Mathematics construct
数学 において 、 コンマ圏は 圏論 における構成概念である。これは 射を 別の視点から見る方法を提供する。つまり、ある 圏 の対象を単に互いに 関連付けるのではなく、射自体が独立した対象となる。この概念は1963年に FW Lawvere によって導入された（Lawvere, 1963 p. 36）が、この手法が 広く知られるようになるのはずっと後のことである （[ 要出典 ]） 。 スライス圏の特殊なケースなど、いくつかの数学概念はコンマ圏として扱うことができる。コンマ圏はまた、いくつかの 極限 と 余極限 の存在を保証する 。この名称は、Lawvereが最初に使用した、 句読点としてコンマを 用いた表記法に由来する。標準的な表記法が変更された後も、この名称は存続している。これは、演算子としてのコンマの使用は混乱を招く可能性があり、Lawvere自身も情報量の少ない「コンマ圏」という用語を嫌っているためである（Lawvere, 1963 p. 13）。
意味 最も一般的なコンマ圏の構築には、 同じ余域を持つ2つの 関手が関与します。多くの場合、これらのうちの1つは領域 1 （1対象1射圏）を持ちます。圏論の一部の説明では、これらの特殊なケースのみを考慮しますが、コンマ圏という用語は実際にははるかに一般的な意味を持ちます。
、、 が カテゴリであり、 および （ソースとターゲットに対して）が 関数で あるとします 。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} S {\displaystyle S} T {\displaystyle T}
コンマカテゴリは 次のように形成できます。 ( S ↓ T ) {\displaystyle (S\downarrow T)}
オブジェクトはすべて 、 内のオブジェクト、 内のオブジェクト 、および 内の射 を持つ3 つ組です 。 ( A , B , h ) {\displaystyle (A,B,h)} A {\displaystyle A} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} B {\displaystyle B} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} h : S ( A ) → T ( B ) {\displaystyle h:S(A)\rightarrow T(B)} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} からへ の射は すべて 、 と が それぞれと における 射であるようなペアであり 、次の図は と 可換である 。 ( A , B , h ) {\displaystyle (A,B,h)} ( A ′ , B ′ , h ′ ) {\displaystyle (A',B',h')} ( f , g ) {\displaystyle (f,g)} f : A → A ′ {\displaystyle f:A\rightarrow A'} g : B → B ′ {\displaystyle g:B\rightarrow B'} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} コンマ図 射は、後者の式が定義されている場合はいつでも、を とすることで合成されます 。オブジェクト上の恒等射 は です 。 ( f ′ , g ′ ) ∘ ( f , g ) {\displaystyle (f',g')\circ (f,g)} ( f ′ ∘ f , g ′ ∘ g ) {\displaystyle (f'\circ f,g'\circ g)} ( A , B , h ) {\displaystyle (A,B,h)} ( i d A , i d B ) {\displaystyle (\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})}
スライスカテゴリー 最初の特殊なケースは 、 のとき、関数が 恒等関数 であり 、 （1つの対象と1つの射を持つ圏 ）であるときに発生します。そして、 内の 何らかの対象に対して、 となります 。 C = A {\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {A}}} S {\displaystyle S} B = 1 {\displaystyle {\mathcal {B}}={\textbf {1}}} ∗ {\displaystyle *} T ( ∗ ) = A ∗ {\displaystyle T(*)=A_{*}} A ∗ {\displaystyle A_{*}} A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
この場合、コンマ圏は と表記され 、 上の スライス圏、または 上のオブジェクト の圏と呼ばれることが多い 。オブジェクトはのペア （ ） に簡略化できる 。 は で表されることもある。スライス圏における から への 射 は 矢印 に簡略化でき、 以下の図式は可換となる。 ( A ↓ A ∗ ) {\displaystyle ({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})} A ∗ {\displaystyle A_{*}} A ∗ {\displaystyle A_{*}} ( A , ∗ , h ) {\displaystyle (A,*,h)} ( A , h ) {\displaystyle (A,h)} h : A → A ∗ {\displaystyle h:A\rightarrow A_{*}} h {\displaystyle h} π A {\displaystyle \pi _{A}} ( f , i d ∗ ) {\displaystyle (f,\mathrm {id} _{*})} ( A , π A ) {\displaystyle (A,\pi _{A})} ( A ′ , π A ′ ) {\displaystyle (A',\pi _{A'})} f : A → A ′ {\displaystyle f:A\rightarrow A'}
スライス図
Cosliceカテゴリー スライス圏の双対概念 は コスライス圏である。ここで 、は定義 域を持ち 、 は恒等関数である。 C = B {\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}} S {\displaystyle S} 1 {\displaystyle {\textbf {1}}} T {\displaystyle T}
