サポート（数学）

Inputs for which a function's value is non-zero

数学において、実数値関数の台とは、関数の定義域のうち、ゼロに写像されない元からなる部分集合のことです。の定義域が位相空間である場合、の台は、ゼロに写像されないすべての点を含む最小の閉集合として定義されます。この概念は数学解析において広く使用されています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

定式化

が実数値関数であり、その定義域が任意の集合であるとします。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$の集合論的台は、がゼロでない点の集合と書きます。 ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

の台は、その部分集合の補集合上でがゼロである性質を持つ、の最小の部分集合です。有限個の点を除くすべての点に対してが持つ場合、は ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f}$有限台

集合に追加の構造（例えば位相）がある場合、 の台は、が適切な意味でその補集合上で消滅するような、適切な型の の最小の部分集合として同様に定義されます。台の概念は、 よりも一般的な集合に値を取る関数や、測度や超関数などの他のオブジェクトにも自然に拡張されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

閉じた台

最も一般的な状況は、が位相空間（実数直線や次元ユークリッド空間など）であり、が連続した実数値（または複素数値）関数である場合に発生します。この場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$、、またはの台 ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ の 閉台は、が非ゼロである部分集合の（ に含まれる閉包として位相的に定義されます^[1][2][3]。つまり、閉集合の交点が閉じているので、は の集合論的台を含むすべての閉集合の交点です。関数が開部分集合 上で定義されている、閉包は に関して取られ、周囲の に関して取られないことに。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\supseteq X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

例えば、 が で定義される関数である場合、の台、または の閉台は閉区間です。なぜなら、は開区間上で非ゼロであり、この集合の閉包はだからです。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-1,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1].}$

閉台の概念は通常、連続関数に適用されますが、定義は位相空間上の任意の実数値または複素数値関数に対して意味をなしており、一部の著者は（または）が連続であることを要求しません。^[4] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

コンパクトな台

を持つ関数位相空間上のコンパクト台とは、閉台が のコンパクト部分が実数直線、つまり -次元ユークリッド空間である場合、関数がコンパクト台を持つ場合と、それが有界台を持つ場合とで同値です ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$有界台は、 の部分集合がコンパクトである場合と、それが閉かつ有界である場合とで同値です ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

例えば、上で定義された関数は、コンパクト台を持つ連続関数です。が滑らかな関数である場合、は開部分集合上で同一であるため、のすべての階数の偏微分もすべて上で同一です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-1,1].}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).}$

コンパクト台という条件は、無限遠で消滅するという条件よりも強いです。例えば、によって定義される 関数は、のように無限遠で消滅しますが、その台はコンパクトではありません。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ ${\displaystyle f(x)\to 0}$ ${\displaystyle |x|\to \infty ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ユークリッド空間上の実数値でコンパクトに台付けされた滑らかな関数は、バンプ関数と呼ばれます。軟化子はバンプ関数の重要な特殊なケースであり、分布理論において、畳み込みを介して滑らかでない（一般化された）関数を近似する滑らかな関数の列を作成するために使用できます

良好なケースでは、コンパクト台を持つ関数は無限大で消える関数の空間において稠密ですが、この性質を与えられた例で正当化するには技術的な作業が必要です。より複雑な例に対する直観として、また極限の言語において、任意の実数直線上の任意の関数に対して、無限大で消える関数は、すべてのに対してとなる適切 なコンパクト部分集合を選択することで近似できます。ここで、はの指示関数です。コンパクト位相空間上のすべての連続関数はコンパクト台を持ちます。なぜなら、コンパクト空間のすべての閉部分集合は実際にコンパクトだからです。 ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle I_{C}}$ ${\displaystyle C.}$

本質的な台

がボレル測度を持つ位相測度空間（またはルベーグ測度を備えたのルベーグ可測部分集合など）である場合、通常、ほぼすべての場所で等しい関数を特定します。その場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mu }$と書かれた可測関数の本質的な台は、の外側のほぼすべての場所で -となる最小の閉部分集合として定義されます。同様に、はとなる最大の開集合のその上でほぼすべての場所で -となる^[5] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

関数の本質的台は測度だけでなく にも依存し、閉台よりも厳密に小さくなる場合があります。例えば、が無理数上と有理数上であり、ルベーグ測度を備えたディリクレ関数である場合、 の台は区間全体になりますが、 の本質的台は空です。なぜなら、はほとんどすべての点で零関数に等しいからです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

解析学では、2つの集合が異なる場合、関数の閉台ではなく本質的台をほぼ常に使用したいので、しばしば単にと書かれ、台と呼ばれます。^{[5] [6]} ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$

一般化

がゼロを含む任意の集合である場合、サポートの概念は関数に直ちに一般化できます。 サポートは、単位元がゼロの役割を担う、単位元を持つ任意の代数構造（群、モノイド、合成代数など）に対しても定義できます。例えば、自然数から整数への関数の族は、整数列の非可算集合です。部分族は、有限個の非ゼロ要素のみを持つすべての整数列の可算集合です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to M.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$

有限台を持つ関数は、群環や自由アーベル群などの代数構造の定義に使用されます。^[7]

