コンパクトオブジェクト（数学）

Mathematical concept

数学において、コンパクト オブジェクトは有限に提示されたオブジェクト、または有限提示のオブジェクトとも呼ばれ、特定の有限性条件を満たすカテゴリ内のオブジェクトです。

意味

すべてのフィルターされた余極限（直接極限とも呼ばれる）を許容するカテゴリCの対象Xは、関数が

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Sets} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

はフィルターされた余極限と可換である、すなわち、自然写像

${\displaystyle \operatorname {colim} \operatorname {Hom} _{C}(X,Y_{i})\to \operatorname {Hom} _{C}(X,\operatorname {colim} _{i}Y_{i})}$

は、 C内の任意のフィルタリングされたオブジェクトのシステムに対して、一対一である。^[1]左側のフィルタリングされた余極限の要素は、あるiに対して、マップ によって表されるため、上記のマップの全射性は、マップがいくつかの を因数分解することを要求することになる。 ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X\to Y_{i}}$ ${\displaystyle X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

この用語は、後述する位相幾何学から生じる例に由来する。代数圏に密接に関連する用語もいくつか用いられている。Adámek & Rosický (1994) は、コンパクトオブジェクトではなく有限提示オブジェクトという用語を用いている。Kashiwara & Schapira (2006) は、これらを有限提示オブジェクトと呼んでいる。

∞-カテゴリにおけるコンパクト性

同じ定義は、Cが∞-カテゴリである場合にも適用されます。ただし、上記のモルフィズムの集合は、C内のマッピング空間に置き換えられます(フィルターされた余極限は、∞-カテゴリの意味で理解され、フィルターされたホモトピー余極限と呼ばれることもあります)。

三角形のカテゴリにおけるコンパクト性

すべての余積を許容する三角形化カテゴリ Cに対して、ニーマン（2001a）は、オブジェクトがコンパクトであると定義しています。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Ab} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

は余積と可換である。この概念と上記の関係は以下の通りである。Cが、すべてのフィルターされた余極限を許容する安定な∞-圏のホモトピー圏として現れるとする。（この条件は広く満たされるが、自動的に満たされるわけではない。）すると、C内のオブジェクトがニーマンの意味でコンパクトとなるのは、∞-圏的な意味でコンパクトとなる場合と同値である。その理由は、安定な∞-圏においては、有限余極限も極限であるため、常に有限余極限と可換となるからである。そして、フィルターされた余極限の表現を、無限余積の余等化子（有限余極限）として用いる。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,-)}$

例

集合のカテゴリにおけるコンパクトオブジェクトはまさに有限集合です。

環Rに対して、 R -加群の圏におけるコンパクト対象は、まさに有限に提示された R -加群である。特に、Rが体である場合、コンパクト対象は有限次元ベクトル空間である。

同様の結果は、等式法則に従う集合上の演算によって与えられる代数構造の任意のカテゴリにも当てはまります。このようなカテゴリは多様体と呼ばれ、ローヴェア理論を用いて体系的に研究することができます。任意のローヴェア理論Tに対して、 Tのモデルのカテゴリ Mod( T )が存在し、 Mod( T )内のコンパクト対象はまさに有限提示モデルです。例えば、Tが群論であるとします。すると Mod( T ) は群のカテゴリであり、 Mod( T ) 内のコンパクト対象は有限提示群です。

R加群の導来カテゴリ 内のコンパクトオブジェクトは、まさに完全複体です。 ${\displaystyle D(R-{\text{Mod}})}$

コンパクト位相空間は、位相空間の圏におけるコンパクト対象ではない。むしろ、これらはまさに離散位相を与えられた有限集合である。^[2]位相におけるコンパクト性と上記の圏論的コンパクト性の概念との関係は以下の通りである。固定された位相空間 に対し、その対象が の開部分集合（および射としての包含）である圏が存在する。すると、がコンパクト位相空間であるための必要十分条件は、 が の対象としてコンパクトであることである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$

が任意の圏であるとき、前層の圏（すなわち、集合から集合への関数の圏）はすべての余極限を持つ。元の圏は米田埋め込みによってに接続されている。の任意の対象に対して、は（ の）コンパクト対象である。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$ ${\displaystyle C^{op}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$ ${\displaystyle h_{(-)}:C\to {\text{PreShv}}(C),X\mapsto h_{X}:=\operatorname {Hom} (-,X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle h_{X}}$ ${\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}$

同様に、任意の圏は、におけるind-対象の圏の完全なサブ圏と見なすことができます。このより大きな圏の対象と見なすと、の任意の対象はコンパクトになります。実際、 のコンパクト対象は、の対象（より正確には、 におけるそれらの像）と全く同じです。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(C)}$