この場合、コンマ圏は と表記されることが多く 、 は によって選択された の対象です 。これは に関する 余スライス圏、または の下の対象 の圏と呼ばれます 。対象は の対です 。 と が与えられた場合 、余スライス圏の射 は次の図式が可換となる 写像です。 ( B ∗ ↓ B ) {\displaystyle (B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})} B ∗ = S ( ∗ ) {\displaystyle B_{*}=S(*)} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} S {\displaystyle S} B ∗ {\displaystyle B_{*}} B ∗ {\displaystyle B_{*}} ( B , ι B ) {\displaystyle (B,\iota _{B})} ι B : B ∗ → B {\displaystyle \iota _{B}:B_{*}\rightarrow B} ( B , ι B ) {\displaystyle (B,\iota _{B})} ( B ′ , ι B ′ ) {\displaystyle (B',\iota _{B'})} g : B → B ′ {\displaystyle g:B\rightarrow B'}
コスライス図
矢印カテゴリ S {\displaystyle S} および は (したがって) 上の 恒等関数 である 。 T {\displaystyle T} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} A = B = C {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}
この場合、コンマ圏は矢印圏である 。その対象は の射であり 、その射は 内の可換な平方である 。 [1] C → {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
矢印図
その他のバリエーション スライスまたはコスライスカテゴリの場合、恒等関数を他の関数に置き換えることができます。これにより、 随伴関数 の研究に特に役立つカテゴリのファミリが生成されます。たとえば、が アーベル群 をその 基礎集合 にマッピングする 忘却関数 であり 、が 何らかの固定された 集合（ 1 からの関数と見なされる ）である場合、コンマカテゴリには、から 群の基礎集合 に マッピングされるオブジェクトが含まれます。これは、 の左随伴、つまり、集合をその集合を基底とする 自由アーベル群 にマッピングする関数に関係します 。特に、 の 初期オブジェクト は 標準的な注入 であり 、は によって生成される自由群です 。 T {\displaystyle T} s {\displaystyle s} ( s ↓ T ) {\displaystyle (s\downarrow T)} s {\displaystyle s} T {\displaystyle T} ( s ↓ T ) {\displaystyle (s\downarrow T)} s → T ( G ) {\displaystyle s\rightarrow T(G)} G {\displaystyle G} s {\displaystyle s}
の対象はから へ の射 、あるいは 定義域を持つ -構造射と 呼ばれる 。 [1] の対象はから へ の射 、あるいは 余定義域を持つ -共構造射と 呼ばれる 。 [1] ( s ↓ T ) {\displaystyle (s\downarrow T)} s {\displaystyle s} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} s {\displaystyle s} ( S ↓ t ) {\displaystyle (S\downarrow t)} S {\displaystyle S} t {\displaystyle t} S {\displaystyle S} t {\displaystyle t}
もう一つの特殊なケースは、 と が両方 とも 定義域 を持つ関数である場合です 。 との場合、 と 表記される コンマ圏 は、 から へ の射を対象とする 離散圏 です 。 S {\displaystyle S} T {\displaystyle T} 1 {\displaystyle {\textbf {1}}} S ( ∗ ) = A {\displaystyle S(*)=A} T ( ∗ ) = B {\displaystyle T(*)=B} ( S ↓ T ) {\displaystyle (S\downarrow T)} ( A ↓ B ) {\displaystyle (A\downarrow B)} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
挿入子 圏は 、コンマ圏の（非完全な）部分圏であり 、 と が必須である。コンマ圏は と の挿入子とも見ることができ 、 ここで とは 積圏 からの2つの射影関手である 。 A = B {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}} f = g {\displaystyle f=g} S ∘ π 1 {\displaystyle S\circ \pi _{1}} T ∘ π 2 {\displaystyle T\circ \pi _{2}} π 1 {\displaystyle \pi _{1}} π 2 {\displaystyle \pi _{2}} A × B {\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}
プロパティ 各コンマカテゴリには、そこからの忘却関数が存在します。
ドメイン関数 は 、次のものをマッピングします。 S ↓ T → A {\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {A}}} オブジェクト: ; ( A , B , h ) ↦ A {\displaystyle (A,B,h)\mapsto A} 射影: ; ( f , g ) ↦ f {\displaystyle (f,g)\mapsto f} 余域関数 は 、次のものをマッピングします。 S ↓ T → B {\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {B}}} オブジェクト: ; ( A , B , h ) ↦ B {\displaystyle (A,B,h)\mapsto B} 射影: . ( f , g ) ↦ g {\displaystyle (f,g)\mapsto g} 矢印関数 は 、次のものをマッピングします。 S ↓ T → C → {\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {C}}^{\rightarrow }} オブジェクト: ; ( A , B , h ) ↦ h {\displaystyle (A,B,h)\mapsto h} 射影: ; ( f , g ) ↦ ( S f , T g ) {\displaystyle (f,g)\mapsto (Sf,Tg)}
