貧弱なセット

位相空間の「小さな」部分集合

一般位相幾何学の数学分野において、貧集合（貧集合、あるいは第一カテゴリの集合とも呼ばれる）とは、位相空間の部分集合であり、任意の空でない開集合に稠密でない部分集合の可算和である。したがって、貧集合は、小さな部分集合の小さな和であるため、ある意味で「小さい」集合である。

固定空間の希薄部分集合は部分集合のσ イデアルを形成します。つまり、希薄集合の任意の部分集合は希薄であり、可算個数の希薄集合の和集合も希薄です。

希薄集合は、ベール空間の概念と、関数解析のいくつかの基本的結果の証明に使用されるベールのカテゴリ定理の定式化において重要な役割を果たします。

定義

全体にわたって、位相空間になります。 ${\displaystyle X}$

希薄集合の定義では、のどこにも稠密でない部分集合、つまり の部分集合の閉包が空の内部構造を持つという概念が用いられます。詳細は関連記事を参照してください。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

のサブセットは ${\displaystyle X}$わずか ${\displaystyle X,}$なまたは ${\displaystyle X,}$のわずかなサブセット ${\displaystyle X}$のどこにも稠密でない部分集合の可算和であるとき、その最初のカテゴリとなる。^[1]そうでなければ、その部分集合は ${\displaystyle X}$非貧弱 ${\displaystyle X,}$なまたは ${\displaystyle X,}$の非わずかな部分集合 ${\displaystyle X.}$^[1]の2番目のカテゴリでは、周囲の空間が固定されており、文脈から理解される場合は 修飾語「in」を省略できます。 ${\displaystyle X}$

位相空間は貧弱な（それぞれ、非貧弱) は、それ自身の貧弱な (または非貧弱な) サブセットである場合に発生します。

のサブセットは ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$または ${\displaystyle X,}$で来る ${\displaystyle X,}$において剰余集合 場合、剰余集合は剰余集合となる。（この接頭辞「co」の使用法は、「c​​ofinite」などの他の用語での使用法と一致している。）部分集合が剰余集合となるのが、それぞれの内部が剰余集合において稠密であるような集合の共通集合場合のみである ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

用語に関する注釈

非少集合と共集合の概念を混同してはならない。空間が少集合である場合、すべての部分集合は少集合と共集合の両方であり、非少集合は存在しない。空間が非少集合である場合、いかなる集合も少集合と共集合の両方ではなく、すべての共集合は非少集合であり、共集合ではない、つまり非少集合の補集合を持つ非少集合が存在する可能性がある。以下の例を参照のこと。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

用語の追加として、位相空間の部分集合に から誘導される部分空間位相が与えられた場合、その部分集合は希薄空間、すなわち（それ自体を位相空間とみなした場合）自身の希薄部分集合であると言える。この場合、は の希薄部分空間とも呼ばれ、部分空間位相が与えられた場合に希薄空間となる。重要なのは、これは空間 全体において希薄であることとは異なるということである。（両者の関係については、以下の「性質」および「例」のセクションを参照のこと。）同様に、非希薄部分空間はそれ自体が非希薄である集合であるが、これは空間全体において非希薄であることとは異なる。ただし、位相ベクトル空間の文脈において、一部の著者は「希薄/非希薄部分空間」という語句を、空間全体に対して希薄/非希薄集合であるベクトル部分空間の意味で用いる場合があることに注意されたい。^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

第一カテゴリーと第二カテゴリーという用語は、ルネ・ベールが1899年の論文で最初に使用した用語である。^[3] この貧弱な用語は、 1948年にブルバキによって導入された。 ^{[4] [5]}

例

空集合は常に、あらゆる位相空間のどこにも稠密でない閉じた（したがって、乏しい）部分集合です。

非貧弱な空間では、集合は貧弱である。集合は非貧弱かつ貧弱である。 ${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$

非僅少空間において、この集合は非僅少である。しかし、その補集合も非僅少であるため、この集合は僅少ではない。 ${\displaystyle X=[0,2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (1,2]}$

孤立点を持たない可算T ₁空間は貧弱である。したがって、それを部分空間として含む任意の空間においても貧弱である。例えば、は の貧弱部分空間（つまり、 から誘導される部分空間位相を持つそれ自体が貧弱である）であり、 の貧弱部分集合でもある。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

カントール集合はのどこにも稠密ではなく、したがって では希薄です。しかし、それは完全な距離空間 であるため、それ自体では非希薄です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

集合 はにおいて稠密ではないが、 において希薄である。また、 自身は非希薄である（部分空間として孤立点を含むため）。 ${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

直線は平面上では希薄です が、非希薄な部分空間です。つまり、直線自体は非希薄です。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

