Smallest normal subgroup by which the quotient is commutative
数学 、より具体的には 抽象代数学 において 、 群 の 交換子部分群 または 導来部分群 は、群のすべての 交換子 によって 生成される 部分群 である。 [1] [2]
交換子部分群は、 元の群をこの部分群で 割った商群が アーベル と なるような 最小の 正規部分群 であるため重要です。言い換えれば、 がアーベル となるのは、 が の交換子部分群を含む 場合のみです 。したがって、ある意味では、交換子部分群は群がアーベルからどれだけ離れているかを示す尺度となります。つまり、交換子部分群が大きいほど、群は「アーベル性が低い」ということです。 G / N {\displaystyle G/N} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G}
整流子 群 G の元 とについて 、 と の 交換子は である 。交換子が 単位元 e と等しいのは の場合のみであり 、つまり と が可換である場合 に限る 。一般に である 。 g {\displaystyle g} h {\displaystyle h} g {\displaystyle g} h {\displaystyle h} [ g , h ] = g − 1 h − 1 g h {\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh} [ g , h ] {\displaystyle [g,h]} g h = h g {\displaystyle gh=hg} g {\displaystyle g} h {\displaystyle h} g h = h g [ g , h ] {\displaystyle gh=hg[g,h]}
ただし、表記法は多少恣意的であり、等式の右側に逆数を持つ交換子の非等価な異形定義があります。 その場合、 代わりに になります 。 [ g , h ] = g h g − 1 h − 1 {\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}} g h ≠ h g [ g , h ] {\displaystyle gh\neq hg[g,h]} g h = [ g , h ] h g {\displaystyle gh=[g,h]hg}
G の元で、 ある g と h に対しての形をとるもの は交換子と呼ばれる。単位元 e = [ e , e ] は常に交換子であり、 G がアーベル元である場合に限り、唯一の交換子となる 。 [ g , h ] {\displaystyle [g,h]}
以下は、グループ Gの任意の要素 s 、 g 、 h に当てはまる、単純だが便利な交換子恒等式です 。
[ g , h ] − 1 = [ h , g ] , {\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],} [ g , h ] s = [ g s , h s ] , {\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],} ここで （または、それぞれ ）は の 共役 であり、 g s = s − 1 g s {\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs} g s = s g s − 1 {\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}} g {\displaystyle g} s , {\displaystyle s,} 任意の準同型 に対して 、 f : G → H {\displaystyle f:G\to H} f ( [ g , h ] ) = [ f ( g ) , f ( h ) ] . {\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].} 第一および第二の恒等式は、 G の交換子の 集合が 反転および共役に関して閉じていることを意味する。第三の恒等式において H = Gとすれば、交換子の集合は G の任意の 自己準同型 に関して安定であることがわかる 。これは実際には第二の恒等式の一般化であり、 fを G 上の 共役 自己同型 、とすれば 第二の恒等式が得られる。 x ↦ x s {\displaystyle x\mapsto x^{s}}
しかし、2つ以上の交換子の積は必ずしも交換子である必要はない。一般的な例としては、 a , b , c , d 上の 自由群における [ a , b ][ c , d ]が 挙げられる。積が交換子ではない2つの交換子が存在する有限群の最小位数は96であることが知られている。実際、この性質を持つ位数96の非同型群が2つ存在する。 [3]
意味 これにより、 Gの 交換子部分群 ( 導来部分群 とも呼ばれ、 または と表記される ) が 定義されます。これは 、すべての交換子によって 生成される 部分群です。 [ G , G ] {\displaystyle [G,G]} G ′ {\displaystyle G'} G ( 1 ) {\displaystyle G^{(1)}}
この定義から、の任意の要素は次 の形式と
なる。 [ G , G ] {\displaystyle [G,G]}
[ g 1 , h 1 ] ⋯ [ g n , h n ] {\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]} 何らかの 自然数 に対して、 g i と h i が G の元であるとき、 となる 。さらに であるため 、交換子部分群は G において正規である。任意の準同型写像 f : G → H に対して、 n {\displaystyle n} ( [ g 1 , h 1 ] ⋯ [ g n , h n ] ) s = [ g 1 s , h 1 s ] ⋯ [ g n s , h n s ] {\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}
f ( [ g 1 , h 1 ] ⋯ [ g n , h n ] ) = [ f ( g 1 ) , f ( h 1 ) ] ⋯ [ f ( g n ) , f ( h n ) ] {\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]} 、 となることによって 。 f ( [ G , G ] ) ⊆ [ H , H ] {\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}
