ランダムコンパクト集合

数学において、ランダムコンパクト集合は本質的にコンパクト集合値を持つ確率変数です。ランダムコンパクト集合は、ランダム力学系のアトラクターの研究に役立ちます。

定義

を完全可分距離空間とする。をのすべてのコンパクト部分集合の集合とする。上のハウスドルフ計量は で定義される 。 ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle ({\mathcal {K}},h)}$も完全可分距離空間である。対応する開部分集合は上のσ-代数、すなわちのボレルシグマ代数を生成する。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

ランダムコンパクト集合は、確率空間からへの測定可能な関数 である ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$

言い換えれば、ランダムコンパクト集合とは、ほぼ確実にコンパクトであり、 ${\displaystyle K\colon \Omega \to 2^{M}}$ ${\displaystyle K(\omega )}$

${\displaystyle \omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

はすべての に対して可測関数であるような可測関数である。 ${\displaystyle x\in M}$

考察

この意味でのランダムコンパクト集合は、Matheron (1975)と同様にランダム閉集合でもある。したがって、キャリア空間が局所コンパクトであるという追加の仮定の下では、それらの分布は確率 によって与えられる。

${\displaystyle \mathbb {P} (X\cap K=\emptyset )}$に対して ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}.}$

（ランダムコンパクト凸集合の分布は、すべての包含確率 の系によっても与えられる） ${\displaystyle \mathbb {P} (X\subset K).}$

に対して、確率が得られ、これは を満たす。 ${\displaystyle K=\{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (x\in X)}$

${\displaystyle \mathbb {P} (x\in X)=1-\mathbb {P} (x\not \in X).}$

したがって、被覆関数 は によって与えられる。 ${\displaystyle p_{X}}$

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} (x\in X)}$に対して ${\displaystyle x\in M.}$

もちろん、 は指示関数 の平均として解釈することもできる ${\displaystyle p_{X}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{X}}$

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {E} \mathbf {1} _{X}(x).}$

被覆関数は と の間の値を取ります。を持つすべての の集合はのサポートと呼ばれます。を持つすべての の集合は、核、不動点の集合、または の本質的最小値と呼ばれます。が iidランダムコンパクト集合の列である場合、ほぼ確実に ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b_{X}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle p_{X}(x)>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k_{X}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle p_{X}(x)=1}$ ${\displaystyle e(X)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)}$

はほぼ確実に に収束します。 ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}}$ ${\displaystyle e(X).}$

参考文献

• Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry . J.Wiley & Sons, New York. ISBN 0-471-57621-2
• Molchanov, I. (2005) The Theory of Random Sets . Springer, New York. ISBN 1-85233-892-X
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields . John Wiley & Sons, Chichester, New York. ISBN 0-471-93757-6

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