完全な交差点

数学において、射影空間における代数多様体 Vが完全交差であるとは、 Vのイデアルがちょうど余次元 V個の元によって生成されることを意味する。つまり、V がm次元で射影空間P ⁿに存在する場合、 n − m 個の斉次多項式が存在するはずである。 ^[1]

F_{i}(X_{0},\cdots ,X_{n}),1\leq i\leq nm,

同次座標 X _jでは、 Vでゼロになる他のすべての同次多項式が生成されます。

幾何学的には、各F _{i は}超曲面を定義します。これらの超曲面の交差はVになります。スカラー体が複素数のような代数的に閉じた体であると仮定すると、 n − m 個の超曲面の交差は、常に少なくともm の次元を持ちます。問題は本質的に、交差に余分な点を持たずに次元をmまで下げることができるかどうかです。この条件は、余次元n − m ≥ 2になるとすぐに確認するのがかなり難しくなります。n − m = 1のとき、Vは自動的に超曲面となり、証明する必要はありません。

例

完全交差の簡単な例としては、単一の多項式の消失軌跡で定義される超曲面が挙げられます。例えば、

\mathbb {V} (x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {F} [x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})}}\right){\xrightarrow {i}}\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{4}

五次三次元多様体の例を示す。高次元多様体の完全な交差を2つ以上の明示的な例（百科事典）を用いて明示的に見つけるのは難しいが、次のような型の三次元多様体の明示的な例がある。 $(2,4)$

\mathbb {V} (x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}x_{5},x_{4}^{4}+x_{5}^{4}-2x_{0}x_{1}x_{2}x_{3})

非例

ねじれた立方体

局所完全交差を構成する一つの方法は、射影完全交差多様体を高次元射影空間に埋め込むことである。その典型的な例として、のねじれ三次多様体があげられる。これは滑らかな局所完全交差であり、任意の図表上では2つの多項式の消失軌跡として表現できるが、大域的には3つ以上の多項式の消失軌跡で表される。上の非常に豊富な直線束を用いてこれを構成することができ、埋め込みは次のようになる。 $\mathbb {P} _{R}^{3}$ ${\mathcal {O}}(3)$ $\mathbb {P} ^{1}$

\mathbb {P} _{R}^{1}\to \mathbb {P} _{R}^{3}

による

[s:t]\mapsto [s^{3}:s^{2}t:st^{2}:t^{3}]

に注意してください。埋め込みをとすると、次の関係が得られます。 $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ $\mathbb {P} _{R}^{3}={\text{Proj}}(R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}])$

{\begin{aligned}f_{1}&=x_{0}x_{3}-x_{1}x_{2}\\f_{2}&=x_{1}^{2}-x_{0}x_{2}\\f_{3}&=x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}\end{aligned}}

したがって、ねじれ立方体は射影スキームである。

{\text{Proj}}\left({\frac {R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(f_{1},f_{2},f_{3})}}\right)

次元の異なる多様体の結合

局所完全交差にはなり得ない、非完全交差を構成するもう一つの便利な方法は、次元が一致しない2つの異なる多様体の和をとることである。例えば、ある点で交わる直線と平面の和は、この現象の典型的な例である。これは以下の式で表される。

{\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)

マルチディグリー

完全交差は多重次数を持ち、これは定義する超曲面の次数の組（正確には多重集合）として表されます。例えば、P ³の二次曲線を再び取り上げると、(2,2) はそれらのうちの2つの完全交差の多重次数であり、これらが一般的な位置にあるとき、楕円曲線となります。複素滑らかな完全交差のホッジ数は、小平邦彦によって解明されました。

一般的な立場

より洗練された問題では、交差の性質をより詳細に検討する必要があります。超曲面は横断条件（交差点において接空間が一般的な位置にあるなど）を満たす必要がある場合があります。交差はスキーム理論的である可能性があり、言い換えれば、ここではF _i ( X ₀ , ..., X _n )によって生成される同次イデアルが正しい根基を持つだけでなく、Vの定義イデアルである必要がある可能性があります。可換代数では、完全交差条件は正規列項に変換され、局所完全交差の定義が可能になります。または、何らかの局所化を行った後、イデアルは定義正規列を持ちます。

トポロジー

相同性

次元の完全交差は超平面切断の交差であるので、レフシェッツの超平面定理を用いて次のように導くことができる。 $n$ $\mathbb {CP} ^{n+m}$

H^{j}(X)=\mathbb {Z}

についてである。さらに、普遍係数定理を用いて、ホモロジー群は常に捩れなしであることが確認できる。これは、中間ホモロジー群が空間のオイラー標数によって決定されることを意味する。 $j<n$

オイラー特性

ヒルツェブルフは、多次数の完全な交差の次元を計算する生成関数を与えた。それは次の通りである。 $(a_{1},\ldots ,a_{r})$

\sum _{n=0}^{\infty }\chi (X_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r}))z^{n}={\frac {a_{1}\cdots a_{r}}{(1-z)^{2}}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{(1+(a_{i}-1)z)}}

引用

^ Harris 1992、p.136、定義。

参考文献

ハリス、ジョー（1992）『代数幾何学入門』Springer Science . ISBN 978-0-387-97716-4。
ヒュブシュ、トリスタン『カラビ・ヤウ多様体、物理学者のための百科事典』 、ワールド・サイエンティフィック社、380頁、ISBN 978-981-02-0662-8
Looijenga, EJN (1984),完全交差上の孤立特異点, ロンドン数学会講演ノートシリーズ, 第77巻, ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局, doi :10.1017/CBO9780511662720, ISBN 0-521-28674-3、MR 0747303
クリスチャン・メイヤー（2005）、モジュラー・カラビ・ヤウ・スリーフォールズ、vol. 22、フィールズ研究所の単行本、p. 194、ISBN 978-0-8218-3908-9
完全交差のオイラー特性(PDF) 、 2017年8月15日のオリジナル(PDF)からアーカイブ

外部リンク

マニフォールドアトラスの交差点を完了する

[FOOTNOTEHarris1992136Definition-1] Harris 1992、p.136、定義。