複素共役

Fundamental operation on complex numbers

複素平面におけるとその共役の幾何学的表現（アルガン図）。複素共役は実軸を挟んで反射することで求められる。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z}$

数学において、複素数の複素共役とは、実部と虚部の大きさが等しく、かつ符号が反対である数です。つまり、と が実数の場合、 の複素共役はです。 の複素共役は、または と表記されることが多いです。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a-bi.}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}}$

極形式では、と が実数の場合、 の共役はです。これは、オイラーの公式を使用して示すことができます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ ${\displaystyle re^{-i\varphi }.}$

複素数とその共役数の積は実数です:  (または 極座標では)。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle r^{2}}$

実係数を持つ一変数多項式の根が複素数である場合、その複素共役も根になります。

表記

複素数の複素共役は、またはと表記されます。最初の表記法であるビンキュラムは、複素共役の一般化と考えられる行列の共役転置の表記法との混同を避けるためです。2番目の表記法は、共役転置にダガー（† ）が使用される物理学や、バー表記が論理否定（"NOT"）ブール代数記号と混同される可能性のある電気工学やコンピュータ工学において好まれます。一方、純粋数学ではバー表記の方が一般的です。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}.}$

複素数を行列として表す ${\displaystyle 2\times 2}$場合、表記法は同じであり、複素共役は行列転置に対応し、対角線に沿って反転します。^[1]

プロパティ

以下の性質は、特に断りのない限り、すべての複素数とに適用され、次のように記述することで証明できる。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle a+bi.}$

任意の2つの複素数に対して、共役は加算、減算、乗算、除算に対して分配的である： ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$

複素数は、その虚数部がゼロ、つまり実数であるとき、その複素共役数と等しくなります。言い換えれば、実数は共役の唯一の不動点です。

共役は複素数の絶対値は変化しません。 ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

共役とは反転であり、複素数の共役の共役は 記号で表すと^[2] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

複素数とその共役数の積は、その数の係数の2乗に等しい。これにより、直交座標で与えられた複素数の逆数を簡単に計算できる。 $${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$$ $${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ for all }}z\neq 0.}$$

共役は、整数乗のべき乗、指数関数、および非ゼロ引数の自然対数との合成に関して可換である： ^{[注 1]} $${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$ $${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ if }}z{\text{ is not zero or a negative real number }}}$$

が実係数の多項式である場合も同様です。したがって、実多項式の非実根は複素共役対として現れます（複素共役根定理を参照）。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(z)=0,}$ ${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$

一般に、実数への制限が実数値である正則関数であり、およびが定義されている場合、 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$ $${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$$

から への写像は、 をそれ自身の上の複素ベクトル空間と見なすと、同相写像（ 上の位相を標準位相とする）かつ反線型である。一見行儀の良い関数であるが、正則ではない。つまり、正則関数が局所的に向きを保存するのに対し、 では向きが反転する。これは全単射であり、算術演算と互換性があるため、体自己同型 である。実数を固定したままにするので、体拡大のガロア群の元である。このガロア群には、と 上の恒等写像の 2 つの元しかない。したがって、実数を固定したままにする の体自己同型は、恒等写像と複素共役の2 つだけである。 ${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

変数として使用する

複素数またはが与えられたら、その共役は -変数の部分を再現するのに十分です。 ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle z}$

• 実部: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• 虚数部: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• 係数（または絶対値） : ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• 議論：だから ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$ ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

さらに、平面上の直線を特定するために、 は原点を通り に垂直な直線となります。これは、の実部がとの間の角度の余弦が 0 の場合にのみ 0 となるためです。同様に、複素単位が 固定されている場合、 は を通る直線と を通る直線が0 と を通る直線に平行であることを示します。 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ $${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$$ ${\displaystyle {r},}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {r}}$ ${\displaystyle u=e^{ib},}$ $${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u.}$

の共役を変数として使用する方法は、フランク・モーリーと息子のフランク・ヴィガー・モーリーとの 共著『 Inversive Geometry 』(1933 年) に説明されています。 ${\displaystyle z}$

一般化

他の平面実単位代数、双対数、分割複素数も複素共役を使用して解析されます。

複素数行列の場合、は^[3]の要素ごとの共役を表す。これを、の共役転置を表す性質と比較すると、 ${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$ ${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ ${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$ ${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$ ${\textstyle \mathbf {A} .}$

複素行列の共役転置（または随伴）をとることで、複素共役が一般化されます。さらに一般的な概念として、（おそらく無限次元の）複素ヒルベルト空間上の作用素に対する随伴作用素があります。これらすべては、 C*-代数の*-作用素に包含されます。

四元数と分割四元数の共役を定義することもできる。共役は ${\textstyle a+bi+cj+dk}$ ${\textstyle a-bi-cj-dk.}$

これらすべての一般化は、因子が逆転した場合にのみ乗法的になります。 $${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$$

平面実代数の乗算は可換なので、この逆転は必要ありません。

複素数上のベクトル空間 には共役という抽象的な概念もある。この文脈では、 ${\textstyle V}$ ${\textstyle \varphi :V\to V}$

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,}$ここで、およびは恒等写像である。 ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$ ${\displaystyle V,}$
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$すべての人のために ${\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} ,}$
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$すべての人のために ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,}$

は複素共役、あるいは実構造と呼ばれる。この反転は反線型なので、上の恒等写像にはなり得ない。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V.}$

もちろん、任意の複素空間は、元の空間と同じベクトルを取り、スカラーを実数に制限することによって得られる実数形式を持つことに注意すれば、 はの -線型変換である。上記の性質は、複素ベクトル空間上の実構造を実際に定義している^[4]。 ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

この概念の一例は、上で定義した複素行列の共役転置演算です。しかし、一般的な複素ベクトル空間では、複素共役の標準的な概念は存在しません。

参照

• 絶対平方 – ある数とその数自身の積Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 複素共役直線 – 複素幾何学における演算
• 複素共役表現
• 複素共役ベクトル空間 – 数学の概念Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 合成代数 – 代数の種類。非結合的である可能性あり
• 共役（平方根）  – 平方根の符号の変化
• エルミート関数 – 複素関数の種類
• ヴィルティンガー微分 – 複素解析における概念

参考文献

1. 「レッスン解説：複素数の行列表現 | Nagwa」www.nagwa.com . 2023年1月4日閲覧。
2. フリードバーグ、スティーブン; インセル、アーノルド; スペンス、ローレンス (2018)、『線形代数』（第5版）、ピアソン、ISBN 978-0134860244付録D
3. アルフケン『物理学者のための数学的手法』1985年、201ページ
4. Budinich, P. および Trautman, A. The Spinorial Chessboard。 Springer-Verlag、1988、p. 29

脚注

1. 累乗#複素数の非整数累乗を参照してください。

参考文献

• ブディニッチ、P. とトラウトマン、A.スピノリアル チェス盤。シュプリンガー版、1988 年。ISBN 0-387-19078-3（反線型写像については3.3節で説明する）。

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