ビューラウ代表

数学において、ビューラウ表現は組紐群の表現であり、ドイツの数学者ヴェルナー・ビューラウ^[1]が1930年代に初めて研究し、その名にちなんで名付けられました。ビューラウ表現には、簡約ビューラウ表現と非簡約ビューラウ表現という、2つの一般的かつほぼ同等な定式化があります。

意味

被覆空間 $C n は$ 、具体的には次のように考えることができる。境界から印のついた点までの線に沿って円板を切断する。その結果を整数の数だけコピーし、垂直に積み重ね、あるレベルの切断面の片側から下のレベルの切断面のもう片側まで傾斜路で接続する。この手順は $n = 4$ の場合について示されている。被覆変換 $t \pm1$ は、空間を垂直方向にシフトさせる。

組紐群 $B n を$ $n 個の$ マークされた点 $D$ $n$ をもつ円板の写像類群と考える。ホモロジー群 $H$ $1$ $($ $D$ $n$ $)$ は階数 $nの自由アーベル群である。さらに、$ $H$ $1$ $($ $D$ $n$ $)$ の不変部分空間( $B$ $n$ の作用下) は原始的かつ無限巡回的である。 $π$ $:$ $H$ $1$ $($ $D$ $n$ $) \to$ $Z$ をこの不変部分空間への射影とする。すると、この射影写像に対応する被覆空間 $C$ $n$ が存在する。アレクサンダー多項式の構築と同様に、 $H$ $1$ $($ $C$ $n$ $) を被覆変換$ $Z$ $[$ $Z$ $]$ の群環上の加群として考える。これはローラン多項式の環 $Z$ $[$ $t$ $,$ $t$ $-1$ $]$ と同型である。 $Z$ $[$ $t$ $,$ $t$ $-1$ $]$ 加群として、 $H$ $1$ $($ $C$ $n$ $)$ は階数 $n$ $- 1$ から自由である。被覆空間の基本理論によれば、 $B$ $n は$ $H$ $1$ $($ $C$ $n$ $)$ に作用し、この表現は縮小された Burau 表現と呼ばれます。

非縮約Burau表現も同様の定義を持つ。すなわち、 $D n を$ 、マークされた点における（実、有向）ブローアップで置き換える。そして、 $H 1 (C n)$ を考える代わりに、相対ホモロジー $H 1 (C n, Γ)$ を考える。ここで、 $γ \subset D n$ $は、 D n$ の境界のうち、ブローアップ操作と円板境界上の一点に対応する部分である。Γ $は、$ $γ の C n へのリフトを表す。Z [$ $t$ $, t$ −1 ] -加群として $、これはランク n を$ $持た$ ない。

対のホモロジー長完全列により、Burau表現は短完全列に適合する。

0 \to V r \to V u \to D \oplus Z [t, t -1] \to 0,

ここで、 $V r$ （それぞれ $V u$ ）は、それぞれ、縮約された（縮約されていない） $B n$ 加群であり、 $D \subset Z n は$ 、対角部分空間の補空間である。言い換えると、

D=\left\{\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbf {Z} ^{n}:x_{1}+\cdots +x_{n}=0\right\},

そして $B n は$ 置換表現によって $Z n$ に作用します。

明示的な行列

$σ i を$ $組紐群B n$ の標準生成元とすると、非縮約Burau表現は写像によって明示的に与えられる。

\sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc|c}I_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hline 0&0&0&I_{n-i-1}\end{array}}\right),

1 $\leq i \leq n - 1$ 、ここで $I k は$ $k \times k$ 単位行列を表す。同様に $n \geq 3$ の場合、簡約された Burau 表現は次のように与えられる。

\sigma _{1}\mapsto \left({\begin{array}{cc|c}-t&1&0\\0&1&0\\\hline 0&0&I_{n-3}\end{array}}\right),

\sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|ccc|c}I_{i-2}&0&0&0&0\\\hline 0&1&0&0&0\\0&t&-t&1&0\\0&0&0&1&0\\\hline 0&0&0&0&I_{n-i-2}\end{array}}\right),\quad 2\leq i\leq n-2,

\sigma _{n-1}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc}I_{n-3}&0&0\\\hline 0&1&0\\0&t&-t\end{array}}\right),

一方、 $n = 2 の$ 場合は、

\sigma _{1}\mapsto \left(-t\right).

ボウリング場通訳

ヴォーン・ジョーンズ^[2]は、 $t$ が $[0,1]$ の正の組紐の非縮約Burau表現、つまり逆を含まない標準的な組紐群生成子のワードである組紐について、上記の明示的な記述から直ちに導かれる次のような解釈を与えた。

$n$ 本の正の組紐 $σが与えられ、これを$ $n$ 本のレーンが絡み合うボウリング場と解釈する。今、レーンの一つにボウリングのボールを投げ、その進路が他のレーンと交差するすべての交差点において、ボールは確率 $t$ で落下し、下のレーンに沿って進み続けると仮定する。σの非縮約 $Burau$ $表現の($ $i$ $,$ $j$ $)$ 番目の要素は、 $i$ 番目のレーンに投げ込まれたボールが $j$ 番目のレーンに到達する確率である。

アレクサンダー多項式との関係

結び目 $Kが$ $B$ $n$ における組紐 $f$ の閉包である場合、 $Z$ $[$ $t$ $,$ $t$ $-1$ $]$ における単位乗算を除けば、 $K$ のアレクサンダー多項式 $Δ$ $K$ $($ $t$ $)$ は次のように与えられる。

