コンパクトグループ

Topological group with compact topology

複素平面上の中心 0 および半径 1 の円は、複素乗算を持つコンパクト リー群です。

数学において、コンパクト（位相）群とは、位相によってコンパクト位相空間として実現される位相群である。コンパクト群は、離散位相を持つ有限群の自然な一般化であり、重要な形で引き継がれる性質を持つ。コンパクト群は、群作用や表現論との関連で、よく理解されている理論を​​持つ。

以下では、すべてのグループがハウスドルフ空間であると仮定します。

コンパクトリー群

リー群は位相群の一種であり、コンパクト・リー群は特に理論が発達している。コンパクト・リー群の基本的な例としては^{[1]が挙げられる。}

• 円群 Tとトーラス群 T ⁿ、
• 直交群O( n )、特殊直交群SO( n )とその被覆スピン群Spin( n )、
• コンパクトシンプレクティック群USp( n )、
• ユニタリ群U( n )と特殊ユニタリ群SU( n )、
• 例外リー群のコンパクト形式：G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、E ₈。

コンパクト・リー群の分類定理によれば、有限拡大と有限被覆までの例はこれですべて網羅される（ただし、すでにいくつかの冗長性を含んでいる）。この分類については、次の節でより詳しく説明する。

分類

任意のコンパクトリー群Gが与えられたとき、その単位元成分 G ₀を取ることができ、これは連結である。商群 G / G _{0は成分 π 0} ( G )の群であり、 Gがコンパクトであるので有限でなければならない。したがって、有限拡大が成り立つ。

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

一方、連結コンパクトリー群については、次の結果が得られる: ^[2]

定理: すべての連結コンパクト リー群は、単連結コンパクト リー群とトーラスの積を有限中心部分群で割った商である。

したがって、連結コンパクトリー群の分類は、原理的には、単連結コンパクトリー群とその中心に関する情報の知識に還元される。（中心に関する情報については、以下の基本群と中心のセクションを参照。）

最後に、すべてのコンパクトで連結した単連結リー群Kは、有限個のコンパクトで連結した単連結な単純リー群 K _iの積であり、各群は次のいずれか 1 つと同型です。

• コンパクトシンプレクティック群 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1}$
• 特殊ユニタリ群 ${\displaystyle \operatorname {SU} (n),\,n\geq 3}$
• スピングループ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7}$

あるいは、5つの例外群G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、E ₈のいずれか。nに対する制約は、nが小さい値の場合に、様々な族間で特別な同型性が生じるのを避けるためのものである。これらの群のそれぞれについて、中心は明示的に既知である。分類は、（固定された最大トーラスの場合）関連するルート系によって行われ、ルート系は、そのディンキン図によって分類される。

コンパクト単連結リー群の分類は、複素半単純リー代数の分類と同じである。実際、K が単連結コンパクトリー群である場合、 Kのリー代数の複素化は半単純となる。逆に、すべての複素半単純リー代数は、コンパクト単連結リー群のリー代数と同型のコンパクト実数を持つ。

最大トーラス系とルート系

連結コンパクトリー群Kの研究における重要な概念は、最大トーラスの概念である。これは、 Kの部分群Tのうち、 の複数のコピーの積に同型であり、かつ、このタイプのより大きな部分群には含まれないものである。基本的な例として が挙げられ、この場合、 を の対角要素の群とすることができる。基本的な結果として、のすべての要素が最大トーラスに属し、すべての最大トーラスは共役であるというトーラス定理が導かれる。 ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K=\operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

コンパクト群における最大トーラスは、複素半単純リー代数におけるカルタン部分代数と同様の役割を果たす。特に、最大トーラスが選択されると、半単純リー代数の場合と同様にルート系とワイル群を定義できる。^[3]これらの構造は、連結コンパクト群の分類（前述）と、固定されたコンパクト群の表現論（後述）の両方において重要な役割を果たす。 ${\displaystyle T\subset K}$

単純連結コンパクト群の分類に現れる単純コンパクト群に関連付けられたルートシステムは以下のとおりである: ^[4]

