完全な交差リング

可換代数において、完全交差環は、完全交差である多様体の座標環に類似した可換環である。非公式には、それらは「可能な限り最小の」関係数を用いて定義できる局所環とほぼ考えることができる。

ネーター局所環の場合、次の包含連鎖が存在する。

普遍カテナリー環⊃ コーエン・マコーレー環⊃ゴレンシュタイン環⊃完全交差環⊃正則局所環

意味

局所完全交差環とは、正規局所環を正規列によって生成されるイデアルで割ったものが完備化となるようなノイザン局所環である。完備化を取ることは、すべての局所環が正規局所環の商であるとは限らないという事実から生じる、若干の技術的複雑性である。代数幾何学に現れるほとんどの局所環は、正規局所環の商である環をカバーしており、定義において完備化を取る必要はない。

環を正則な局所環に埋め込むことに依存しない、別の固有の定義があります。Rが最大イデアルmを持つノイザン局所環である場合、 m / m ²の次元はRの埋め込み次元emb dim ( R ) と呼ばれます。次数代数H ( R ) をm / m ²の生成元の最小システムに関するKoszul 複体のホモロジーとして定義します。同型性を除き、これはRにのみ依存し、 mの生成元の選択には依存しません。 H ₁ ( R )の次元はε ₁で示され、 Rの最初の偏差と呼ばれます。これは、 R が正則である場合に限りゼロになります。ノイザン局所環は、埋め込み次元が次元と最初の偏差の合計である場合に 完全交差環と呼ばれます。

emb dim( R ) = dim( R ) + ε ₁ ( R )。

局所完全交差環には、以下のように定義として使用できる再帰的な特徴付けも存在する。R が完全ノイザン局所環であるとする。Rの次元が 0 より大きく、x が最大イデアルの零因子でない元である場合、 Rが完全交差環となるのは、 R /( x )が完全交差環となる場合と同値である。(最大イデアルがすべて零因子で構成される場合、R は完全交差環ではない。) R の次元が 0 である場合、Wiebe (1969) は、その最大イデアルのフィッティングイデアルが零でない場合に限り、R が完全交差環となることを示した。

例

通常のローカルリング

正則な局所環は完全な交差環ですが、その逆は成り立ちません。つまり、環は正則ではない 0 次元の完全な交差環です。 $k[x]/(x^{2})$

完全な交差点ではない

局所完全交差環の例としては、ベクトル空間としてに同型なので長さが3であるが挙げられます。^[1] $k[x,y]/(yx^{2},x^{3})$ $k$ $k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot x^{2}$

反例

完全交差局所環はゴレンシュタイン環であるが、逆は成り立たない。つまり、環は0次元ゴレンシュタイン環であるが、完全交差環ではない。-ベクトル空間として、この環は $k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I$ $k$

{\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}

、ここで、および

R_{0}=k\cdot 1,R_{1}=k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot z

R_{2}=k\cdot z^{2}

最上位次数が次元であり、ポアンカレ性を満たすことから、ゴレンスタイン環であることが分かります。イデアルが-正則ではないため、局所完全交差環ではありません。例えば、はにおけるの零因子です。 $1$ $I\subset R$ $R$ $xy$ $x$ $R/(x^{2},y^{2})$

引用

^ 「滑らかでもなく、完全交差でもない局所完全交差多様体の例」MathOverflow . 2017年1月4日閲覧。

参考文献

Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7、MR 1251956
マハダス、ハビエル、ロディシオ、アントニオ・G. (2010). 滑らかさ、規則性、そして完全な交差.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9781139107181。
テイト、ジョン（1957）、「ノイマン環と局所環のホモロジー」、イリノイ数学ジャーナル、1：14-27、ISSN 0019-2082、MR 0086072
Wiebe、Hartmut (1969)、「Über homologische Invarianten lokaler Ringe」、Mathematische Annalen、179 : 257–274、doi :10.1007/BF01350771、ISSN 0025-5831、MR 0255531

[1] 「滑らかでもなく、完全交差でもない局所完全交差多様体の例」MathOverflow . 2017年1月4日閲覧。