完全な乗法関数

Arithmetic function

数論において、積を成す正の整数の関数は重要であり、完全乗法関数または全乗法関数と呼ばれます。より弱い条件として、互いに素な数の積のみを成す関数も重要であり、そのような関数は乗法関数と呼ばれます。数論以外では、「乗法関数」という用語は、この記事で定義されている「完全乗法関数」と同義語として用いられることがよくあります。

意味

完全乗法関数（ぜんてきばんげん、英:completely multiplicative function）とは、自然数を定義域とする算術関数であり、すべての正の整数aとbに対してf (1) = 1かつf ( ab ) = f ( a ) f ( b )が成立する。^[1]

論理表記では、およびです。 ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle \forall a,b\in {\text{domain}}(f),f(ab)=f(a)f(b)}$

f (1) = 1という条件がなくてもf (1) = 0は成り立ちますが、その場合、すべての正の整数aに対してf ( a ) = 0 となるため、これはそれほど強い制約ではありません。 を固定しなかった場合、の値として と の両方が可能であることは、次のように分かります。 ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(1)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(1)=f(1\cdot 1)&\iff f(1)=f(1)f(1)\\&\iff f(1)=f(1)^{2}\\&\iff f(1)^{2}-f(1)=0\\&\iff f(1)\left(f(1)-1\right)=0\\&\iff f(1)=0\lor f(1)=1.\end{aligned}}}$$

上記の定義は、代数の言語を使用して言い換えることができます。完全な乗法関数は、モノイド(つまり、乗算による正の整数)から他のモノイドへの準同型です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{+},\cdot )}$

例

完全に乗法的な関数の最も簡単な例は、係数が1の単項式です。任意の正の整数nに対して、f ( a ) = a ⁿと定義します。すると、f ( bc ) = ( bc ) ⁿ = b ⁿ c ⁿ = f ( b ) f ( c )となり、f (1) = 1 ⁿ = 1となります。

リウヴィル関数は、ディリクレ指標、ヤコビ記号、ルジャンドル記号と同様に、完全に乗法的な関数の非自明な例です。

プロパティ

完全に乗法的な関数は、その素数における値によって完全に決定されます。これは算術の基本定理の帰結です。したがって、nが異なる素数の累乗の積、例えばn = p ^a q ^b ...とすると、f ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ... となります。

2つの乗法関数のディリクレ畳み込みは乗法関数ですが、2つの完全乗法関数のディリクレ畳み込みは必ずしも完全乗法関数である必要はありません。2つの完全乗法関数のディリクレ畳み込みとして表せる算術関数は、二次関数または特殊乗法乗法関数と呼ばれます。これらは(2, 0)位の有理算術関数であり、ブッシュ・ラマヌジャン恒等式に従います。

関数が完全に乗法的であることと同値な記述は数多く存在します。例えば、関数fが乗法的である場合、そのディリクレ逆関数がとなる場合、かつその場合に限り、関数は完全に乗法的となります。ここではメビウス関数です。^[2] ${\displaystyle \mu \cdot f}$ ${\displaystyle \mu }$

完全に乗法的な関数も分配法則を満たす。fが完全な乗法性を持つ 場合、

${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h)}$

ここで、*はディリクレ積を表し、 点ごとの乗算を表す。^[3] この結果、任意の乗法関数fに対して、 ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$

これは、定数関数と を両方置くことで上記から推測できます。ここでは、除数関数です。 ${\displaystyle g=h=1}$ ${\displaystyle 1(n)=1}$ ${\displaystyle \tau }$

分配法則の証明

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=\\&=\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))=\\&=\sum _{d|n}(f(d)f\left({\frac {n}{d}}\right))\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)){\text{ (since }}f{\text{ is completely multiplicative) }}=\\&=\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left({\frac {n}{d}}\right)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{aligned}}}$

ディリクレ級数

完全に（または完全に）乗法的な ディリクレ級数 のL関数は次式を満たす。 ${\displaystyle a(n)}$

${\displaystyle L(s,a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1},}$

つまり、すべての自然数の和はすべての素数の積に等しいということです。

参照

• 算術関数
• ディリクレL関数
• ディリクレ級数
• 乗法関数

参考文献

1. アポストル、トム (1976).解析的数論入門. シュプリンガー. pp. 30. ISBN 0-387-90163-9。
2. アポストル、36ページ
3. アポストル 49ページ

• TM Apostol, 完全に乗法的な算術関数のいくつかの性質, Amer. Math. Monthly 78 (1971) 266-271.

• P. Haukkanen、「完全に乗法的な算術関数の特徴について」、数論、トゥルク、de Gruyter、2001年、115～123頁。

• E. Langford, ディリクレ積と完全に乗法的な算術関数の分配性, Amer. Math. Monthly 80 (1973) 411–414.

• V. Laohakosol, 対数演算子と完全乗法関数の特徴づけ, Southeast Asian Bull. Math. 25 (2001) no. 2, 273–281.

• KL Yocom, 正則畳み込み環における全乗法関数, カナダ数学会報 16 (1973) 119–128.

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