コンパクトクローズドカテゴリ

Special kind of category with "dual objects"

数学の一分野である圏論において、コンパクト閉圏は双対対象を扱う一般的な文脈である。双対対象の概念は、より馴染みのある有限次元ベクトル空間の双対概念を一般化する。したがって、コンパクト閉圏の動機となる例はFdVectであり、これは有限次元ベクトル空間を対象、線型写像を射とし、テンソル積をモノイド構造とする圏である。もう一つの例はRel であり、これは集合を対象、関係を射とし、デカルト的モノイド構造とする圏である。

対称コンパクト閉カテゴリ

対称モノイド圏が コンパクト閉であるとは、すべての対象が双対対象 を持つことを意味する。これが成り立つ場合、双対対象は標準同型 を除いて一意であり、 と表記される。 ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A^{*}}$

もう少し詳しく説明すると、あるオブジェクトが の双対であるとは、ユニットとコユニットと呼ばれる2つの射を持ち、次の式を満たす場合を言う。 ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I}$

${\displaystyle \lambda _{A}\circ (\varepsilon _{A}\otimes id_{A})\circ \alpha _{A,A^{*},A}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{A})\circ \rho _{A}^{-1}=\mathrm {id} _{A}}$

そして

${\displaystyle \rho _{A^{*}}\circ (id_{A^{*}}\otimes \varepsilon _{A})\circ \alpha _{A^{*},A,A^{*}}\circ (\eta _{A}\otimes id_{A^{*}})\circ \lambda _{A^{*}}^{-1}=\mathrm {id} _{A^{*}},}$

ここで、 はそれぞれ左側と右側のユニットの導入であり、は関連付け子です。 ${\displaystyle \lambda ,\rho }$ ${\displaystyle \alpha }$

わかりやすくするために、上記の合成を図式的に書き直します。がコンパクト閉となるためには、以下の合成が と等しくなる必要があります。 ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$

${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta }}A\otimes (A^{*}\otimes A){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes A^{*})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon \otimes A}}I\otimes A{\xrightarrow {\cong }}A}$

そして： ${\displaystyle \mathrm {id} _{A^{*}}}$

${\displaystyle A^{*}{\xrightarrow {\cong }}I\otimes A^{*}{\xrightarrow {\eta \otimes A^{*}}}(A^{*}\otimes A)\otimes A^{*}{\xrightarrow {\cong }}A^{*}\otimes (A\otimes A^{*}){\xrightarrow {A^{*}\otimes \epsilon }}A^{*}\otimes I{\xrightarrow {\cong }}A^{*}}$

意味

より一般的には、モノイド圏が、前群文法の場合のように必ずしも対称的ではないと仮定する。各オブジェクトAに対して双対を持つという上記の概念は、左随伴 と右随伴の両方、および を持ち、それぞれに対応する左単位、右単位、左余単位、右余単位を持つという概念に置き換えられる。これらは、それぞれ恒等式である4つのヤンキング条件を満たす必要がある。 ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A^{l}}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle \eta _{A}^{l}:I\to A\otimes A^{l}}$ ${\displaystyle \eta _{A}^{r}:I\to A^{r}\otimes A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}^{l}:A^{l}\otimes A\to I}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}^{r}:A\otimes A^{r}\to I}$

${\displaystyle A\to A\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{r}}}A\otimes (A^{r}\otimes A)\to (A\otimes A^{r})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}I\otimes A\to A}$

${\displaystyle A\to I\otimes A{\xrightarrow {\eta ^{l}}}(A\otimes A^{l})\otimes A\to A\otimes (A^{l}\otimes A){\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}A\otimes I\to A}$

そして

${\displaystyle A^{r}\to I\otimes A^{r}{\xrightarrow {\eta ^{r}}}(A^{r}\otimes A)\otimes A^{r}\to A^{r}\otimes (A\otimes A^{r}){\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}A^{r}\otimes I\to A^{r}}$

${\displaystyle A^{l}\to A^{l}\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{l}}}A^{l}\otimes (A\otimes A^{l})\to (A^{l}\otimes A)\otimes A^{l}{\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}I\otimes A^{l}\to A^{l}}$

つまり、一般的なケースでは、コンパクト閉カテゴリは左剛性と右剛性の両方を持ち、双閉です。

非対称コンパクト閉圏は、言語学、特に範疇文法の分野、特に前群文法において応用されている。前群文法では、文中の語順を捉えるために、左右の随伴項の明確な区別が必要となる。この文脈において、コンパクト閉モノイド圏は（ラムベック）前群と呼ばれる。

