行ベクトルと列ベクトル

線形代数において、要素を持つ列ベクトルは、 1列の要素からなる行列[ 1 ^]です。同様に、行ベクトルは1行の要素からなる行列です。たとえば、は列ベクトル、は行行列です。 $m$ $m\times 1$ $m$ $1\times n$ $n$ ${\boldsymbol {x}}$ ${\boldsymbol {a}}$

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.$ （この記事では、行ベクトルと列ベクトルの両方に太字を使用しています。）

任意の行ベクトルの転置（ $Tで示される）$ は列ベクトルであり、任意の列ベクトルの転置は行ベクトルです。転置を2回行うと、元の（行または列）ベクトルが返されます。 ${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.$ $\textstyle {\bigl (}{\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{\rm {T}}={\boldsymbol {x}}$

与えられた体（実数など）における $n$ 個の要素を持つすべての行ベクトルの集合は、 $n$ $次元$ ベクトル空間を形成します。同様に、 $m$ 個の要素を持つすべての列ベクトルの集合は、 $m$ 次元ベクトル空間を形成します。

$n$ 個の要素を持つ行ベクトルの空間は、 $n$ 個の要素を持つ列ベクトルの空間の双対空間と見なすことができます。これは、列ベクトル空間上の任意の線形関数は、一意の行ベクトルの左乗算として表すことができるためです。

表記法

列ベクトルを他のテキストとインラインで記述することを簡略化するために、転置演算を適用した行ベクトルとして記述されることがあります。

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$

または

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$

一部の著者は、列ベクトルと行ベクトルの両方を行として書き、行ベクトルの要素をカンマで、列ベクトルの要素をセミコロンで区切るという慣例も使用しています（下の表の代替表記2を参照）。^[要出典]

	行ベクトル	列ベクトル
標準行列表記（配列スペース、カンマなし、転置記号）	${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
代替表記1 （カンマ、転置記号）	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
代替表記2 （カンマとセミコロン、転置記号なし）	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}$

演算

行列の乗算は、ある行列の各行ベクトルを別の行列の各列ベクトルで乗算する操作を伴います。

座標空間の要素として考えられる2つの列ベクトル $a$ $、$ $b$ のドット積は、 $a$ と $b$ の転置行列の行列積に等しくなります。

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\rm {T}}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,$

ドット積の対称性により、2つの列ベクトル $a$ $、$ $b$ のドット積は、 $b$ と $a$ の転置行列の行列積にも等しくなります

$\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\rm {T}}\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.$

列ベクトルと行ベクトルの行列積は、2つのベクトル $a$ $、$ $b$ の外積を与え、より一般的なテンソル積の例となります。a の $列ベクトル表現と$ $b$ の行ベクトル表現の行列積は、それらの二項積の成分を与えます。

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,$

これは、b の列ベクトル表現と a の行ベクトル表現の行列積の転置です。

$\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.$

行列変換

$n \times$ $n$ $行列$ M $は$ 線形写像 $を$ 表し $、$ $行$ ベクトル $と$ 列ベクトルに線形写像の変換行列として作用します。行ベクトル $v$ の場合、積 $v M$ は別の行ベクトル $p$ です。

$\mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.$

別の $n \times n$ 行列 $Q は$ $p$ に作用します

$\mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.$

$すると、 t = p Q = v MQ$ と書くことができ、行列積変換 $MQ は$ $vを$ $t$ に直接写像します。行ベクトルについて続けると、 $n$ 空間をさらに再構成する行列変換を、前の出力の右側に適用できます。

$n \times n$ 行列作用によって列ベクトルが別の列ベクトルに変換される場合、演算は左側で行われ、

$\mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },$

$v$ $T$ 入力からの合成出力に対する代数式 $QM v T$ が得られます。このように列ベクトルを行列変換の入力として使用すると、行列変換は左側に積み重なります。

参照

注記

^ Artin, Michael (1991). Algebra . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. p. 2. ISBN 0-13-004763-5。

参考文献

Axler, Sheldon Jay (1997)、『Linear Algebra Done Right』（第2版）、Springer-Verlag、ISBN 0-387-98259-0
Lay, David C. (2005年8月22日)、『Linear Algebra and Its Applications』（第3版）、Addison Wesley、ISBN 978-0-321-28713-7
Meyer, Carl D. (2001年2月15日), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-82001年3月1日時点のオリジナルからアーカイブ
プール、デイビッド（2006年）、線形代数：現代入門（第2版）、ブルックス／コール、ISBN 0-534-99845-3
アントン、ハワード（2005年）、初等線形代数（応用版）（第9版）、ワイリー・インターナショナル
レオン、スティーブン・J.（2006年）、線形代数とその応用（第7版）、ピアソン・プレンティス・ホール

[Artin-1] Artin, Michael (1991). Algebra . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. p. 2. ISBN 0-13-004763-5。

v t e 行列（数学）
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