Branch of algebraic topology
数学 において 、 位相的 K 理論は 代数位相論 の一分野です。 アレクサンダー・グロタンディーク によって導入され、現在（一般） K理論 として認識されている概念を用いて、 位相空間 上の ベクトル束 を研究するために設立されました。位相的 K 理論に関する初期の研究は、 マイケル・アティヤ と フリードリヒ・ヒルツェブルッフ によるものです 。
定義 X を コンパクト ハウスドルフ空間 とし 、 またはとする 。 すると、 X 上の有限次元 k ベクトル束の同型類 の 可換モノイド の グロタン ディーク群が ホイットニー和 の下 で定義される 。 束の テンソル積は、 K 理論に 可換環 構造を与える。添え字がない場合、 は通常複素 K 理論を表すが、実 K 理論は と書かれることもある 。残りの議論は複素 K 理論に焦点を当てる。 k = R {\displaystyle k=\mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } K k ( X ) {\displaystyle K_{k}(X)} K ( X ) {\displaystyle K(X)} K O ( X ) {\displaystyle KO(X)}
最初の例として、点の K 理論は整数であることに注意する。これは、点上のベクトル束は自明であるため、その階数によって分類され、自然数のグロタンディーク群は整数であるためである
K 理論 の簡約版である、 コンパクト 尖端空間 X に対して定義される （ 簡約ホモロジー 参照）。この簡約理論は直感的に、 自明バンドル を法とする K ( X ) である。これはバンドルの安定同値類の群として定義される。2つのバンドル E と Fは 、自明バンドルと が存在する場合、 安定同型 であると言われ、となる 。 この同値関係は群をもたらす。なぜなら、すべてのベクトルバンドルは、その直交補集合と和をとることで自明バンドルに完備化できるからである。あるいは、は 基点 x 0 をX に含めることによって誘導される 写像の 核 として定義できる 。 K ~ ( X ) {\displaystyle {\widetilde {K}}(X)} ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} E ⊕ ε 1 ≅ F ⊕ ε 2 {\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}} K ~ ( X ) {\displaystyle {\widetilde {K}}(X)} K ( X ) → K ( x 0 ) ≅ Z {\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }
K 理論は、次のように 乗法（一般化） コホモロジー理論 を形成する。尖端空間のペア （ X 、 A ）の 短完全列は、
K ~ ( X / A ) → K ~ ( X ) → K ~ ( A ) {\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)} 長完全列 に拡張される
⋯ → K ~ ( S X ) → K ~ ( S A ) → K ~ ( X / A ) → K ~ ( X ) → K ~ ( A ) . {\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).} S n を 空間の n 番目の 簡約サスペンション とし 、定義する
K ~ − n ( X ) := K ~ ( S n X ) , n ≥ 0. {\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.} 負の添え字は、共境界 写像が次元を増加させる ように選択される
これらの群の非縮約版は、単に次のように定義するだけでよく、多くの場合便利です
K − n ( X ) = K ~ − n ( X + ) . {\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).} ここで は 「+」とラベル付けされた分離した基点が付加されている。 [1] X + {\displaystyle X_{+}} X {\displaystyle X}
最後に、以下に定式化する ボット周期性定理は、 理論を正の整数に拡張します。
性質 K n {\displaystyle K^{n}} （それぞれ、 ）は、 （尖った）空間の ホモトピー圏 から可換環の圏への 反変関手 です。したがって、例えば、 縮約可能空間 上の K 理論は常に K ~ n {\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}} Z . {\displaystyle \mathbb {Z} .} K 理論 の スペクトル は （上の離散位相とともに ）、すなわち、 ここで [、]は 尖ったホモトピー類を表し、 BU はユニタリー群 の分類空間の 余極限 です 。 同様に、 実 K 理論では BO を使用します。 B U × Z {\displaystyle BU\times \mathbb {Z} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} } K ( X ) ≅ [ X + , Z × B U ] , {\displaystyle K(X)\cong [X_{+},\mathbb {Z} \times BU],} B U ( n ) ≅ Gr ( n , C ∞ ) . {\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} (n,\mathbb {C} ^{\infty }).