確率論と測度論において

確率論において、確率分布のサポートは、その分布を持つ確率変数の可能な値の集合の閉包として大まかに考えることができます。ただし、位相空間ではなくシグマ代数上で定義された一般的な分布を扱う場合は、考慮すべき微妙な点がいくつかあります

より正式には、が上の確率変数である場合、の台は最小の閉集合であり、 ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

しかし実際には、離散確率変数 の台は集合として定義されることが多く、連続確率変数の台は集合として定義され、ここで はの確率密度関数です（集合論的台）。^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$

台という語は、確率密度関数の尤度の対数を指す場合があることに注意してください。[ 9 ]

分布の台

実数直線上のディラックのデルタ関数のような分布の台についても言及することができます。その例では、台に点 を含まない滑らかな関数であるテスト関数を考えることができます。（に線型関数として適用された分布）はそのような関数に対してであるため、 の台は のみ であると言えます。実数直線上の測度（確率測度を含む）は分布の特殊なケースであるため、測度の台についても同様に語ることができます ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta (F)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \{0\}}$

が超関数であり、がユークリッド空間の開集合で、の台が に含まれるようなすべてのテスト関数に対して が となると仮定します。すると、 はで が 消滅すると言われています。さて、が任意の開集合族で が 消滅する場合、 でサポートされている任意のテスト関数に対して、 の台のコンパクト性と 1 の分割に基づく簡単な議論によって、 も であることが示されます。したがって、 の台を、 が で が 消滅する最大の開集合の補として定義できます。例えば、ディラックのデルタの台は ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(\phi )=0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \bigcup U_{\alpha },}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(\phi )=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

特異台

特にフーリエ解析では、 を研究することは興味深いことです。超関数の特異台。これは、滑らかな関数にならない点の集合として直感的に解釈できます

例えば、ヘヴィサイド階段関数のフーリエ変換は、定数倍まで、を除いて（関数）と見なすことができます。は明らかに特別な点ですが、分布の変換は特異台を持つと言う方が正確です。つまり、を含む台を持つテスト関数との関係で関数として正確に表現することはできません。コーシー主値仮積分の適用として表現できます。 ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$

多変数分布の場合、特異台により波面集合を定義し、ホイヘンスの原理を数学的解析の観点から理解することができます。特異台は、分布を「乗算」しようとする試みなど、分布理論に特有の現象を理解するためにも使用できます（ディラックのデルタ関数を2乗することは失敗します。これは基本的に、乗算される分布の特異台が互いに素である必要があるためです）。

台の族

の抽象的な概念層理論に適した位相空間 上の台の族は、アンリ・カルタンによって定義されました。ポアンカレ双対性を多様体に、「コンパクトな台」という概念が双対性の片側に自然に入ります。例えば、アレクサンダー・スパニエ・コホモロジーを。 ${\displaystyle X,}$

Bredon, Sheaf Theory (第2版, 1997) はこれらの定義を与えています。の閉部分集合族は、下向きに閉じており、有限和で閉じている場合、台 の族です。その範囲は、上の和であり、さらに内の任意の は、部分空間位相と共に、パラコンパクト空間であり、内に近傍を持つものがあります。 が局所コンパクト空間である場合（ハウスドルフを仮定）、すべてのコンパクト部分集合の族はさらなる条件を満たし、パラコンパクト化します。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$

も参照

• 有界関数 - 値の集合が有界である数学関数
• バンプ機能 - スムーズかつコンパクトにサポートする機能
• 加群の台
• ティッチマーシュ畳み込み定理

引用文献

1. Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis, 2nd ed . New York: John Wiley. p. 132
2. ヘルマンダー、ラース（1990年）『線形偏微分方程式 I』第2版、ベルリン：シュプリンガー出版社、14ページ。
3. パスクッチ、アンドレア (2011).オプション価格設定における偏微分方程式とマルチンゲール法. ボッコーニ＆シュプリンガーシリーズ. ベルリン: シュプリンガー出版社. p. 678. doi :10.1007/978-88-470-1781-8. ISBN  978-88-470-1780-1。
4. ルーディン、ウォルター（1987年）『実数と複素解析』第3版ニューヨーク：マグロウヒル、38ページ
5. Lieb, Elliott ; Loss, Michael (2001). Analysis . Graduate Studies in Mathematics. Vol. 14 (2nd ed.). American Mathematical Society . p. 13. ISBN 978-0821827833。
6. 同様に、測定可能な関数の最大値の代わりに、その本質的な最大値を用いる。
7. Tomasz, Kaczynski (2004). Computational homology . Mischaikow, Konstantin Michael,, Mrozek, Marian. New York: Springer. p. 445. ISBN 9780387215976. OCLC  55897585
8. Taboga, Marco. 「確率変数のサポート」statlect.com . 2017年11月29日閲覧。
9. Edwards, AWF (1992). 尤度（拡張版）. ボルチモア：ジョンズ・ホプキンス大学出版局. pp.  31– 34. ISBN 0-8018-4443-6。

参考文献

• Rudin, Walter (1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学シリーズ. 第8巻（第2版）. ニューヨーク、ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 OCLC  21163277
• Trèves, François (2006) [1967].位相ベクトル空間、超関数、核. ミネオラ、ニューヨーク：Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 OCLC  853623322

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Support_(mathematics)&oldid=1312711201#Compact_support"