競争均衡

Economic equilibrium concept

競争均衡（ワルラス均衡とも呼ばれる）は、 1951年にケネス・アローとジェラール・ドブリューによって提唱された経済均衡の概念であり、 ^[1]柔軟な価格と多数の取引者が存在する商品市場の分析に適しており、経済分析における効率性のベンチマークとして機能している。競争均衡は、各取引者が市場で取引される総量に比べて非常に少ない数量を決定するため、個々の取引が価格に影響を与えないという競争環境の仮定に大きく依存している。競争市場は、他の市場構造を評価するための理想的な基準である。

定義

競争均衡 (CE) は次の 2 つの要素で構成されます。

• 価格関数。商品の束を表すベクトルを引数として取り、その価格を表す正の実数を返します。通常、価格関数は線形であり、商品の種類ごとの価格のベクトルとして表されます。 ${\displaystyle P}$
• 配分行列。任意の について、はエージェント に割り当てられた商品のベクトルです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

これらの要素は次の要件を満たす必要があります。

• 満足度（市場羨望の影響を受けないこと）: すべてのエージェントは、自分のバンドルを他の手頃な価格のバンドルよりも弱く好みます。

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n}$、もしそうなら。 ${\displaystyle P(Y)\leq P(X_{i})}$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i}}$

多くの場合、初期賦与行列 が存在します。任意の に対して、はエージェント の初期賦与です。この場合、CE はいくつかの追加要件を満たす必要があります。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle i}$

• 市場クリアランス: 需要と供給が等しく、アイテムは作成も破棄もされません。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}=\sum _{i=1}^{n}E_{i}}$。

• 個人合理性: すべてのエージェントは取引前よりも取引後に利益を得る:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:X_{i}\succeq _{i}E_{i}}$。

• 予算残高: すべてのエージェントは、基金を考慮して割り当てを支払うことができます。

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:P(X_{i})\leq P(E_{i})}$。

定義2

この定義は、複数の商品群が同等の魅力を持つ可能性を明示的に考慮している。価格がゼロの場合も同様である。代替的な定義^[2]は需要集合の概念に基づいている。価格関数Pと効用関数Uを持つエージェントが与えられたとき、ある商品群xがエージェントの需要集合に含まれる場合、他のすべての商品群yについて、以下の条件が満たされる。競争均衡とは、価格関数Pと配分行列Xが以下の条件を満たす場合である。 ${\displaystyle U(x)-P(x)\geq U(y)-P(y)}$

• X によって各エージェントに割り当てられたバンドルは、価格ベクトル P に対するそのエージェントの需要セット内にあります。
• 正の価格を持つすべての商品は完全に割り当てられます (つまり、割り当てられていないすべての品目の価格は 0 になります)。

近似平衡

場合によっては、合理性条件が緩和された均衡を定義することが有用である。^[3]正の値（通貨単位、例えばドルで測定される）、価格ベクトル、バンドルが与えられたとき、 x内のすべての品目がPと同じ価格になり、xにないすべての品目がPよりも高くなる価格ベクトルを と定義する。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

競争均衡では、エージェントに割り当てられたバンドル x は、修正された価格ベクトルに対するそのエージェントの需要セット内にある必要があります。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

この近似は、売買手数料がある場合に現実的です。例えば、あるエージェントが商品1単位の購入に、その商品の価格に加えてドルを支払わなければならないとします。そのエージェントは、価格ベクトル の需要集合に含まれる限り、現在のバンドルを保持します。これにより、均衡はより安定します。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

例

次の例は、ジェーンとケルビンという 2 人のエージェント、バナナ (x) とリンゴ (y) の 2 つの商品、およびお金のない交換経済に関するものです。

1.グラフィカルな例: 初期割り当てがポイント X にあり、ジェーンはケルビンよりも多くのリンゴを持っており、ケルビンはジェーンよりも多くのバナナを持っているとします。

ジェーンとケルビンの無差別曲線 を見ると、均衡ではないことがわかります。両エージェントは、価格 と で互いに取引する意思があります。取引後、ジェーンとケルビンはともに、より高い効用水準 と を示す無差別曲線に移動します。新しい無差別曲線は点Eで交差します。両曲線の接線の傾きは - です。 ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle P_{y}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle P_{x}/P_{y}}$