集合 はの希薄部分集合であるが、その希薄部分集合は非希薄部分空間である（つまり、は希薄位相空間ではない）。^[6]孤立点を 含まない可算ハウスドルフ空間は希薄であるが、孤立点を含む位相空間は非希薄である。^[6]有理数は可算である ため、実数の部分集合としても空間としても希薄である。つまり、有理数はベール空間を形成しない。 ${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

孤立点を含む位相空間は非貧弱である^[6]（孤立点を含む集合はどこにも稠密でない集合にはなり得ないため）。特に、空でない離散空間はすべて非貧弱である。

実数の部分集合が存在し、その集合は任意の空でない開集合を2つの非凡集合に分割する。つまり、任意の空でない開集合 に対して、集合と はどちらも非凡集合である。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\cap H}$ ${\displaystyle U\setminus H}$

一様収束の位相を持つ上の連続実数値関数の空間において、ある点で微分可能な上の連続実数値関数の集合は、貧弱である。 ^{[7] [8]}は完備計量空間である ため、貧弱ではない。したがって、上の連続実数値でどこでも微分不可能な関数からなるの補集合は、貧弱かつ非貧弱である。特に、その集合は空ではない。これは、どこでも微分不可能な連続関数の存在を示す一つの方法である。 ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1],}$

無限次元バナッハ空間上には、核が非貧弱な不連続線型関数が存在する。 ^[9]また、マーティンの公理によれば、各可分バナッハ空間上には、核が貧弱な不連続線型関数が存在する（この主張はウィランスキー＝クレー予想^[10]を反証する）。^[9]

特徴づけと十分条件

空でないベール空間はすべて非貧弱である。ベール圏定理によれば、これは空でない完備 （擬似）距離空間と局所コンパクト・ ハウスドルフ空間にも当てはまる。しかし、ベール空間ではない非貧弱空間も存在する。^[6]

あらゆるどこにも稠密でない部分集合は貧弱な集合である。^[11]従って、の内部が空である の閉部分集合は、 の最初のカテゴリに属する​​（つまり、 の貧弱な部分集合である）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

希薄集合の任意の部分集合は希薄集合であり、可算個数の希薄集合の和集合も希薄集合である。^[11]が同相写像である とき、部分集合が希薄集合であるための必要十分条件は、 が希薄集合である場合である。^[11] ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle h(S)}$

そのバナッハのカテゴリー定理^[12]は、任意の空間において、第1カテゴリーの開集合の族の和集合は第1カテゴリーになることを述べている。 ${\displaystyle X,}$

希薄集合のすべての部分集合とすべての可算和は希薄である。したがって、固定空間の希薄部分集合は、部分集合のσ-イデアル、つまり無視可能な集合の適切な概念を形成する。双対的に、共同集合のすべてのスーパーセットとすべての可算積は共同である。非希薄集合のすべてのスーパーセットは非希薄である。

から誘導される部分空間位相を持つと仮定する。 集合はでは希薄であるがでは希薄ではない可能性がある 。しかし、次の結果が成り立つ：^[5] ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

• がわずかであれば、がわずかであれば ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• が開いている場合、がわずかである場合、そしてそれがわずかである場合に限り、 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• が密であれば、が乏しければ、が乏しければ、 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

同様に、非貧弱集合の場合も同様です。

• が で非貧弱であれば はで非貧弱である ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y.}$
• が開いている場合、が で非貧弱であるとき、かつ が で非貧弱であるときのみ、 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• が密であれば、が非希薄であり、かつ、が非希薄である場合に限ります。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

特に、 の任意の部分集合でそれ自体が希薄であるものは、 において希薄であり、 の任意の部分集合でそれ自体が非希薄であるものは、それ自体が非希薄である。また、 の開集合または稠密集合の場合、において希薄であることはそれ自体が希薄であることと同義であり、非希薄であることも同様である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

位相空間が非貧弱であるための必要十分条件は、その中の稠密開集合の可算交差がすべて空でない場合である。^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

プロパティ

の任意のどこにも稠密でない部分集合は貧弱である。したがって、内部が空である任意の閉部分集合は貧弱である。したがって、 の閉部分集合で の第二カテゴリに属する​​ものは、 ^[14]の内部が空でない必要がある（そうでなければ、 の閉部分集合はどこにも稠密でなく、第一カテゴリに属する​​ため）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

が の2番目のカテゴリに属し、がのサブセットであって、少なくとも1つがの2番目のカテゴリに属する​​場合、 ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

貧部分集合とルベーグ測度

正のルベーグ測度を持つ稠密部分集合（したがって貧部分集合）は存在しない。^[6]