{\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*}),

ここで、 $f *$ は組紐 $f$ の簡約されたBurau表現である。

例えば、 $B$ $3$ において $f = σ 1 σ 2$ の場合、上記の明示的な行列を使うと、

{\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*})=1,

$そしてf *$ の閉包はアレクサンダー多項式が $1 で$ ある非結び目です。

忠実

最初の非忠実な Burau 表現は、John A. Moody によって、コンピュータを使わずに、巻き数または輪郭積分の概念を使って発見されました。^{[3] Darren D. Long と Mark Paton}^[4]によるより概念的な理解では、連結または巻きは被覆空間の基点に対する第 1 ホモロジーのポアンカレ双対性から来るものと解釈され、交差形式(Craig Squier がその特性を最初に探求したため、伝統的に Squier 形式と呼ばれています) が使用されます。^[5] Stephen Bigelow は、コンピュータ技術と Long–Paton 定理を組み合わせて、Burau 表現が $n \geq 5$ に対して忠実ではないことを示しました。^[6]^[7]^[8] Bigelow はさらに、組紐群の標準生成子のワードとして、核の明示的な非自明な元を提供します。

\psi _{1}=\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{4}^{3}\sigma _{3}\sigma _{2},\quad \psi _{2}=\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}\sigma _{4}^{5}.

すると核の要素は交換子によって与えられる。

[\psi _{1}^{-1}\sigma _{4}\psi _{1},\psi _{2}^{-1}\sigma _{4}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{4}\psi _{2}].

$n = 2, 3$ の場合の Burau 表現は、以前から忠実であることが知られている。n = 4 の場合の Burau 表現の忠実性は $未解決問題$ である。Burau 表現は Jones 表現の加数として現れ、 $n = 4の場合、Burau 表現の忠実性は Jones 表現の忠実性と等価である。これは、$ Jones 多項式が非結び目検出器であるかどうかという問題と関連している。^[9]

幾何学

クレイグ・スクワイアは、ビューロー表現がセクニ線型を保つことを示した。^[5] さらに、変数 $t を$ $1$ に近い超越単位複素数に選ぶと、それは正定値エルミート対となる。したがって、組紐群 $B$ $n$ のビューロー表現は、ユニタリ群U( n )への写像と考えることができる。

参考文献

^ ヴェルナー、ブラウ (1936)。「Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen」。ああ。数学。セム。大学ハンブルク。11 : 179–186。土井:10.1007/bf02940722。S2CID 119576586。
^ ジョーンズ、ヴォーン (1987). 「組紐群と連結多項式のヘッケ代数表現」. Annals of Mathematics . 第2シリーズ. 126 (2): 335– 388. doi :10.2307/1971403. JSTOR 1971403.
^ Moody, John Atwell (1993)、「Burau表現の忠実性問題」、アメリカ数学会紀要、119 (2): 671– 679、doi : 10.1090/s0002-9939-1993-1158006-x、JSTOR 2159956、MR 1158006
^ Long, Darren D.; Paton, Mark (1993)、「Burau表現は忠実ではない」、Topology、32 (2): 439– 447、doi : 10.1016/0040-9383(93)90030-Y、MR 1217079 $n\geq 6$
^ ab Squier, Craig C (1984). 「Burau 表現はユニタリである」. Proceedings of the American Mathematical Society . 90 (2): 199– 202. doi : 10.2307/2045338 . JSTOR 2045338.
^ Bigelow, Stephen (1999). 「Burau 表現は $n$ $= 5$ に対して忠実ではない」. Geometry & Topology . 3 : 397–404 . arXiv : math/9904100 . doi :10.2140/gt.1999.3.397. S2CID 5967061.
^ S. Bigelow、国際数学者会議、北京、2002年
^ ウラジミール・トゥラエフ、「組紐群の忠実な表現」、ブルバキ 1999-2000
^ Bigelow, Stephen (2002). 「ジョーンズ多項式は非結び目を検出するか？」. Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 11 (4): 493– 505. arXiv : math/0012086 . doi :10.1142/s0218216502001779. S2CID 1353805.

外部リンク

「Burau の定理」、結び目アトラス。

[burau-1] ヴェルナー、ブラウ (1936)。「Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen」。ああ。数学。セム。大学ハンブルク。11 : 179–186。土井:10.1007/bf02940722。S2CID 119576586。

[Jones-2] ジョーンズ、ヴォーン (1987). 「組紐群と連結多項式のヘッケ代数表現」. Annals of Mathematics . 第2シリーズ. 126 (2): 335– 388. doi :10.2307/1971403. JSTOR 1971403.

[3] Moody, John Atwell (1993)、「Burau表現の忠実性問題」、アメリカ数学会紀要、119 (2): 671– 679、doi : 10.1090/s0002-9939-1993-1158006-x、JSTOR 2159956、MR 1158006

[lp-4] Long, Darren D.; Paton, Mark (1993)、「Burau表現は忠実ではない」、Topology、32 (2): 439– 447、doi : 10.1016/0040-9383(93)90030-Y、MR 1217079 $n\geq 6$

[squier-5] Squier, Craig C (1984). 「Burau 表現はユニタリである」. Proceedings of the American Mathematical Society . 90 (2): 199– 202. doi : 10.2307/2045338 . JSTOR 2045338.

[bigelow-6] Bigelow, Stephen (1999). 「Burau 表現は $n$ $= 5$ に対して忠実ではない」. Geometry & Topology . 3 : 397–404 . arXiv : math/9904100 . doi :10.2140/gt.1999.3.397. S2CID 5967061.

[icm-7] S. Bigelow、国際数学者会議、北京、2002年

[8] ウラジミール・トゥラエフ、「組紐群の忠実な表現」、ブルバキ 1999-2000

[bigelowunknot-9] Bigelow, Stephen (2002). 「ジョーンズ多項式は非結び目を検出するか？」. Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 11 (4): 493– 505. arXiv : math/0012086 . doi :10.1142/s0218216502001779. S2CID 1353805.