コムフィルタ

信号処理において、コムフィルタとは、信号の遅延バージョンを自身に加算することで実現されるフィルタであり、これにより建設的干渉と破壊的干渉が生じます。コムフィルタの周波数応答は、一定間隔で並んだピーク（歯と呼ばれることもあります）の間に、一定間隔で並んだノッチ（切り込み）の列で構成され、櫛歯のような外観を呈します。

コムフィルタには、フィードフォワードとフィードバックの2 つの形式があります。これらは、信号が入力に追加される前に遅延される方向を指します。

コムフィルタは、非常によく似た離散時間形式または連続時間形式で実装できます。

アプリケーション

コムフィルタは、次のようなさまざまな信号処理アプリケーションで使用されます。

カスケード積分器コム(CIC) フィルター。離散時間システムのサンプルレートを変更する補間および間引き操作中のアンチエイリアシングによく使用されます。
PALおよびNTSCアナログテレビデコーダーのハードウェア (場合によってはソフトウェア) に実装された 2D および 3D コムフィルターは、ドットクロールなどのアーティファクトを削減します。
オーディオ信号処理には、遅延、フランジング、物理モデリング合成、デジタル導波管合成が含まれます。遅延を数ミリ秒に設定すると、コムフィルタは円筒空洞内または振動する弦内の音響定在波の効果をモデル化できます。
天文学では、アストロコムにより既存の分光器の精度がほぼ 100 倍向上すると期待されています。

音響学において、コムフィルタは望ましくないアーティファクトとして発生することがあります。例えば、リスナーから異なる距離にある2つのスピーカーから同じ信号を再生すると、音声にコムフィルタ効果が生じます。 ^[1]密閉空間では、リスナーは直接音と反射音が混ざった音を聞きます。反射音は直接音に比べて長く遅延した経路をたどり、リスナーの耳元で2つの音が混ざり合うことでコムフィルタが形成されます。^[2]同様に、コムフィルタは複数のマイクをモノラルでミキシングした場合にも発生することがあります。そのため、隣接するマイクは音源からマイクまでの距離の少なくとも3倍離す必要があるという3:1ルールがあります。 ^[3]

離散時間実装

フィードフォワード形式

フィードフォワードコムフィルタの一般的な構造は、差分方程式によって記述されます。

y[n]=x[n]+\alpha x[nK]

ここで、は遅延時間（サンプル単位で測定）、 $α$ は遅延信号に適用されるスケーリング係数です。両辺を $Z$ 変換すると、次の式が得られます。 $K$

Y(z)=\left(1+\alpha z^{-K}\right)X(z)

伝達関数は次のように定義されます。

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=1+\alpha z^{-K}={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}

周波数応答

$z$ 領域で表現される離散時間システムの周波数応答は、を代入することによって得られる。ここでは虚数単位、は角周波数である。したがって、フィードフォワードコムフィルタの場合、 $z=e^{j\omega },$ $j$ $\omega$

H\left(e^{j\omega }\right)=1+\alpha e^{-j\omega K}

オイラーの公式を用いると、周波数応答は次のように表される。

H\left(e^{j\omega }\right)={\bigl [}1+\alpha \cos(\omega K){\bigr ]}-j\alpha \sin(\omega K)

多くの場合、位相を無視した振幅応答が注目されます。これは次のように定義されます。

\left|H\left(e^{j\omega }\right)\right|={\sqrt {{\text{Re}}\left\{H\left(e^{j\omega }\right)\right\}^{2}+{\text{Im}}\left\{H\left(e^{j\omega }\right)\right\}^{2}}}

フィードフォワードコムフィルタの場合、次のようになります。

{\begin{aligned}\left|H(e^{j\omega })\right|&={\sqrt {(1+\alpha \cos(\omega K))^{2}+(\alpha \sin(\omega K))^{2}}}\\&={\sqrt {(1+\alpha ^{2})+2\alpha \cos(\omega K)}}\end{aligned}}

項は定数であるのに対し、項は周期的に変化します。したがって、コムフィルタの振幅応答は周期的です。 $(1+\alpha ^{2})$ $2\alpha \cos(\omega K)$

グラフは、いくつかの重要な特性のさまざまな値に対する周期的な振幅応答を示しています。 $\alpha .$

応答は、定期的に極小値(ノッチと呼ばれることもある) まで低下し、定期的に極大値(ピークまたは歯と呼ばれることもある) まで上昇します。
正の値の場合、最初の最小値は遅延周期の半分で発生し、その後は遅延周波数の偶数倍で繰り返されます。 $\alpha ,$

{\begin{aligned}f&={\frac {1}{2K}},{\frac {3}{2K}},{\frac {5}{2K}}\cdots \\\omega &={\frac {\pi }{K}},{\frac {3\pi }{K}},{\frac {5\pi }{K}}\cdots \,\end{aligned}}

最大値と最小値のレベルは常に 1 から等距離にあります。
最小値の振幅がゼロの場合。この場合、最小値はヌルと呼ばれることもあります。 $\alpha =\pm 1,$
の正の値の最大値は、の負の値の最小値と一致し、その逆も同様です。 $\alpha$ $\alpha$

