と⁴ He における2つの流体挙動」. Physical Review B. 74 ( 1) 014516. アメリカ物理学会 (APS). Bibcode :2006PhRvB..74a4516M. doi :10.1103/physrevb.74.014516. ISSN  1098-0121.
29. Olinto, AC (1987-04-01). 「超流動He4における凝縮率」. Physical Review B. 35 ( 10). American Physical Society (APS): 4771– 4774. Bibcode :1987PhRvB..35.4771O. doi :10.1103/physrevb.35.4771. ISSN  0163-1829. PMID  9940648.
30. ペンローズ, オリバー; オンサガー, ラース (1956年11月1日). 「ボーズ・アインシュタイン凝縮と液体ヘリウム」.フィジカル・レビュー. 104 (3). アメリカ物理学会 (APS): 576– 584.書誌コード: 1956PhRv..104..576P. doi : 10.1103/physrev.104.576. ISSN  0031-899X.
31. Yang, CN (1962-10-01). 「非対角長距離秩序の概念と液体ヘリウムおよび超伝導体の量子相」.現代物理学レビュー. 34 (4). アメリカ物理学会 (APS): 694– 704. Bibcode :1962RvMP...34..694Y. doi :10.1103/revmodphys.34.694. ISSN  0034-6861.
32. ジョン・バーディーンの章を参照：『協同現象』（H. ハーケン、M. ワグナー編、Springer-Verlag、ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク、1973年）]
33. Bardeen, J.; Cooper, LN; Schrieffer, JR (1957-12-01). 「超伝導理論」. Physical Review . 108 (5). American Physical Society (APS): 1175– 1204. Bibcode :1957PhRv..108.1175B. doi : 10.1103/physrev.108.1175 . ISSN  0031-899X.
34. ペレス、アッシャー（2002年）『量子論：概念と方法』物理学の基礎理論（第1版、2002年版）ドルドレヒト：シュプリンガー社、p.328、ISBN 978-0-306-47120-9。{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)
35. AM Perelomov, 任意のリー群のコヒーレント状態, Commun. Math. Phys. 26 (1972) 222-236; arXiv: math-ph/0203002.
36. A. Perelomov、「一般化されたコヒーレント状態とその応用」、Springer、ベルリン、1986年。
37. ギルモア, ロバート (1972). 「対称化状態の幾何学」Annals of Physics . 74 (2). Elsevier BV: 391– 463. Bibcode :1972AnPhy..74..391G. doi :10.1016/0003-4916(72)90147-9. ISSN  0003-4916.
38. ギルモア、R. (1974)。 「コヒーレント状態の性質について」(PDF)。レビスタ メキシカーナ デ フィシカ。23 ( 1–2 ): 143–187 .
39. G. Kaiser、 「量子物理学、相対性理論、複雑時空：新たな統合に向けて」、北ホラント、アムステルダム、1990年。
40. ST Ali、JP. Antoine、JP. Gazeau、 「コヒーレント状態、ウェーブレットとその一般化」、Springer-Verlag、ニューヨーク、ベルリン、ハイデルベルク、2000年。
41. Anastopoulos, Charis (2004-08-25). 「回転する相対論的粒子の一般化コヒーレント状態」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 37 (36): 8619– 8637. arXiv : quant-ph/0312025 . Bibcode :2004JPhA...37.8619A. doi :10.1088/0305-4470/37/36/004. ISSN  0305-4470. S2CID  119064935.
42. Ashtekar, Abhay; Lewandowski, Jerzy; Marolf, Donald; Mourão, José; Thiemann, Thomas (1996). 「接続空間におけるコヒーレント状態変換」. Journal of Function Analysis . 135 (2): 519– 551. arXiv : gr-qc/9412014 . doi : 10.1006/jfan.1996.0018 . ISSN  0022-1236.
43. Sahlmann, H.; Thiemann, T.; Winkler, O. (2001). 「正準量子一般相対論におけるコヒーレント状態と無限テンソル積拡張」. Nuclear Physics B. 606 ( 1– 2 ). Elsevier BV: 401– 440. arXiv : gr-qc/0102038 . Bibcode :2001NuPhB.606..401S. doi :10.1016/s0550-3213(01)00226-7. ISSN  0550-3213. S2CID  17857852.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Coherent_state&oldid=1315485955"