} K ~ ( X ) ≅ [ X , Z × B U ] . {\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].} 自然な 環準同型 であるチャーン 指標 が存在し 、そのようなものは 同型です。 K 0 ( X ) → H 2 ∗ ( X , Q ) , {\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),} K 0 ( X ) ⊗ Q → H 2 ∗ ( X , Q ) {\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )} K 理論 における スティーンロッド演算 に相当するものは アダムス演算です。これらは位相 K 理論の特性類を定義するために使用できます 。 位相K 理論の 分割原理により、 任意 のベクトル束に関する記述を直線束の和に関する記述に還元することができます。 位相K 理論 における トム 同型定理は、 T ( E ) がベクトル束 Eの X 上の トム空間 である 場合に成り立ちます 。これは、 E がスピン束であるときはいつでも成り立ちます。 K ( X ) ≅ K ~ ( T ( E ) ) , {\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),} アティヤ ・ヒルツェブルッフのスペクトル列により、 通常のコホモロジー群から K 群を計算することができます。 位相 K 理論は、 C*-代数 上の関数へと大幅に一般化できます。 作用素K理論 と KK理論 を参照してください。
ボット周期性 ラウル・ボット にちなんで名付けられた 周期性 現象 （ ボット周期性定理を 参照）は、次のように定式化できます
K ( X × S 2 ) = K ( X ) ⊗ K ( S 2 ) , {\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),} ここで 、 Hは リーマン 球面 上の トートロジーバンドル の類である 。 K ( S 2 ) = Z [ H ] / ( H − 1 ) 2 {\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}} S 2 = P 1 ( C ) , {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),} K ~ n + 2 ( X ) = K ~ n ( X ) . {\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).} Ω 2 B U ≅ B U × Z . {\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .} 実 K 理論にも同様の周期性があるが、8を法とする。
応用 位相的 K理論は 、ジョン・フランク・アダムスによる 「 ホップ不変量 1」問題の証明において 、アダムス演算 を介して応用されました 。 [2]アダムスはまた、 球面上の線型独立なベクトル場 の数の上限も証明しました 。 [3]
チャーン指標 マイケル・アティヤ と フリードリヒ・ヒルツェブルッフは、 有限CW複体の位相K理論 とその有理コホモロジーを関連付ける定理を証明した。特に、彼らは準同型が存在することを示した。 X {\displaystyle X}
c h : K top ∗ ( X ) ⊗ Q → H ∗ ( X ; Q ) {\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )} というように
K top 0 ( X ) ⊗ Q ≅ ⨁ k H 2 k ( X ; Q ) K top 1 ( X ) ⊗ Q ≅ ⨁ k H 2 k + 1 ( X ; Q ) {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}} 連接層のグロタンディーク群と滑らかな射影多様体のチャウ環を関連付ける代数的な類似が存在する 。 X {\displaystyle X}
も参照
参考文献 ^ ハッチャー. ベクトル束とK理論 (PDF) . p. 57. 2017年 7月27日 閲覧 . ^ アダムズ、ジョン (1960). ホップ不変量1の元の非存在について . 数学年報. 72 1. ^ アダムズ, ジョン (1962). 「球面上のベクトル場」. Annals of Mathematics . 75 (3): 603– 632. doi :10.2307/1970213. JSTOR 1970213. 
![{\displaystyle K(X)\cong [X_{+},\mathbb{Z}\times BU],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2015079beb2736ca46bb47a0761f7f703b4798)
![{\displaystyle {\widetilde{K}}(X)\cong [X,\mathbb{Z}\times BU].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035a00294eb3c68d1132027458e751be51038d31)
![{\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5fc775befb28b2d1933747551e892e0c0e2c7f8)