インパルス応答

フィードフォワードコムフィルタは、最も単純な有限インパルス応答フィルタの1つです。^[4]その応答は、最初のインパルスと、遅延後の2番目のインパルスです。

極零点解釈

フィードフォワードコムフィルタの $Z$ 領域伝達関数をもう一度見てみましょう。

H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}

$z K = - α$ のときは分子はゼロになる。この関数は複素平面上の円周上に等間隔に $K個$ の解を持ち、これらが伝達関数の零点となる。分母は $z$ $K$ $= 0$ でゼロとなり、 $z$ $= 0$ に $K$ 個の極が生じる。これにより、図に示すような極零点プロットが得られる。

フィードバックフォーム

同様に、フィードバックコムフィルタの一般的な構造は差分方程式で記述されます。

y[n]=x[n]+\alpha y[nK]

この式は、すべての項が左側に配置されるように並べ替えることができ、その後、 $z$ 変換を行います。 $y$

\left(1-\alpha z^{-K}\right)Y(z)=X(z)

したがって、伝達関数は次のようになります。

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-K}}}={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}

周波数応答

フィードバックコムフィルタの $Z$ 領域式に代入すると次のようになります。 $z=e^{j\omega }$

H\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega K}}}\,,

振幅応答は次のようになります。

\left|H\left(e^{j\omega }\right)\right|={\frac {1}{\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha \cos(\omega K)}}}\,.

グラフが示すように、応答は周期的です。フィードバックコムフィルタは、フィードフォワード型と共通するいくつかの特性を持っています。

応答は定期的に局所的最小値まで低下し、局所的最大値まで上昇します。
の正の値の最大値は、の負の値の最小値と一致し、逆もまた同様です。 $\alpha$ $\alpha ,$
正の値の場合、最初の最大値は 0 で発生し、その後は遅延周波数の偶数倍で繰り返されます。 $\alpha ,$

{\begin{aligned}f&=0,{\frac {1}{K}},{\frac {2}{K}},{\frac {3}{K}}\cdots \\\omega &=0,{\frac {2\pi }{K}},{\frac {4\pi }{K}},{\frac {6\pi }{K}}\cdots \end{aligned}}

ただし、振幅応答には分母に項があるため、いくつかの重要な違いもあります。

最大値と最小値のレベルは1から等距離ではなくなりました。最大値の振幅は $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/1 − α⁠$ 。
フィルタは、 $|$ $α$ $|$ が 1 未満の場合にのみ安定します。グラフからわかるように、 $|$ $α$ $|$ が増加すると、最大値の振幅は急速に増加します。

インパルス応答

フィードバックコムフィルタは、無限インパルス応答フィルタの単純なタイプです。^[5]安定している場合、応答は時間の経過とともに振幅が減少する一連のインパルスの繰り返しで構成されます。

極零点解釈

フィードバックコムフィルタの $Z$ 領域伝達関数をもう一度見てみましょう。

H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}

今回は、分子は $z K = 0$ でゼロとなり、 $z$ $= 0$ に $K 個$ のゼロが存在します。分母は $z$ $K$ $=$ $α$ のときは常にゼロです。これにより、複素平面上の円周上に等間隔に $K$ 個の解が存在します。これらは伝達関数の極です。これにより、以下に示すような極零点プロットが得られます。

連続時間実装

コムフィルタは連続時間で実装することもでき、これはラプラス領域において、Z領域に類似した複素周波数領域パラメータの関数として表すことができます。アナログ回路では、遅延要素として何らかのアナログ遅延線が使用されます。連続時間実装は、それぞれの離散時間実装のすべての特性を共有します。 $s=\sigma +j\omega$

フィードフォワード形式

フィードフォワード形式は次の式で記述できます。

y(t)=x(t)+\alpha x(t-\tau )

ここで、 $τ$ は遅延（秒単位）です。これは以下の伝達関数を持ちます。

H(s)=1+\alpha e^{-s\tau }

フィードフォワード形式は、jω 軸 (フーリエ領域に対応) に沿って間隔をあけた無限の数のゼロで構成されます。

フィードバックフォーム

フィードバックフォームには次の式があります。

y(t)=x(t)+\alpha y(t-\tau )

そして次の伝達関数:

H(s)={\frac {1}{1-\alpha e^{-s\tau }}}

フィードバック形式は、jω 軸に沿って間隔をあけて配置された無限の数の極で構成されます。

参照

参考文献

^ Roger Russell. 「聴覚、コラム、そしてコムフィルタリング」2010年4月22日閲覧。
^ 「Acoustic Basics」. Acoustic Sciences Corporation. 2010年5月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ Burroughs, Lou (1974). Microphones: Design and Application . Sagamore Publishing Company.
^ Smith, JO「フィードフォワード・コムフィルタ」。2011年6月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ Smith, JO「フィードバックコムフィルタ」。2011年6月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズのコムフィルタ関連メディア

[1] Roger Russell. 「聴覚、コラム、そしてコムフィルタリング」2010年4月22日閲覧。

[2] 「Acoustic Basics」. Acoustic Sciences Corporation. 2010年5月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[3] Burroughs, Lou (1974). Microphones: Design and Application . Sagamore Publishing Company.

[4] Smith, JO「フィードフォワード・コムフィルタ」。2011年6月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[5] Smith, JO「フィードバックコムフィルタ」。2011年6月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。