• 特殊ユニタリ群はルートシステムに対応する ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$
• 奇スピン群はルート系に対応する ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• コンパクトシンプレクティック群はルート系に対応する。 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ ${\displaystyle C_{n}}$
• 偶スピン群はルート系に対応する ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$ ${\displaystyle D_{n}}$
• 例外コンパクトリー群は、5つの例外ルート系G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、またはE _{8に対応する。}

基本グループと中心

連結コンパクトリー群が単連結であるかどうかを知ることは重要であり、そうでない場合はその基本群を決定することが重要です。コンパクトリー群の場合、基本群を計算する基本的なアプローチは2つあります。1つ目のアプローチは、古典的なコンパクト群、、、に適用され、上の帰納法によって計算が進められます。2つ目のアプローチはルート系を用い、すべての連結コンパクトリー群に適用されます。 ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ ${\displaystyle n}$

連結コンパクトリー群の中心を知ることも重要です。古典群の中心は「手計算」で簡単に計算でき、ほとんどの場合、 に含まれる単位元から構成されるだけです。（群 SO(2) は例外で、ほとんどの要素が単位元ではないにもかかわらず、中心は群全体です。）したがって、例えば の中心は のn乗根に単位元を掛けたもの、つまり の位数 の巡回群で構成されます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle n}$

一般に、中心はルート格子と最大トーラスの指数写像の核を用いて表現できる。^[5]この一般的な手法は、例えば、例外ルート系に対応する単連結コンパクト群が自明な中心を持つことを示す。したがって、このコンパクト群は、単連結かつ中心自由である非常に数少ない単純コンパクト群の一つである。（他にはと がある。） ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle E_{8}}$

その他の例

リー群ではなく、したがって多様体の構造を持たない群としては、 p進整数の加法群Z _pや、そこからの構成などが挙げられます。実際、任意のprofinite群はコンパクト群です。これはガロア群がコンパクト群であることを意味し、これは無限次数の場合の代数的拡大の理論における基本事実です。

ポンチャギン双対性は、コンパクト可換群の豊富な例を提供する。これらはアーベル離散群と双対である。

ハール測度

コンパクト群はすべてハール測度^[6]を持ち、これは左平行移動と右平行移動の両方に対して不変である（モジュラス関数は正の実数（R ⁺ , ×）への連続準同型でなければならないので1）。言い換えれば、これらの群はユニモジュラである。ハール測度は、円上のdθ/2πと同様に、確率測度に簡単に正規化できる。

このようなハール測度は多くの場合容易に計算できる。例えば、直交群の場合はアドルフ・フルヴィッツが知っており、リー群の場合は常に不変微分形式で与えられる。原始有限群の場合は有限指数の部分群が多数存在し、剰余類のハール測度は指数 の逆数となる。したがって、積分はしばしば極めて直接的に計算可能であり、これは数論において常に適用される事実である。

がコンパクト群で、が関連するハール測度である場合、ピーター・ワイルの定理は、の既約表現に対する行列要素の有限次元部分空間の直交直和としての分解を提供します。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{2}(K,dm)}$ ${\displaystyle K}$

表現論

コンパクト群（必ずしもリー群である必要はなく、必ずしも連結である必要もない）の表現論は、ピーター・ワイル定理によって確立された。^[7] ヘルマン・ワイルは、最大トーラス理論に基づいて、コンパクト連結リー群の詳細な指標理論を与えた。^[8]結果として得られたワイル指標公式は、20世紀数学における影響力のある成果の一つであった。ピーター・ワイル定理とワイル指標公式を組み合わせることで、ワイルは連結コンパクトリー群の表現を完全に分類することができた。この理論については次の節で説明する。