使用例
注目すべきカテゴリー いくつかの興味深いカテゴリは、コンマ カテゴリの観点からは自然な定義を持っています。
尖端集合 の圏は コンマ圏であり、は （任意の 単集合 を選択する関数）であり 、 は （の恒等関数） 集合圏である 。この圏の各対象は集合であり、集合の要素を選択する関数、すなわち「基底点」を伴う。射写像は、基底点を基底点に写す集合上の関数である。同様に、 尖端空間 の圏を形成することもできる。 ( ∙ ↓ S e t ) {\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}} ∙ {\displaystyle \scriptstyle {\bullet }} S e t {\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }} ( ∙ ↓ T o p ) {\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )}} 環上の結合的代数の圏は コスライス圏 である 。なぜなら、任意の環準同型は 上に 結合的 -代数構造を誘導し、その逆もまた成り立つからである。したがって、射写像は 図式を可換にする 写像である。 R {\displaystyle R} ( R ↓ R i n g ) {\displaystyle \scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring} )}} f : R → S {\displaystyle f:R\to S} R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} h : S → T {\displaystyle h:S\to T} グラフ のカテゴリ は であり 、 関数は集合 を に取ります 。この場合、オブジェクトは 2つの集合と1つの関数で構成されます。 はインデックス集合、 はノード集合、 は からの各入力に対して の要素のペアを選択します 。つまり、 は可能なエッジの 集合から特定のエッジを選択します 。このカテゴリの射は、インデックス集合とノード集合の2つの関数で構成されます。これらの関数は、上記の一般的な定義に従って「一致」する必要があり、つまり は を満たしている必要があります 。言い換えれば、インデックス集合の特定の要素に対応するエッジは、変換されたときに、変換されたインデックスのエッジと同じである必要があります。 ( S e t ↓ D ) {\displaystyle \scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}} D : S e t → S e t {\displaystyle \scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }} s {\displaystyle s} s × s {\displaystyle s\times s} ( a , b , f ) {\displaystyle (a,b,f)} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} f : a → ( b × b ) {\displaystyle f:a\rightarrow (b\times b)} b {\displaystyle b} a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} b × b {\displaystyle b\times b} ( g , h ) : ( a , b , f ) → ( a ′ , b ′ , f ′ ) {\displaystyle (g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')} f ′ ∘ g = D ( h ) ∘ f {\displaystyle f'\circ g=D(h)\circ f} 多くの「拡張」または「ラベル付け」操作は、コンマ圏を用いて表現できます。 を各グラフをその辺の集合へと導く関手とし、 を （ある特定の集合を選択する関手）とします。すると、 は の元によって辺がラベル付けされるグラフの圏となります 。この形式のコンマ圏は、しばしば 上のオブジェクトと呼ばれ 、 上 で述べた「 上のオブジェクト」と密接に関連しています 。ここで、各オブジェクトは の形を取ります。 ここで はグラフであり、の辺から へ の関数です 。グラフのノードは、基本的に同じ方法でラベル付けできます。 S {\displaystyle S} A {\displaystyle A} ( S ↓ A ) {\displaystyle (S\downarrow A)} A {\displaystyle A} S {\displaystyle S} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} ( B , π B ) {\displaystyle (B,\pi _{B})} B {\displaystyle B} π B {\displaystyle \pi _{B}} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} ある圏が 局所カルティシアン閉で あるとは、その圏のすべてのスライスが カルティシアン閉であることを意味する（ スライス の概念については上記を参照）。局所カルティシアン閉圏は、 従属型理論 の分類圏である 。
極限と普遍射 コンマ圏における極限 と 余極限は 「継承」される可能性がある。 と が 完全 、 が 連続 関手 、 が 別の関手（必ずしも連続ではない）である場合、 生成されるコンマ圏は完全であり、 [2] 、射影関手 と は連続である。同様に、 と が 共完全 、 が 共連続 である 場合 、 は 共完全であり、射影関手は共連続である。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} T : B → C {\displaystyle T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}} S : A → C {\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}} ( S ↓ T ) {\displaystyle (S\downarrow T)} ( S ↓ T ) → A {\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}} ( S ↓ T ) → B {\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} S : A → C {\displaystyle S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}} ( S ↓ T ) {\displaystyle (S\downarrow T)}