そして、 ジェーンの限界代替率（MRS）はケルビンのそれと等しい。したがって、2人の個人からなる社会はパレート効率性に達し、ジェーンかケルビンのどちらか一方を有利にすることは、他方を不利にすることなく不可能となる。 ${\displaystyle MRS_{Jane}=P_{x}/P_{y}}$ ${\displaystyle MRS_{Kelvin}=P_{x}/P_{y}}$

2.算術例: ^{[4] :322–323}両エージェントがコブ・ダグラス効用を持っていると仮定する:

${\displaystyle u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}}$

${\displaystyle u_{K}(x,y)=x^{b}y^{1-b}}$

は定数です。 ${\displaystyle a,b}$

初期保有額が であると仮定します。 ${\displaystyle E=[(1,0),(0,1)]}$

Janeのxに対する需要関数は次のようになります。

${\displaystyle x_{J}(p_{x},p_{y},I_{J})={\frac {a\cdot I_{J}}{p_{x}}}={\frac {a\cdot (1\cdot p_{x})}{p_{x}}}=a}$

x に対するケルビンの需要関数は次のとおりです。

${\displaystyle x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K})={\frac {b\cdot I_{K}}{p_{x}}}={\frac {b\cdot p_{y}}{p_{x}}}}$

x の市場クリアランス条件は次のとおりです。

${\displaystyle x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1}$

この式から均衡価格比が得られます。

${\displaystyle {\frac {p_{y}}{p_{x}}}={\frac {1-a}{b}}}$

yについても同様の計算を行うことができますが、ワルラスの法則により結果が同じになることが保証されているため、この計算は不要です。CEでは相対価格のみが決定されることに注意してください。例えば、 とすることで価格を正規化できます。そうすると となります。ただし、他の正規化方法も有効です。 ${\displaystyle p_{x}+p_{y}=1}$ ${\displaystyle p_{x}={\frac {b}{1+b-a}},p_{y}={\frac {1-a}{1+b-a}}}$

3.存在しない例:エージェントのユーティリティが次のとおりであるとします。

${\displaystyle u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=\max(x,y)}$

そして、初期保有量は[(2,1),(2,1)]です。CEでは、すべてのエージェントはxのみ、またはyのみを保有する必要があります（もう一方の製品は効用に貢献しないため、エージェントはそれを交換したいと考えるでしょう）。したがって、CEの割り当ては[(4,0),(0,2)]と[(0,2),(4,0)]の2つだけです。エージェントの所得は同じなので、必然的に となります。しかし、2単位のyを保有しているエージェントは、それを4単位のxと交換したいと考えるでしょう。 ${\displaystyle p_{y}=2p_{x}}$

4. 線形効用に関する存在と非存在の例については、線形効用#例を参照してください。

分割できない項目

経済において分割不可能な項目が存在する場合、分割可能な貨幣も存在すると想定するのが一般的です。各主体は準線形効用関数を持ちます。つまり、彼らの効用は、保有する貨幣の量と、彼らが保有する一連の項目から得られる効用の合計です。

A. 単一アイテムの場合：アリスは車を所有しており、その価値は10です。ボブは車を所有しておらず、アリスの車を20と評価しています。この場合、考えられるCEは次のようになります。車の価格が15で、ボブが車を購入し、アリスに15を支払う。市場が均衡しており、両方のエージェントが最初のバンドルよりも最終的なバンドルを好むため、これは均衡です。実際には、10から20までの価格はすべてCE価格となり、配分は同じです。車が最初からアリスによって所有されておらず、アリスとボブの両方が買い手となるオークションでも同じ状況が当てはまります。つまり、車はボブの手に渡り、価格は10から20の間になります。

一方、10 未満の価格は、需要が過剰であるため均衡価格ではありません (アリスとボブの両方がその価格の車を欲しがっている)。また、20 を超える価格は、供給が過剰であるため均衡価格ではありません(アリスもボブもその価格の車を欲しがっていない)。

