Method for solving quadratic equations
正方形を完成させる過程を描いたアニメーション。（ 詳細 、 アニメーションGIF版 ） 初等代数学 において 、 平方完成とは、 の形式を持つ 二次多項式を、 と のある値に対して の形式に 変換する手法である 。 [1]新たな量 に関して言えば 、この式は線形項を持たない二次多項式である。その後、 を分離して 平方根 を取ることで 、二次問題が線形問題に簡約される。 a x 2 + b x + c {\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c} a ( x − h ) 2 + k {\displaystyle \textstyle a(x-h)^{2}+k} h {\displaystyle h} k {\displaystyle k} x − h {\displaystyle x-h} ( x − h ) 2 {\displaystyle \textstyle (x-h)^{2}}
正方形完成という 名称は、 が x {\displaystyle x} 長さが不明な幾何学的図に由来 しています。そして、 x 2 {\displaystyle \textstyle x^{2}} は辺が の 正方形 の面積を表し 、 は辺が と の 合同な 長方形 のペアの面積を表します。この正方形と長方形のペアに、辺の長さが の正方形をもう1つ追加します 。この重要なステップにより、辺の長さが のより大きな正方形 が完成します 。 x {\displaystyle x} b a x {\displaystyle {\tfrac {b}{a}}x} x {\displaystyle x} b 2 a {\displaystyle {\tfrac {b}{2a}}} b 2 a {\displaystyle {\tfrac {b}{2a}}} x + b 2 a {\displaystyle x+{\tfrac {b}{2a}}}
平方完成法は、 紀元前1800年から1600年にかけての 古代バビロニアの 粘土板に記された、一般的な 二次方程式を解く最も古い方法であり、今日でも初等代数学の授業で教えられています。また、二 次関数のグラフ化や 二次方程式の公式 の導出にも用いられ 、より一般的には二次多項式を含む計算にも用いられます。例えば、 微積分学 では、 指数 に線形項を含む ガウス積分 を評価する [2] ことや、 ラプラス変換を求めることなどが挙げられます [3] [4] 。
歴史 正方形を完成させる技術は、 古バビロニア帝国 で知られていました。 [5]
初期の代 数学 論文『 アル・ジャブル』 を著した有名な 博学者 ムハンマド・イブン・ムサ・アル＝フワーリズミー は、平方完成の技法を使って二次方程式を解きました。 [6]
概要
背景 二項式 の 平方 を計算する 初等代数 の公式は 次のとおりです。 ( x + p ) 2 = x 2 + 2 p x + p 2 . {\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}
例えば： ( x + 3 ) 2 = x 2 + 6 x + 9 ( p = 3 ) ( x − 5 ) 2 = x 2 − 10 x + 25 ( p = − 5 ) . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}
任意の完全な平方数では、 x の 係数 は数値 p の 2 倍であり、 定数項は p 2 に等しくなります 。
基本的な例 次の二次 多項式 を考えます。 x 2 + 10 x + 28. {\displaystyle x^{2}+10x+28.}
この二次方程式は完全な平方数ではありません。28 は 5 の平方数ではないからです。 ( x + 5 ) 2 = x 2 + 10 x + 25. {\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}
ただし、元の二次式をこの平方と定数の和として表すこともできます。 x 2 + 10 x + 28 = ( x + 5 ) 2 + 3. {\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}
これを平方完成 といいます 。
概要 任意の単項 二次方程式 が与えられた場合、 最初の 2 つの項が同じになる平方方程式を形成することができます。 x 2 + b x + c , {\displaystyle x^{2}+bx+c,} ( x + 1 2 b ) 2 = x 2 + b x + 1 4 b 2 . {\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}
この平方根は、元の二次方程式と定数項の値のみ異なります。したがって、 と書くことができます 。 この操作は 平方完成 と呼ばれます。例えば、 x 2 + b x + c = ( x + 1 2 b ) 2 + k , {\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,} k = c − b 2 4 {\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}} x 2 + 6 x + 11 = ( x + 3 ) 2 + 2 x 2 + 14 x + 30 = ( x + 7 ) 2 − 19 x 2 − 2 x + 7 = ( x − 1 ) 2 + 6. {\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}
非モニックケース 形式の二次多項式が与えられた場合、
係数 aを因数分解して、結果として得られる 単項多項式 の平方完成を行う ことができます 。 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