における貧弱な集合はルベーグ測度が0である必要はなく、完全な測度を持つことさえある。例えば、区間 における肥大なカントール集合は、スミス・ヴォルテラ・カントール集合と同様に、どこにも稠密でない閉集合であり、 に任意に近い測度で構成することができる。 測度が に近づくような可算数のこのような集合の和集合は、の貧弱な部分集合を与え、 は測度^{[15]を持つ[16]。} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

双対的に、測度がゼロである非希薄集合が存在する。における測度がゼロである任意の希薄集合（例えば前段落のもの）の補集合は測度を持ち、 において同色であり、したがって はベール空間である ため において非希薄である。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

以下は、 の、大きさ を持つ非貧弱な集合の別の例です。ここで、 は有理数を列挙するシーケンスです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$

ボレル階層との関係

どこにも存在しない稠密な部分集合は閉じている必要はなく、閉じたどこにも存在しない稠密な部分集合 (つまり、その閉包) に必ず含まれるのと同様に、貧集合は集合(閉集合の可算な和集合) である必要はなく、どこにも存在しない稠密な集合から作られた集合 (各集合の閉包を取ることによって) に必ず含まれます。 ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$

双対的に、どこにも存在しない稠密集合の補集合は必ずしも開集合である必要はなく、稠密な内部空間（稠密な開集合を含む）を持つのと同様に、共集合は必ずしも集合（開集合の可算な共通集合）である必要はなく、稠密な開集合から形成された稠密な集合を含む。 ${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

バナッハ・マズールゲーム

希薄集合は、バナッハ・マズールゲームという便利な別の特徴付けを持つ。が位相空間、が のサブセットの族で、そのサブセットが空でない内部を持ち、すべての空でない開集合には に属するサブセットがあり、が の任意のサブセットであるとする と、バナッハ・マズールゲームが成立する 。バナッハ・マズールゲームでは、2 人のプレーヤー、 、が交互に の小さい要素を順に選択して、数列 を生成する。この数列の交差に の点が含まれる場合、 プレーヤーが勝ち、そうでない場合、プレーヤーが勝ちとなる。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Q}$

定理-上記の基準を満たすものについては、 が貧弱である場合に限り、プレイヤーは勝利戦略を持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$

エルデシュ・シェルピンスキー双対性

希薄集合に関する多くの議論は、空集合、すなわちルベーグ測度が 0 の集合にも当てはまります。エルデシュ・シェルピンスキーの双対定理によれば、連続体仮説が成り立つ場合、実数から実数への反転が存在し、実数の空集合の像は希薄集合となり、その逆もまた同様となります。^[16]実際、写像の下の実数集合の像が零となるのは、元の集合が希薄である場合のみであり、その逆もまた同様です。^[17]

参照

• バレル空間 – 位相ベクトル空間の種類
• 一般的な性質 – 典型的な例、残余の類似例に対する性質の保持
• 無視できる集合 – 数学的に重要でないとみなされる集合。
• ベールの性質 – 開集合と希薄集合の差

注記

1. Narici & Beckenstein 2011、p. 389。
2. Schaefer, Helmut H. (1966). 「位相ベクトル空間」. Macmillan.
3. ベア、ルネ (1899)。 「変数の機能に関する説明」。アンナリ・ディ・マット。 Pura ed Appl . 3：1～ 123。、65ページ
4. オックストビー、J. (1961)。 「ベア空間のデカルト積」(PDF)。数学の基礎。49 (2): 157–166 .土井:10.4064/fm-49-2-157-166。「ブルバキによれば、位相空間は、次の場合、ベール空間と呼ばれます...」
5. ブルバキ 1989年、192ページを参照。
6. Narici & Beckenstein 2011、pp. 371–423。
7. Banach、S. (1931)。 「Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen」。ステューディア数学。 3 (1): 174–179 .土井: 10.4064/sm-3-1-174-179。
8. ウィラード2004、定理25.5。
9. 「バナッハ空間の適切な線形部分空間は常に貧弱か？」
10. 「研究上の問題」（PDF）。2015年9月26日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
11. Rudin 1991、43ページ。
12. オックストビー 1980、62ページ。
13. ウィラード2004、定理25.2。
14. ルディン1991年、42～43頁。
15. 「貧弱ではない測度零点集合は存在するか？」MathOverflow。
16. Quintanilla, M. (2022). 「集合論の内部モデルにおける実数」. arXiv : 2206.10754 [math.LO].（25ページ）
17. S. Saito, エルデシュ-シェルピンスキー双対定理、注釈。2023年1月18日にアクセス。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1967]。一般トポロジー 2: 第 5 章から第 10 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。 Vol. 4. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063。
• オクストビー, ジョン・C. (1980). 「バナッハの圏定理」. 『測度と圏』（第2版）. ニューヨーク: シュプリンガー. pp.  62– 65. ISBN 0-387-90508-1。
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。

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