この例は、ダブルオークションの特殊なケースです。

B. 代替品:車と馬がオークションで売られています。アリスは移動手段だけを気にしているので、彼女にとってこれらは完全な代替品です。彼女は馬から 8、車から 9 の効用を得ます。馬と車の両方を持っている場合は車だけを使うので彼女の効用は 9 です。ボブは馬から 5、車から 7 の効用を得ますが、馬と車を両方持っている場合は馬をペットとしても好きなので彼の効用は 11 です。この場合、均衡を見つけるのがより難しくなります (下記参照)。考えられる均衡は、アリスが馬を 5 で買い、ボブが車を 7 で買うことです。ボブは馬に 5 を支払って効用が 4 しか追加されないことを望まず、アリスは車に 7 を支払って効用が 1 しか追加されないことを望まないので、これは均衡です。

C. 補語: ^[5]馬と馬車がオークションで売られています。買い手は AND と XOR の 2 人です。AND は馬と馬車を両方欲しいだけなので、両方を保有することで の効用が得られますが、どちらか一方だけを保有した場合は 0 の効用しか得られません。XOR は馬か馬車のどちらかが欲しいのですが、両方は必要ではありません。どちらか一方を保有することで の効用が得られ、両方を保有しても同じ効用が得られます。ここで、 のとき、競争均衡は存在しません。つまり、どの価格も市場をクリアしません。証明: 価格の合計 (馬の価格 + 馬車の価格) について次のオプションを検討してください。 ${\displaystyle v_{and}}$ ${\displaystyle v_{xor}}$ ${\displaystyle v_{and}<2v_{xor}}$

• 合計は より小さいです。したがって、AND は両方の商品を欲しがります。少なくとも一方の商品の価格が より小さいため、XOR はその商品を欲しがります。つまり、需要超過となります。 ${\displaystyle v_{and}}$ ${\displaystyle v_{xor}}$
• 合計はちょうど です。すると、AND は両方の商品を購入する場合と、どちらも購入しない場合とで無差別となります。しかし、XOR は依然として正確に 1 つの商品を必要とするため、需要超過か供給超過のいずれかが生じます。 ${\displaystyle v_{and}}$
• 合計は を超えています。すると、AND はアイテムをまったく必要とせず、XOR は依然として最大で 1 つのアイテムを必要とするため、供給過剰となります。 ${\displaystyle v_{and}}$

D. 単位需要消費者：消費者はn人いる。各消費者の指数は である。財の種類は1種類である。各消費者は財を最大で1単位欲しがっており、その効用は である。消費者はの弱増加関数となるように順序付けられている。供給が単位である場合、 を満たす価格は均衡価格となる。なぜなら、製品を購入したい、または購入してもしなくても構わない消費者がk人いるからである。供給が増加すると価格が減少する点に注意する。 ${\displaystyle i=1,...,n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(i)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)}$

競争均衡の存在

分割可能なリソース

アロー・デブリューモデルは、以下の条件を満たす分割可能な財を持つ すべての交換経済において CE が存在することを示しています。

• すべてのエージェントは厳密に凸状の好みを持っています。
• すべての財は望ましいものである。これは、ある財が無料で提供される場合（）、すべての主体がその財から可能な限り多くのものを望むことを意味する。 ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p_{j}=0}$

証明はいくつかのステップで進む。^{[4] : 319–322}

A. 具体的に言えば、行為者と分割可能な財が存在すると仮定する。価格を正規化し、その和が1、すなわち とする。すると、すべての可能な価格の空間はにおける-次元単位単体となる。この単体を価格単体と呼ぶ。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

B. を超過需要関数とする。これは、初期保有額が一定である 場合の価格ベクトルの関数である。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle z(p)=\sum _{i=1}^{n}\left({x_{i}(p,p\cdot E_{i})-E_{i}}\right)}$

エージェントが厳密に凸な選好を持つ場合、マーシャルの需要関数は連続であることが知られています。したがって、も の連続関数です。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$

C. 価格単体からそれ自身への次の関数を定義します。

${\displaystyle g_{i}(p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

これは連続関数なので、Brouwer の不動点定理により、次のような価格ベクトルが存在します。 ${\displaystyle p^{*}}$

${\displaystyle p^{*}=g(p^{*})}$

それで、

${\displaystyle p_{i}^{*}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

D.ワルラスの法則といくつかの代数を使用すると、この価格ベクトルではどの製品にも超過需要がないことを示すことができます。

${\displaystyle z_{j}(p^{*})\leq 0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