例：
係数 a を因数分解するこのプロセスは、 最初の2項のみを因数分解することでさらに簡略化できます。多項式の末尾の整数は含める必要はありません。 3 x 2 + 12 x + 27 = 3 [ x 2 + 4 x + 9 ] = 3 [ ( x + 2 ) 2 + 5 ] = 3 ( x + 2 ) 2 + 3 ( 5 ) = 3 ( x + 2 ) 2 + 15 {\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}
例： 3 x 2 + 12 x + 27 = 3 [ x 2 + 4 x ] + 27 = 3 [ ( x + 2 ) 2 − 4 ] + 27 = 3 ( x + 2 ) 2 + 3 ( − 4 ) + 27 = 3 ( x + 2 ) 2 − 12 + 27 = 3 ( x + 2 ) 2 + 15 {\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}
これにより、任意の二次多項式を次の形式で書くことができる。 a ( x − h ) 2 + k . {\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}
スカラーケース 平方完成の結果は式で表すことができる。一般的な場合、 [7] は a x 2 + b x + c = a ( x − h ) 2 + k , {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,} h = − b 2 a and k = c − a h 2 = c − b 2 4 a . {\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}
特に、 a = 1 の
とき 、 x 2 + b x + c = ( x − h ) 2 + k , {\displaystyle x^{2}+bx+c=(x-h)^{2}+k,} h = − b 2 and k = c − h 2 = c − b 2 4 . {\displaystyle h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}
方程式を で解き 、 得られた 式 を整理すると、 二次方程式 の根の 二次式 が得られます。 a ( x − h ) 2 + k = 0 {\displaystyle a(x-h)^{2}+k=0} x − h , {\displaystyle x-h,} x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
マトリックスケース 行列 の 場合も非常に似ています。 ここで 、 および です 。 は 対称 で なければならないことに注意してください 。 x T A x + x T b + c = ( x − h ) T A ( x − h ) + k {\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k} h = − 1 2 A − 1 b {\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b} k = c − 1 4 b T A − 1 b {\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b} A {\displaystyle A}
が対称でない 場合は 、と の式 を次のように一般化する必要があります。 A {\displaystyle A} h {\displaystyle h} k {\displaystyle k} h = − ( A + A T ) − 1 b and k = c − h T A h = c − b T ( A + A T ) − 1 A ( A + A T ) − 1 b {\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}
グラフとの関係 解析幾何学 において 、任意の 二次関数 の グラフは xy 平面上の 放物線 となる 。二次多項式の形が与えられている場合、 数値 h と kは放物線の 頂点 （または 停留点 ）の 直交座標 として解釈できる 。つまり、 h は対称軸の x 座標（つまり対称軸の方程式は x = h である）、 kは 二次関数の 最小値 （ a < 0の場合は最大値）である。 a ( x − h ) 2 + k {\displaystyle a(x-h)^{2}+k}
これを確認する 1 つの方法は、関数 f ( x ) = x 2 のグラフが、 頂点が原点 (0, 0) にある放物線であることに注目することです。したがって、関数 f ( x − h ) = ( x − h ) 2 のグラフは、上の図に示すように、頂点が ( h 、 0 ) にある、 h だけ右にシフトした放物線です 。対照的に、関数 f ( x ) + k = x 2 + k のグラフは、中央の図に示すように、頂点が (0、 k )にある、 k だけ上にシフトした放物線です 。水平シフトと垂直シフトの両方を組み合わせると、 f ( x − h ) + k = ( x − h ) 2 + k は、下の図に示すように、頂点が ( h 、 k ) にある、右に h 、上に k だけシフトした放物線になります。
二次方程式を解く 平方完成法は、あらゆる 二次方程式 を解くのに使えます。例えば、 x 2 + 6 x + 5 = 0. {\displaystyle x^{2}+6x+5=0.}
最初のステップは正方形を完成させることです。 ( x + 3 ) 2 − 4 = 0. {\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}