ワイルの研究とカルタンの定理を組み合わせることで、コンパクト群Gの表現論全体を概観することができます。つまり、ピーター・ワイルの定理により、Gの既約ユニタリ表現ρはユニタリ群 (有限次元) に含まれ、その像はコンパクト性によりユニタリ群の閉部分群になります。カルタンの定理では、Im(ρ) 自体はユニタリ群のリー部分群でなければならないとされています。G 自体がリー群でない場合は、 ρ の核が存在する必要があります。さらに、ρ の核がどんどん小さくなるにつれて、有限次元ユニタリ表現の逆システムを形成することができ、これによりG がコンパクト・リー群の逆極限であることが示されます。ここで、極限でGの忠実な表現が見つかるという事実は、ピーター・ワイルの定理のもう 1 つの結果です。

コンパクト群の表現論の未知の部分は、大まかに言えば、有限群の複素表現に投げ返される。この理論は細部に富んでいるものの、定性的には十分に理解されている。

連結コンパクトリー群の表現論

コンパクトリー群の表現論のいくつかの簡単な例、例えば回転群 SO(3)、特殊ユニタリ群 SU(2)、特殊ユニタリ群 SU(3)の表現論などは手計算で解くことができます。ここでは一般論に焦点を当てます。半単純リー代数の表現論の並列理論も参照してください。

このセクション全体を通して、連結コンパクトリー群KとK内の最大トーラス Tを固定します。

表現理論T

Tは可換なので、シューアの補題によれば、 Tの各既約表現は1 次元になります。 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.}$

また、Tはコンパクトであるため、実際には にマッピングされる必要があります。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$

これらの表現を具体的に記述するために、Tのリー代数をTとし、点を次のように書きます。 ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle h\in T}$

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.}$

このような座標では、 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}}$

上の何らかの線形関数に対して。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

さて、指数写像は単射ではないので、そのような線型関数のすべてがTからへの明確に定義された写像を生み出すわけではない。むしろ、 を指数写像の核としよう。 ${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

ここではTの単位元である。（ここでは指数写像を の係数でスケールすることで、他の場所ではそのような係数を避ける。） に対して、明確に定義された写像 を与えるためには、は以下を満たす必要がある 。 ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,}$

ここでは整数の集合である。^[9]この条件を満たす線型関数は解析的整元と呼ばれる。この整元性条件は、半単純リー代数の設定における整元の概念と関連しているが、同一ではない。 ^[10] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lambda }$

例えば、T が絶対値 1 の複素数の群であるとする。リー代数は純虚数の集合であり、（スケールされた）指数写像の核は の形の数の集合である。ここでは整数である。線型関数がそのようなすべての数に対して整数値を取ることは、ある整数 に対して の形になることと同値である。この場合 のTの既約表現は1 次元であり、 の形になる。 ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle in}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (i\theta )=k\theta }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .}$

表現理論K

SU(3)群の表現の重みの例

素粒子物理学で使用されるSU(3)の「八重奏的」表現

黒い点はSU(3)群の支配的な積分要素を示す。

ここで、 がKの有限次元既約表現( 上) を表すものとします。次に、 のTへの制限について考えます。 が1次元でない限り、この制限は既約ではありません。ただし、この制限はTの既約表現の直和として分解されます。( Tの与えられた既約表現は複数回出現する可能性があることに注意してください。) ここで、Tの各既約表現は、前のサブセクションと同様に線型汎関数によって記述されます。 がTへの制限の分解で少なくとも1回出現する場合、の重みをと呼びます。K の表現論の戦略は、既約表現を重みによって分類することです。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$

ここで、定理を定式化するために必要な構造について簡単に説明します。詳細については、表現論における重みに関する記事を参照してください。 Kのルート システムの概念が必要です(与えられた最大トーラスTに対して)。このルート システムの構成は、複素半単純リー代数 の構成と非常によく似ています。具体的には、重みは、Kの複素化リー代数に対するTの随伴作用の非ゼロの重みです。ルート システムR は、Rの元がを張らない可能性があることを除いて、ルート システムの通常のプロパティをすべて備えています。^{[11]次に、} Rの基底を選択し、すべての に対して である場合に、整数元が優勢であるという。最後に、 の重みの差が、非負の係数を持つの元の線形結合として表現できる場合、一方の重みがもう一方の重みよりも高いという。 ${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (\alpha )\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$