非例

非コンパクトX上のアーベル群の層の導来圏

非コンパクト位相空間のアーベル群の層の非有界導来圏においては、一般にはコンパクト生成圏ではない。この証拠は、 の非コンパクト性を利用して有限部分被覆に細分化できない開被覆を考え、写像 ${\displaystyle D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi \in {\text{Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\underset {i\in I}{\text{colim}}}\mathbb {Z} _{U_{i}})}$

に対してである。そして、この写像を要素に持ち上げるためには ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in {\text{Ob}}(D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}})))}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \psi \in {\underset {i\in I}{\text{colim}}}{\text{ Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },\mathbb {Z} _{U_{i}})}$

何らかの を因数分解する必要があるが、これは保証されていない。これを証明するには、任意のコンパクトオブジェクトが の何らかのコンパクト部分集合にサポートされていることを示し、さらにこの部分集合が空であることを示す必要がある。^[3] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{U_{i}}}$ ${\displaystyle X}$

アルティンスタック上の準連接層の導来カテゴリ

正特性上の代数スタック に対して、準連接層の非有界導来圏は、たとえ が準コンパクトかつ準分離であっても、一般にはコンパクト生成されない。^[4]実際、代数スタックに対しては、零対象以外にコンパクト対象は存在しない。この観察は、次の定理に一般化できる。スタックが安定群を持ち、 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle B\mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle G}$

1. ${\displaystyle G}$正の特性を持つ体上で定義される ${\displaystyle k}$
2. ${\displaystyle {\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}}$は、 ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

の唯一のコンパクトオブジェクトは零オブジェクトである。特に、カテゴリはコンパクト生成ではない。 ${\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}$

この定理は、たとえば、埋め込みによって点を単位行列プラスの最初の行の - 列に送ることによって適用されます。 ${\displaystyle G=GL_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}\to GL_{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {G} _{a}(S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

コンパクトに生成されたカテゴリ

ほとんどの圏において、コンパクトであることの条件は非常に強いため、ほとんどの対象はコンパクトではありません。圏がコンパクト生成されるとは、任意の対象が におけるコンパクト対象のフィルター付き余極限として表現できる場合です。例えば、任意のベクトル空間Vは、その有限次元（すなわち、コンパクト）部分空間のフィルター付き余極限です。したがって、（固定体上の）ベクトル空間の圏はコンパクト生成です。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

コンパクトに生成され、すべての余極限を許容するカテゴリは、アクセス可能なカテゴリと呼ばれます。

双対化可能なオブジェクトとの関係

行儀の良いテンソル積を持つカテゴリCの場合（より正式には、 Cはモノイドカテゴリであることが要求される）、ある種の有限性を課す別の条件、つまりオブジェクトが双対化可能であるという条件があります。 Cのモノイド単位がコンパクトであれば、任意の双対化可能オブジェクトもコンパクトです。たとえば、RはR加群としてコンパクトであるため、この観察を適用できます。確かに、R加群のカテゴリでは、双対化可能オブジェクトは有限に提示された射影加群であり、これは特にコンパクトです。 ∞-カテゴリのコンテキストでは、双対化可能オブジェクトとコンパクトオブジェクトはより密接にリンクされる傾向があり、たとえば、 R加群の複合体の ∞-カテゴリでは、コンパクトオブジェクトと双対化可能オブジェクトは一致します。この例と、双対化可能オブジェクトとコンパクトオブジェクトが一致するより一般的な例は、Ben-Zvi、Francis、Nadler (2010) で説明されています。

参考文献

1. ルリー（2009、§5.3.4）
2. アダメク & ロシツキー (1994、第 1 章 A)
3. Neeman, Amnon (2001b). 「多様体上の層の導来圏について」. Documenta Mathematica 6 : 483–488 . doi : 10.4171 /dm/111 .
4. Hall, Jack; Neeman, Amnon; Rydh, David (2015-12-03). 「代数スタックの導来圏に対する1つの正の結果と2つの負の結果」arXiv : 1405.1888 [math.AG].

• アダメク、イジー。 Rosický、Jiří (1994)、ローカルで表示可能でアクセス可能なカテゴリ、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511600579、ISBN 0-521-42261-2、MR  1294136
• Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010)「導来代数幾何学における積分変換とドリンフェルド中心」アメリカ数学会誌、23 (4): 909– 966, arXiv : 0805.0157 , doi :10.1090/S0894-0347-10-00669-7, MR  2669705, S2CID  2202294
• 柏原正樹； Schapira、Pierre (2006)、カテゴリと層、Springer Verlag、doi :10.1007/3-540-27950-4、ISBN 978-3-540-27949-5、MR  2182076
• ルリー、ジェイコブ（2009）、高等トポス理論、数学研究年報、第170巻、プリンストン大学出版局、arXiv：math.CT/0608040、ISBN 978-0-691-14049-0、MR  2522659
• ニーマン、アムノン（2001a）、三角形のカテゴリー、数学研究年報、第148巻、プリンストン大学出版局

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