次に、二乗項を解きます。 ( x + 3 ) 2 = 4. {\displaystyle (x+3)^{2}=4.}
すると、どちらか であり、したがって x + 3 = − 2 or x + 3 = 2 , {\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,} x = − 5 or x = − 1. {\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}
これはあらゆる二次方程式に適用できます。x 2 に1以外の係数がある場合 、 まず 最初にその係数で方程式を割ります。例として、以下の非モニックな場合を参照してください。
無理数根と複素根 因数分解 法は 根が 有理数の 場合のみ信頼できますが、平方完成法は、根が 無理数 や 複素数 であっても二次方程式の根を求めることができます。例えば、次の方程式を考えてみましょう。 x 2 − 10 x + 18 = 0. {\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}
平方完成すると 次のように なる
。 ( x − 5 ) 2 − 7 = 0 , {\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,} ( x − 5 ) 2 = 7. {\displaystyle (x-5)^{2}=7.} x − 5 = − 7 or x − 5 = 7 . {\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}
もっと簡潔に言うと： つまり x − 5 = ± 7 , {\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},} x = 5 ± 7 . {\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}
複素根を持つ方程式も同様に扱うことができます。例えば： x 2 + 4 x + 5 = 0 ( x + 2 ) 2 + 1 = 0 ( x + 2 ) 2 = − 1 x + 2 = ± i x = − 2 ± i . {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}
非モニックケース 非モニック 二次方程式を含む方程式を解くための最初のステップは、 x 2 の係数で割ることです 。例えば、
2 x 2 + 7 x + 6 = 0 x 2 + 7 2 x + 3 = 0 ( x + 7 4 ) 2 − 1 16 = 0 ( x + 7 4 ) 2 = 1 16 x + 7 4 = 1 4 or x + 7 4 = − 1 4 x = − 3 2 or x = − 2. {\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}
この手順を二次方程式の一般形に適用すると、 二次方程式 の公式が得られます。
その他のアプリケーション
統合 平方完成法は、 基本積分を用いて、
任意の積分を評価するために使用できる。 ∫ d x a x 2 + b x + c {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}} ∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln | x − a x + a | + C and ∫ d x x 2 + a 2 = 1 a arctan ( x a ) + C . {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}
例えば、積分 ∫ d x x 2 + 6 x + 13 . {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}
分母の平方完成は次のようになります。 ∫ d x ( x + 3 ) 2 + 4 = ∫ d x ( x + 3 ) 2 + 2 2 . {\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}
これはu = x + 3の 代入 を使って評価することができ、次の式が得られます。 ∫ d x ( x + 3 ) 2 + 4 = 1 2 arctan ( x + 3 2 ) + C . {\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}
複素数 z と b が 複素数 、 z * と b * が
それぞれ z と b の 複素 共役 、 cが 実数 である式を考えてみましょう
。| u | 2 = uu * という恒等式を用いて、 これを次のように書き直すことができます
。これは明らかに実数 です。 これは、 | z | 2 − b ∗ z − b z ∗ + c , {\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,} | z − b | 2 − | b | 2 + c , {\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,} | z − b | 2 = ( z − b ) ( z − b ) ∗ = ( z − b ) ( z ∗ − b ∗ ) = z z ∗ − z b ∗ − b z ∗ + b b ∗ = | z | 2 − z b ∗ − b z ∗ + | b | 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}
別の例として、 a 、 b 、 c 、 x 、 y が実数で、 a > 0かつ b > 0で