Kの既約有限次元表現は、最も重みの高い定理[ ^12]によって分類される。この定理は、半単純リー代数の表現を分類する類似の定理と密接に関連している。その結果、次のことがわかる。

1. すべての既約表現は最高の重みを持ち、
2. 最も高い重みは常に支配的な、分析的に不可欠な要素であり、
3. 同じ最高重みを持つ2つの既約表現は同型であり、
4. あらゆる支配的な、解析的に整数の要素は、既約表現の最高の重みとして生じます。

Kの表現に対する最高の重みの定理は、半単純リー代数のものとほぼ同じですが、1つの注目すべき例外があります。それは、積分元の概念が異なることです。表現の重みは、前の節で説明した意味で解析的に積分です。すべての解析的に積分な元はリー代数の意味で積分ですが、その逆は当てはまりません。^[13]（この現象は、一般に、リー代数の表現がすべて群Kの表現に由来するわけではないことを反映しています。）一方、K が単連結である場合、群の意味で可能な最高の重みの集合は、リー代数の意味で可能な最高の重みの集合と同じです。^[14] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

ワイル指標式

がKの表現である場合、の指標を次式で与えられる関数と定義する。 ${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$。

この関数はクラス関数、すなわち K の任意の と に対して であることが容易に分かる。したがって、はTへの制約によって決定される。 ${\displaystyle \mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$

指標の研究は、コンパクト群の表現論において重要な部分を占める。ピーター・ワイル定理の系である重要な結果の一つは、指標がKの平方可積分類関数の集合の直交基底を形成するということである。二つ目の重要な結果はワイル指標公式であり、これは指標、あるいは指標のTへの制限を、表現の最大の重みを用いて明示的に公式化する。

密接に関連する半単純リー代数の表現論では、ワイル指標式は表現が分類された後に確立される追加の結果です。しかし、コンパクト群の場合のワイルの解析では、ワイル指標式は実際には分類自体の重要な部分です。具体的には、 Kの表現のワイルの解析では、定理の最も難しい部分（すべての支配的な解析的整式は実際には何らかの表現の最高の重みであることを示す）が、ヴェルマ加群を使用する通常のリー代数構成とはまったく異なる方法で証明されています。ワイルのアプローチでは、構成はピーター–ワイル定理とワイル指標式の解析的証明に基づいています。^{[15]最終的に、} Kの既約表現はK上の連続関数の空間内で実現されます。

SU(2)の場合

ここで、コンパクト群SU(2)の場合を考えてみましょう。表現はリー代数の観点から考察されることが多いのですが、ここでは群の観点から考察します。最大トーラスとは、次の形式の行列全体の集合であるとします。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

Tの表現に関する前述の例によれば、解析的整元は整数でラベル付けされており、支配的な解析的整元は非負整数 である。一般理論によれば、各 に対して、SU(2) の最大の重み を持つ唯一の既約表現が存在する。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

与えられたものに対応する表現に関する多くの情報は、その指標に符号化されている。さて、ワイル指標公式によれば、この場合、指標は次のように与えられる。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

次のように指数の和として文字を書くこともできます。

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

（上記の式に有限等比級数の和の公式を適用して簡略化すると、前述の式が得られます。）

この最後の式と、表現の重みに関する文字の標準式から、表現の重みは次のようになることがわかります。

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

それぞれ重複度1です。（重みは指数関数の指数に現れる整数であり、重複度は指数関数の係数です。）重みはそれぞれ重複度1なので、表現の次元は です。このように、リー代数の計算から通常得られる表現に関する情報の多くを回復することができます。 ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m+1}$

証明の概要

ヘルマン・ワイルの当初の議論に従い、最大重み定理の証明を概説する。引き続き、を連結コンパクトリー群とし、における固定された最大トーラスとする。定理の最も難しい部分に焦点を当て、すべての支配的な解析的整元は、何らかの（有限次元）既約表現の最大重みであることを示す。^[16] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

証明に使用したツールは次のとおりです。

• トーラス定理。
• ワイル積分公式。
• クラス関数に対するピーター・ワイル定理は、既約表現の指標が 上の平方可積分クラス関数の空間に対して直交基底を形成することを述べています。 ${\displaystyle K}$