E. 望ましさの仮定は、すべての製品の価格が厳密に正であることを意味します。

${\displaystyle p_{j}>0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

ワルラスの法則によれば、。しかし、これは上記の不等式が等式でなければならないことを意味する。 ${\displaystyle p^{*}\cdot z(p^{*})=0}$

${\displaystyle z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

これは、競争均衡の価格ベクトルであることを意味します。 ${\displaystyle p^{*}}$

線形効用は弱凸性を持つため、アロー・ドブリューモデルには当てはまらないことに注意してください。しかし、デイヴィッド・ゲイルは、特定の条件を満たすすべての線形交換経済において競争均衡が存在することを証明しました。詳細については、線形効用#競争均衡の存在を参照してください。

市場均衡を計算するアルゴリズムについては、「市場均衡計算」で説明されています。

分割できない項目

上記の例では、品目が代替品である場合には競争均衡が存在しましたが、補完品である場合には競争均衡は存在しませんでした。これは偶然ではありません。

2つの財XとYに関する効用関数が与えられているとき、これらの財が独立財または粗代替財であり、補完財ではない場合、これらの財は弱粗代替財（GS）であるとします。これは、次のことを意味します。すなわち、 Yの価格が上昇した場合、 Xの需要は一定または増加するものの、減少することはありません。 Yの価格が下落した場合、 Xの需要は一定または減少します。 ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{demand}}(X)}{\Delta {\text{price}}(Y)}}\geq 0}$

効用関数は、この効用関数によれば、異なる財のペア全てがGSとなる場合、GSと呼ばれます。GS効用関数では、あるエージェントが所与の価格ベクトルにおける需要集合を持ち、一部の財の価格が上昇した場合、そのエージェントは価格が一定であった全ての財を含む需要集合を持つことになります。^{[3] [6]}エージェントは、価格が上昇した財を欲しくないと判断するかもしれません。また、代わりに別の財（代替品）を欲しくないと判断するかもしれません。しかし、価格が変化していない3つ目の財を欲しくないと判断するかもしれません。

すべてのエージェントの効用関数がGSである場合、競争均衡が常に存在する。^[7]

さらに、GS評価の集合は、競争均衡の存在が保証される単位需要評価を含む最大の集合である。つまり、GS以外の評価には、与えられたGS以外の評価と結合した単位需要評価には競争均衡が存在しないような単位需要評価が存在する。^[8]

特殊な種類の市場における競争均衡を見つける計算問題については、フィッシャー市場#indivisible を参照してください。

競争均衡と配分効率

厚生経済学の基本定理によれば、あらゆるCE配分はパレート効率的であり、あらゆる効率的な配分は競争均衡によって持続可能である。さらに、バリアンの定理によれば、すべての主体が同じ所得を持つCE配分は羨望の影響を受けない。

競争均衡においては、社会が財に付与する価値は、その財を生産するために放棄される資源の価値に等しい（限界便益は限界費用に等しい）。これにより配分効率が確保される。つまり、社会が財の別の単位に付与する追加価値は、その財を生産するために社会が放棄しなければならない資源に等しい。^[9]

ミクロ経済分析では、加法的効用や個人間の効用トレードオフは想定されないことに注意してください。したがって、効率性とはパレート改善が存在しないことを意味します。配分の公平性（分配的正義や公平性の意味で）について意見を述べるものではありません。効率的な均衡とは、あるプレイヤーがすべての財を所有し、他のプレイヤーが財を一切所有していない均衡（極端な例）のことであり、これは、パレート改善が見つからない可能性があるという意味で効率的です。パレート改善は、すべてのプレイヤー（この場合はすべての財を所有しているプレイヤーも含む）の利益を向上させる（厳密なパレート改善の場合）、または利益を損なわないことを意味します。

不可分な項目の割り当てに関する福祉定理

分割不可能な項目の場合、2つの福祉定理の次の強力なバージョンが存在します。^[2]

1. あらゆる競争均衡は、あらゆる現実的な財の割り当てだけでなく、あらゆる部分的な財の割り当てにおいても、社会厚生（効用の合計）を最大化します。つまり、たとえ財の一部を複数の人に割り当てることができたとしても、全体のみを割り当てる競争均衡よりも良い結果にはならないということです。
2. 社会福祉を最大化する整数割り当て（部分割り当てなし）がある場合、その割り当てで競争均衡が存在します。