ある 式は
、 複素数の 絶対値 の 2乗で表すことができます。定義 a x 2 + b y 2 + c , {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,} z = a x + i b y . {\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}
それで | z | 2 = z z ∗ = ( a x + i b y ) ( a x − i b y ) = a x 2 − i a b x y + i b a y x − i 2 b y 2 = a x 2 + b y 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}} a x 2 + b y 2 + c = | z | 2 + c . {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}
冪等行列 行列 M は、 M 2 = M のとき 冪等行列で ある 。冪等行列は、0と1の冪等性を一般化する。この方程式を平方完成法で解く
と、冪等な2×2行列 の中には、( a , b )平面上の 円 によってパラメータ化されるものがあることがわかる 。 a 2 + b 2 = a , {\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}
行列は 、平方完成すると となるという 条件でべき等になります。 ( a 、 b ) 平面では、これは中心が (1/2、0)、半径が 1/2 の円の方程式です。 ( a b b 1 − a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}} a 2 + b 2 = a , {\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,} ( a − 1 2 ) 2 + b 2 = 1 4 . {\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}
幾何学的遠近法 方程式の平方完成を考える x 2 + b x = a . {\displaystyle x^{2}+bx=a.}
x 2 は長さ x の辺を持つ正方形の面積を表し 、 bx は辺が b と x の長方形の面積を表す ため 、正方形を完成するプロセスは長方形の視覚的な操作として考えることができます。
x 2 の 長方形と bx の長方形を単純に組み合わせて 大きな正方形を作ると、角が欠けてしまいます。上式の両辺に加算される項 ( b /2) 2 は 、まさに欠けている角の面積であり、「正方形完成」という用語の由来となっています。 [8]
テクニックのバリエーション 従来教えられているように、平方完成とは、3番目の項 v 2 を に加えて平方数を得ること
です。また、中間の項 2 uv または −2 uv を に加えて平方数を
得る 場合もあります 。 u 2 + 2 u v {\displaystyle u^{2}+2uv} u 2 + v 2 {\displaystyle u^{2}+v^{2}}
例: 正の数とその逆数の合計 と書くことで 、正の数 x とその逆数の合計は常に 2 以上であることがわかります。実数の平方は常に 0 以上であり、これによって前述の境界が得られます。ここでは、 x が 1 のときに 2 となり、平方根が消えます。 x + 1 x = ( x − 2 + 1 x ) + 2 = ( x − 1 x ) 2 + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}
例: 単純な4次多項式の因数分解 多項式を因数分解する問題を考えてみましょう x 4 + 324. {\displaystyle x^{4}+324.}
中間項は2( x 2 )(18) = 36 x 2 となるため、次の式 が得られます （最後の行は、項の次数が減少するという慣例に従うためだけに追加されています）。 ( x 2 ) 2 + ( 18 ) 2 , {\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},} x 4 + 324 = ( x 4 + 36 x 2 + 324 ) − 36 x 2 = ( x 2 + 18 ) 2 − ( 6 x ) 2 = a difference of two squares = ( x 2 + 18 + 6 x ) ( x 2 + 18 − 6 x ) = ( x 2 + 6 x + 18 ) ( x 2 − 6 x + 18 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}
同じ議論から、 は 常に と因数分解可能である
ことがわかります ( ソフィー・ジェルマン恒等式 とも呼ばれます)。 x 4 + 4 a 4 {\displaystyle x^{4}+4a^{4}} x 4 + 4 a 4 = ( x 2 + 2 a x + 2 a 2 ) ( x 2 − 2 a x + 2 a 2 ) {\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}
キューブを完成させる 「平方完成」とは、 2次多項式の最初の2つの項が 1次多項式 の平方の最初の項でもあることに気づき 、これを利用して2次多項式を平方と定数の和として表すことです。
立方完成法は、 3 次多項式を2 次項 のない 3 次多項式に 変換できる同様の手法です 。
もっと正確に言えば、
a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d} はx の多項式であり 、 その最初の2つの項は、 a ≠ 0 , {\displaystyle a\neq 0,}