プロパティ

コンパクト閉カテゴリはモノイド閉カテゴリの特殊なケースであり、モノイド閉カテゴリは閉カテゴリの特殊なケースです。

コンパクト閉圏はまさに対称 自律圏である。それらはまた*-自律でもある。

あらゆるコンパクト閉圏Cは痕跡を許容する。つまり、あらゆる射に対して、 ${\displaystyle f:A\otimes C\to B\otimes C}$

${\displaystyle \mathrm {Tr_{A,B}^{C}} (f)=\rho _{B}\circ (id_{B}\otimes \varepsilon _{C})\circ \alpha _{B,C,C^{*}}\circ (f\otimes C^{*})\circ \alpha _{A,C,C^{*}}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{C^{*}})\circ \rho _{A}^{-1}:A\to B}$

これは適切なトレースであることが示せます。図で描くと分かりやすくなります。 ${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta _{C^{*}}}}A\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\;\;f\otimes C^{*}\;\;}}(B\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\cong }}B\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {B\otimes \varepsilon _{C}}}B\otimes I{\xrightarrow {\cong }}B.}$

例

標準的な例は、有限次元ベクトル空間を対象とし、線型写像を射とする圏FdVectである。以下はベクトル空間 の通常の双対である。 ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$

任意のグループの 有限次元表現のカテゴリもコンパクトに閉じています。

すべてのベクトル空間をオブジェクトとして、線型写像を射として持つカテゴリVect は、コンパクト閉ではなく、対称モノイド閉です。

シンプレックスカテゴリ

単体圏は、非対称コンパクト閉圏の例を構築するために用いることができる。単体圏は、非零有限順序数の圏（全順序集合として見た場合）であり、その射は順序保存（単調）写像である。これを矢印圏に移すことでモノイド圏にすることができる。つまり、対象は元の圏の射であり、射は可換な平方である。すると、矢印圏のテンソル積は元の合成作用素となる。左随伴関数と右随伴関数は、最小作用素と最大作用素である。具体的には、単調写像fに対しては、右随伴関数が成立する。

${\displaystyle f^{r}(n)=\sup\{m\in \mathbb {N} \mid f(m)\leq n\}}$

そして左の随伴

${\displaystyle f^{l}(n)=\inf\{m\in \mathbb {N} \mid n\leq f(m)\}}$

左と右の単位と共単位は次のとおりです。

${\displaystyle {\mbox{id}}\leq f\circ f^{l}\qquad {\mbox{(left unit)}}}$

${\displaystyle \,{\mbox{id}}\leq f^{r}\circ f\quad \ \ \ {\mbox{(right unit)}}}$

${\displaystyle f^{l}\circ f\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(left counit)}}}$

${\displaystyle f\circ f^{r}\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(right counit)}}}$

引き締め条件の1つは

${\displaystyle f=f\circ {\mbox{id}}\leq f\circ (f^{r}\circ f)=(f\circ f^{r})\circ f\leq {\mbox{id}}\circ f=f.}$

他の式も同様です。の代わりに矢印を書き、関数合成にを使用すると、対応関係がより明確になります。 ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \circ }$

ダガーコンパクトカテゴリー

コンパクト閉であるダガー対称モノイドカテゴリは、ダガーコンパクトカテゴリです。

剛性カテゴリ

対称ではないが、それ以外は上記の双対性公理に従うモノイド圏は、剛体圏と呼ばれる。すべての対象が左（右）双対を持つモノイド圏は、左（右）自律圏とも呼ばれる。すべての対象が左と右の両方の双対を持つモノイド圏は、自律圏と呼ばれる。自律圏が対称でもある場合、コンパクト閉圏となる。

参考文献

ケリー, GM ; ラプラザ, ML (1980). 「コンパクト閉圏のコヒーレンス」.純粋・応用代数ジャーナル. 19 : 193– 213. doi :10.1016/0022-4049(80)90101-2.

• ケリー, GM (1972). 「多変数関数計算 I.」.圏における一貫性. 数学講義ノート. 第281巻. pp.  66– 105. doi :10.1007/BFb0059556. ISBN 978-3-540-05963-9。
• ヒューストン、ロビン (2008). 「有限積はコンパクト閉圏における双積である」. Journal of Pure and Applied Algebra . 212 (2): 394– 400. arXiv : math/0604542 . doi :10.1016/j.jpaa.2007.05.021.

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