例えば、上記のグラフの圏をコンマ圏として構築する際に、集合の圏は完備かつ共完備であり、恒等関数は連続かつ共連続であることに注目してください。したがって、グラフの圏は完備かつ共完備です。
特定の余極限への、または極限からの普遍射 の概念は、 コンマ圏で表現できます。基本的には、オブジェクトが円錐で、極限円錐が 終端オブジェクト である圏を作成します。すると、極限の各普遍射は、終端オブジェクトへの射になります。これは、双対の場合、つまり余円錐の圏が始オブジェクトを持つ場合に機能します。たとえば、 が、各オブジェクトを に 、各矢印 を に 連れて行く関手を持つ 圏であるとします。 から へ の普遍射は 、定義により、任意の射 に対して を持つ 一意の射が存在する という普遍特性を持つ オブジェクトと射から構成されます 。言い換えると、それは、 その圏の他の任意のオブジェクトへの射を持つコンマ圏の対象です。つまり、それは始対象です。これは、 の 余積 ( 存在する場合) を定義するのに役立ちます。 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} F : C → C × C {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} c {\displaystyle c} ( c , c ) {\displaystyle (c,c)} f {\displaystyle f} ( f , f ) {\displaystyle (f,f)} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} F {\displaystyle F} ( c , c ) {\displaystyle (c,c)} ρ : ( a , b ) → ( c , c ) {\displaystyle \rho :(a,b)\rightarrow (c,c)} ρ ′ : ( a , b ) → ( d , d ) {\displaystyle \rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)} σ : c → d {\displaystyle \sigma :c\rightarrow d} F ( σ ) ∘ ρ = ρ ′ {\displaystyle F(\sigma )\circ \rho =\rho '} ( ( a , b ) ↓ F ) {\displaystyle ((a,b)\downarrow F)} C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
補助語 ウィリアム・ローヴェアは 、関数 とが 随伴で あることと 、 コンマ圏 とが（それぞれ と 上 の恒等関数 ）同型であること、そしてコンマ圏の同値な元が の同じ元に射影できることを示した 。これにより、集合を必要とせずに随伴を記述できるようになり、これがコンマ圏を導入する最初の動機となった。 F : C → D {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}} G : D → C {\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}} ( F ↓ i d D ) {\displaystyle (F\downarrow id_{\mathcal {D}})} ( i d C ↓ G ) {\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow G)} i d D {\displaystyle id_{\mathcal {D}}} i d C {\displaystyle id_{\mathcal {C}}} D {\displaystyle {\mathcal {D}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C × D {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}
の定義域が等しい場合 、 の射 を定義する図は、 自然変換 を 定義する図と同一である 。この 2 つの概念の違いは、自然変換は形式 の型の射の特定のコレクションであるの に対し、コンマ カテゴリの対象はそのような形式の 型の射の すべての 射を含むという点である。コンマ カテゴリへの関数は、その特定の射のコレクションを選択する。これは、 の 自然変換 は 各対象を に写像し、各射 を に 写像 する 関数に対応するという SA Huq [3] の観察によって簡潔に説明されている。これは、 からの忘却関数の両方の セクション である 関数と 自然変換との間の 全単射 対応である。 S , T {\displaystyle S,T} S ↓ T {\displaystyle S\downarrow T} A = B , A ′ = B ′ , f = g {\displaystyle A=B,A'=B',f=g} S → T {\displaystyle S\to T} S ( A ) → T ( A ) {\displaystyle S(A)\to T(A)} η : S → T {\displaystyle \eta :S\to T} S , T : A → C {\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}} A → ( S ↓ T ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)} A {\displaystyle A} ( A , A , η A ) {\displaystyle (A,A,\eta _{A})} f = g {\displaystyle f=g} ( f , g ) {\displaystyle (f,g)} S → T {\displaystyle S\to T} A → ( S ↓ T ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)} S ↓ T {\displaystyle S\downarrow T}
参考文献 n ラボ のカンマカテゴリ Lawvere, W (1963). 「代数理論の関数的意味論」および「代数理論の関数的意味論の文脈におけるいくつかの代数的問題」 http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf
外部リンク J. アダメック、H. ヘルリッヒ、G. ステッカー『抽象カテゴリーと具象カテゴリー ― 猫の喜び』 有限集合のカテゴリにおけるカテゴリ構成の例を生成するインタラクティブな Web ページ。