a ( x + b 3 a ) 3 = a x 3 + b x 2 + x b 2 3 a + b 3 27 a 2 . {\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}=ax^{3}+bx^{2}+x\,{\frac {b^{2}}{3a}}+{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}.} つまり、 変数の変更
t = x + b 3 a {\displaystyle t=x+{\frac {b}{3a}}} は、2 次項のない 3 次多項式を提供します。これは、 元の多項式の 抑圧形と呼ばれます。 t {\displaystyle t}
この変換は、一般的に、一般三次方程式を解く方法の最初のステップです。
より一般的には、同様の変換を使用して、次数 の多項式から 次数 の項を削除できます。これは、 チルンハウス変換 と呼ばれます 。 n − 1 {\displaystyle n-1} n {\displaystyle n}
参考文献 ^ アニタ・ワー著、クリエイティブ・パブリケーションズ社（1994年）。『代数学：テーマ、ツール、概念』アンリ・ピチョット著、500ページ 。ISBN 978-1-56107-251-4 。 500ページの抜粋
クリス・コーネゲイ (1999). 数学辞典（解答付き）. SAGE. p. 373. ISBN 978-0-7619-1785-4 。 373ページの抜粋
この形式 も時々使用されます。 a ( x + h ) 2 + k {\displaystyle a(x+h)^{2}+k}
カレン・モリソン、ニック・ハムショー (2018). ケンブリッジIGCSE®数学コア＆エクステンデッドコースブック（イラスト入り、改訂版）. ケンブリッジ大学出版局. p. 322. ISBN 978-1-108-43718-9 。 322ページの抜粋
シェフィウ・ザカリヤ（2024年）『エンジニアと科学者のための基礎数学（実例付き）』テイラー＆フランシス、254頁 。ISBN 978-1-003-85984-0 。 254ページの抜粋 ^ Dionissios T. Hristopulos (2020). 空間データモデリングのためのランダムフィールド：科学者とエンジニアのための入門書. Springer Nature. p. 267. ISBN 978-94-024-1918-4 。 267ページの抜粋 ^ ジェームズ・R・ブランナン、ウィリアム・E・ボイス（2015年）『微分方程式：現代手法と応用入門』（第3版）ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、314ページ 。ISBN 978-1-118-98122-1 。 314ページの抜粋 ^ スティーブン・L・キャンベル、リチャード・ハーバーマン (2011). 『微分方程式と動的システム入門』（イラスト入り）プリンストン大学出版局. 214ページ. ISBN 978-1-4008-4132-5 。 214ページの抜粋 ^ トニー・フィリップス、「Completing the Square」、 アメリカ数学会特集コラム 、2020年。 ^ ヒューズ、バーナバス. 「平方完成 - 加法を用いた二次方程式」. アメリカ数学協会. 2022年10月21日 閲覧 。 ^ ナラシムハン、レバティ（2008年）『プレカルキュラス：概念とつながりの構築』Cengage Learning. pp. 133– 134. ISBN 978-0-618-41301-0 。 、二次関数の頂点の公式のセクション、133～134ページ、図2.4.8 ^ キャロル、モーリーン・T.; ライケン、エリン (2018). 幾何学：直線と円. AMS/MAA教科書. アメリカ数学会. p. 162. ISBN 978-1-4704-4843-1 . 2024年3月31日 閲覧 。
外部リンク ウィキメディア コモンズには、平方完成 に関連するメディアがあります 。
^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22c4c34904778f055746900c6f939fc3d29aff2)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e905c1705aff97d23a6f09c27d5bb99a1693007e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070251df372b84b3dd6f8c308da9c572ba482c4e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9239b664bc5c84b3fca53889f8c11b61de3c94)
^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdab3928df47f714444c5ae3afa646e8a00db5f6)
![{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{または}}\quad x=-2.\end{配列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ee0335f9fc70a9d6f1e911da0051ad9970811c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,xi{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b556cc74f5f36290b4dd41a3bdda4a3e72c75c4)