これは、交換子部分群が 群の圏 上の 関数 として見ることができることを示し、そのいくつかの含意については以下で考察する。さらに、 G = Hとすると、交換子部分群は G のあらゆる自己準同型の下で安定であることが示される 。つまり、[ G , G ] は G の 完全特性部分群 であり、これは正規性よりもかなり強い性質である。
交換子部分群は、積g = g 1 g 2 ... g k として表現され、並べ替えると恒等式を与えることができる グループの元 g の集合として定義することもできます。
派生シリーズ この構造は反復可能です:
G ( 0 ) := G {\displaystyle G^{(0)}:=G} G ( n ) := [ G ( n − 1 ) , G ( n − 1 ) ] n ∈ N {\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} } これらの群は、 第2導出部分群 、 第3導出部分群 などと呼ばれ 、降順 正規系列 G ( 2 ) , G ( 3 ) , … {\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }
⋯ ◃ G ( 2 ) ◃ G ( 1 ) ◃ G ( 0 ) = G {\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G} は導来級数 と呼ばれる。これは 、項が である 下中心級数 と混同してはならない 。 G n := [ G n − 1 , G ] {\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}
有限群の場合、導来級数は 完全群 で終了するが、これは自明な場合もあればそうでない場合もある。無限群の場合、導来級数は有限段階で終了する必要はなく、 超限再帰 によって無限 順序数 まで継続することができ、その結果、 超限導来級数 が得られ、最終的には群の 完全核 で終了する。
アーベル化 群 が与えられたとき 、 のときのみ、 商群 は アーベル群となる。 G {\displaystyle G} G / N {\displaystyle G/N} [ G , G ] ⊆ N {\displaystyle [G,G]\subseteq N}
商は アーベル群であり、アーベル化 または によってアーベル化された と呼ばれる 。 [ 4 ] 通常 は または と表記さ れる 。 G / [ G , G ] {\displaystyle G/[G,G]} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} G ab {\displaystyle G^{\operatorname {ab} }} G ab {\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}
写像 には有用なカテゴリカルな解釈がある 。すなわち、から への準 同型写像に対して は普遍的である 。つまり、任意の アーベル群 と 群の準同型写像に対して 、 となる 唯一の準同型写像が存在する 。普遍写像特性によって定義されるオブジェクトの場合と同様に、これは標準同型写像に至るまでのアーベル化の一意性を示すが 、明示的な構成は の存在を示す。 φ : G → G ab {\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }} φ {\displaystyle \varphi } G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} f : G → H {\displaystyle f:G\to H} F : G ab → H {\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H} f = F ∘ φ {\displaystyle f=F\circ \varphi } G ab {\displaystyle G^{\operatorname {ab} }} G → G / [ G , G ] {\displaystyle G\to G/[G,G]}
アーベル化関数は、 アーベル群の圏 から群の圏への 包含関数の 左随伴関数である。アーベル化関数 Grp → Ab の存在により、圏 Abは群の圏の 鏡映部分圏 となり 、包含関数が左随伴関数を持つ完全部分圏として定義される。
のもう一つの重要な解釈は、整数係数を持つ の 最初の ホモロジー群 として解釈されることです 。 G ab {\displaystyle G^{\operatorname {ab} }} H 1 ( G , Z ) {\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )} G {\displaystyle G}
グループのクラス 群が アーベル群で ある ための必要十分条件は、導来群が自明であるときである：[ G , G ] = { e }。同様に、群がそのアーベル化に等しいときである必要十分条件は、群のアーベル化の定義については上記を参照。 G {\displaystyle G}
群が 完全群 である ための必要十分条件は、導来群が群自身と等しい場合である：[ G , G ] = G 。同様に、群のアーベル化が自明である場合も必要十分条件である。これはアーベル化の「反対」である。 G {\displaystyle G}
N 内の ある n に対してとなる群は 可解群 と呼ばれます。これは、 n = 1の場合であるアーベル群よりも弱い群です 。 G ( n ) = { e } {\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}
N 内の すべての n に対して となる群は、 解けない群 と呼ばれます 。 G ( n ) ≠ { e } {\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}
ある 順序数 （無限である可能性もある）に対してとなる群は、 低アーベル群 と呼ばれます。これは、 α が有限（自然数） である場合である可解群よりも弱い群です。 G ( α ) = { e } {\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}