これらのツールを手に、証明へと進みます。議論の最初の主要なステップは、ワイル指標公式を証明することです。この公式は、が最大重み を持つ既約表現である場合、の指標は以下を満たすことを述べています。 ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}}$

のリー代数におけるすべての に対して となる。ここには正の根の和の半分がある。（この表記法では「実数の重み」という慣例が用いられている。この慣例では指数に の因数を明示的に与える必要がある。）ワイルの指標公式の証明は解析的性質を持ち、指標のノルムが1であるという事実に基づいている。具体的には、分子に何らかの項が追加されると、ワイルの積分公式により指標のノルムは1より大きくなる。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle L^{2}}$

次に、指標式の右側の関数を で表します。が表現 の最高の重みであるか不明であっても、は 上の明確に定義されたワイル不変関数であり、したがって 上の類関数に拡張されることを示します。次に、ワイルの積分公式を使用して、が支配的な解析的に整然とした元の集合にわたって変化するとき、関数は類関数の正規直交族を形成することを示します。現時点では、そのような関数のすべてが表現の最高の重みであるかどうかはわかっていないことを強調します。それでも、指標式の右側の式は、明確に定義された関数の集合を与え、これらの関数は正規直交です。 ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$

ここで結論が来ます。すべての集合は、支配的な解析的に整列した元にわたって、平方可積分類関数の空間で正規直交集合を形成します。しかし、ワイル指標公式により、既約表現の指標は の部分集合を形成します。また、ピーター・ワイル定理により、既約表現の指標は平方可積分類関数の空間の正規直交基底を形成します。表現の最高の重みでないものがあった場合、対応するものは表現の指標ではありません。したがって、指標はの集合の適切な部分集合になります。しかし、そうすると不可能な状況になります。正規直交基底(既約表現の指標の集合) が、厳密に大きい正規直交集合 ( の集合) に含まれてしまいます。したがって、すべての は実際には表現の最高の重みでなければなりません。 ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

二重性

コンパクト群をその表現論から復元するという話題は、タナカ・クラインの双対性の主題であり、現在ではタナキアンのカテゴリー理論の観点から再構成されることが多い。

コンパクト群から非コンパクト群へ

コンパクト群論が非コンパクト群に与える影響は、ワイルのユニタリアントリックにおいて定式化された。一般の半単純リー群の内部には最大コンパクト部分群が存在し、そのような群の表現論は主にハリシュ＝チャンドラによって発展され、そのような部分群への表現の制限と、ワイルの指標理論のモデルを集中的に用いている。

参照

• ピーター・ワイル定理
• 最大トーラス
• 根系
• 局所コンパクト群
• pコンパクト群
• プロトーラス
• リー代数の有限次元表現の分類
• 半単純リー代数の表現論における重み

参考文献

1. ホール 2015 セクション 1.2
2. ブロッカー & トム・ディーク 1985、第 V 章、セクション 7 および 8
3. ホール 2015 第11章
4. ホール 2015 セクション 7.7
5. ホール 2015 セクション 13.8
6. Weil、André (1940)、L'intégration dans les groupes topologiques et ses application、Actualités Scientifiques et Industrielles、vol. 869、パリ: ヘルマン
7. ピーター、F. Weyl, H. (1927)、「Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe」、Math。アン。、97 : 737– 755、土井:10.1007/BF01447892。
8. ホール 2015 パート III
9. ホール 2015 提案 12.9
10. ホール 2015 セクション 12.2
11. ホール 2015 セクション 11.7
12. ホール 2015 第12章
13. ホール 2015 セクション 12.2
14. ホール 2015 補論 13.20
15. ホール 2015 セクション 12.4 および 12.5
16. ホール 2015 セクション 12.4 および 12.5

参考文献

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 98, Springer
• ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現の初等入門」、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 978-3319134666
• ホフマン、カール H.; モリス、シドニー A. (1998)、「コンパクト群の構造」、ベルリン：デ・グリュイター、ISBN 3-11-015268-1

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