均衡点を見つける

分割不可能な品目割り当ての場合、すべてのエージェントの効用関数がGS（したがって均衡が存在する）であれば、昇順オークションを用いて競争均衡を見つけることが可能です。昇順オークションでは、オークショニアが価格ベクトル（初期値はゼロ）を公開し、買い手はこれらの価格帯で希望する組み合わせを宣言します。各品目が最大で1人の入札者によって希望される場合、品目は分割され、オークションは終了します。1つ以上の品目に需要超過がある場合、オークショニアは需要超過の品目の価格を小額（例えば1ドル）引き上げ、買い手は再び入札します。

文献では、いくつかの異なる上昇オークションのメカニズムが提案されている。^{[3] [7] [10]このようなメカニズムは、}ワルラスオークション、ワルラスタトネマン、またはイングリッシュオークションと呼ばれることが多い。

参照

• 羨望のない価格設定- 一部の品目が割り当てられないままになる可能性があるワルラス均衡の緩和。
• フィッシャー市場- 単一の売り手と多数の買い手を持つ簡略化された市場モデルで、CE を効率的に計算できます。
• 配分効率
• 経済均衡
• 一般均衡理論
• ワルラスオークション

参考文献

1. K. アロー『古典的厚生経済学の基本定理の拡張』（1951年）；G. デブリュー『資源利用係数』（1951年）
2. リアド・ブルムローゼンとノーム・ニサム (2007)。 「組み合わせオークション/ワルラス均衡」。ニサンでは、ノーム。ラフガーデン、ティム。タルドス、エヴァ。ヴァジラニ、ビジェイ (編)。アルゴリズムゲーム理論(PDF)。ケンブリッジ大学出版局。ページ 277–279。ISBN​​ 978-0521872829。
3. リアド・ブルムローゼンとノーム・ニサム (2007)。 「組み合わせオークション/昇順オークション」。ニサンでは、ノーム。ラフガーデン、ティム。タルドス、エヴァ。ヴァジラニ、ビジェイ (編)。アルゴリズムゲーム理論(PDF)。ケンブリッジ大学出版局。ページ 289–294。ISBN​​ 978-0521872829。
4. Varian, Hal (1992).ミクロ経済分析（第3版）. ニューヨーク: Norton. ISBN 0-393-95735-7。
5. Hassidim, Avinatan; Kaplan, Haim; Mansour, Yishay; Nisan, Noam (2011). 「離散財市場における非価格均衡」.第12回ACM電子商取引会議 - EC '11 議事録. p. 295. arXiv : 1103.3950 . doi :10.1145/1993574.1993619. ISBN 9781450302616。
6. この用語は、Kelso, AS; Crawford, VP (1982). "Job Matching, Coalition Formation, and Gross Substitutes". Econometrica . 50 (6): 1483. doi :10.2307/1913392. JSTOR  1913392で導入されました。
7. Gul, F.; Stacchetti, E. (2000). 「差別化された商品を扱うイギリス式オークション」. Journal of Economic Theory . 92 : 66–95 . doi :10.1006/jeth.1999.2580.
8. Gul, F.; Stacchetti, E. (1999). 「粗代替品を含むワルラス均衡」. Journal of Economic Theory . 87 : 95–124 . doi :10.1006/jeth.1999.2531.
9. Callan, SJ & Thomas, JM (2007). 「市場プロセスのモデリング：基礎の概説」, 『環境経済・管理：理論、政治、応用』第4版, Thompson Southwestern, メイソン, OH, USA,第2章
10. ベン・ズウィ、オーレン;ラヴィ、ロン。ニューマン、イラン (2013)。 「オークションの上昇とワルラス的均衡」。arXiv : 1301.1153v3 [cs.GT]。

• リヒター, MK; ウォン, KC (1999). 「競争均衡の計算不可能性」.経済理論. 14 : 1–27 . doi :10.1007/s001990050281. S2CID  121248813.

外部リンク

• Economics Stack Exchange における競争均衡、ワルラス均衡、ワルラスオークション。

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