完璧なグループ 群が それ自身に等しい導来部分群を持つ場合、その群は 完全群 と呼ばれる 。これには、非可換 単純群 や、 固定体 に対する 特殊線型群が 含まれる。 G {\displaystyle G} G ( 1 ) = G {\displaystyle G^{(1)}=G} SL n ( k ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)} k {\displaystyle k}
例 任意のアーベル群 の交換子部分群は 自明で ある 。 体 または 分環 k 上の 一般線型群 の交換子部分群は、 k が 2つの元を持つ体 でない 場合、 特殊線型群に 等しい 。 [5] GL n ( k ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)} SL n ( k ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)} n ≠ 2 {\displaystyle n\neq 2} 交代群 A 4 の交換子部分群は クラインの 4 群 である 。 対称群 S n の交換子部分群は 交代群 A n です 。 四元数群 Q = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k }の交換子部分群 は[ Q , Q ] = {1, −1}です。
アウトからの地図 導来部分群は特性 なので、 G の任意の自己同型は アーベル化の自己同型を誘導する。アーベル化はアーベル的であるため、 内部自己同型は 自明に作用し、したがって写像
Out ( G ) → Aut ( G ab ) {\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})}
参照
注記 ^ ダミット＆フット（2004） ^ ラング（2002） ^ スアレス＝アルバレス ^ フレイリー（1976年、108ページ） ^ Suprunenko, DA (1976), 行列群 、数学モノグラフの翻訳、アメリカ数学会 、定理II.9.4
参考文献
外部リンク 
![{\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87495055902ee8caee67b2645802bd3192d68c5)
![{\displaystyle [g,h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f333f57962c0c7a4f1f9caa3c965a48437d8544)
![{\displaystyle gh=hg[g,h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd56cfe6eaeab5a364a1f4a39ad6090b6fee18a2)
![{\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1961e7629b74db72c10639ec6f71fdf70a4c6163)
![{\displaystyle gh\neq hg[g,h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399fa5e528e2a5968aa7399567aa950cd32bf160)
![{\displaystyle gh=[g,h]hg}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995a960c8f521e5543abd39a0cbaae4300edc196)
![{\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd81f083f7c30aa1e16c041658e6f5c5b9a5750)
![{\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38ed06e15e18efbfe86c7633e9c625b659c00fd)
![{\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d20d1a1e5883690634a6c57fc1ad64b3b194d1)
![{\displaystyle [G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddf7a724a331d1e12ffa6571ba246ebf08f1335)
![{\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c06725986ed3b3c12d7464b4fd4aa9ca519985)
![{\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30bd70d0cc28f0dd14964308e01565a77ae93a88)
![{\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395f7030b9ea3e6fb2efa1954cd2bcbd6970fcb8)
![{\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda17f00885eb853f5fbe77a4f478d561bd80e42)
![{\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ef2cb916cce0b357a95ee734be242ea1a3d737)
![{\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b52513a2ec52c658b2630a3209588d71cd440e)
![{\displaystyle [G,G]\subseteq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2fbaaa4367d77150cf65adf348b6c8608489aa)
![{\displaystyle G/[G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169489000a5a3370a8d0a56d35924011e53b6ab1)
![{\displaystyle G\to G/[G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceead0a94124820b8210a7c92498bffcb1f7d165)
