複素射影平面

数学において、複素射影平面（こんすうはんぺい、英: 複素射影平面、英: 複素射影平面）は、通常⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )$ または⁠ ⁠ $\mathbb {CP} ^{2},$ と表記され、2次元複素射影空間である。これは、3つの複素座標で記述される複素次元2の複素多様体である。

(Z_{1},Z_{2},Z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\neq (0,0,0)

ただし、全体的な再スケーリングによって異なる 3 つ組は次のように識別されます。

(Z_{1},Z_{2},Z_{3})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\lambda Z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.

つまり、これらは射影幾何学の伝統的な意味での同次座標です。

トポロジー

複素射影平面のベッティ数は

1、0、1、0、1、0、0、.....

中間の次元2は、平面上に存在する複素射影直線、すなわちリーマン球面のホモロジー類によって説明される。複素射影平面の非自明なホモトピー群はである。基本群は自明であり、それより高次のホモトピー群はすべて5次元球面のホモトピー群、すなわち捩れ群である。 $\pi _{2}=\pi _{5}=\mathbb {Z}$

代数幾何学

双有理幾何学において、複素有理曲面は複素射影平面と双有理的に同値な代数曲面である。任意の非特異有理多様体は、非常に特殊な種類の曲線の一連のブローアップ変換とその逆（「ブローダウン」）によって平面から得られることが知られている。特殊なケースとして、 ⁠ ⁠の非特異複素二次曲面は、2 点を曲線にブローアップし、次にこれら 2 点を通る直線をブローダウンすることで平面から得られる。この変換の逆は、二次曲面 $Q上の点$ $P$ を取り、それをブローアップし、 $P$ を通る直線を描いて⁠ ⁠の一般平面に射影することで見ることができる。 $\mathbb {P} ^{3}$ $\mathbb {P} ^{3}$

複素射影平面の双有理自己同型群はクレモナ群である。

微分幾何学

リーマン多様体である複素射影平面は、断面曲率が1/4に挟まれた4次元多様体であるが、厳密にはそうではない。つまり、両方の境界値を満たすため、球面定理が要求する球面性は回避される。競合する正規化としては、曲率が1/4と1の間に挟まれる正規化と、1と4の間に挟まれる正規化がある。前者の正規化では、複素射影直線によって定義される埋め込み面のガウス曲率は1である。後者の正規化では、埋め込み実射影平面のガウス曲率は1である。

リーマンテンソルとリッチテンソルの明示的なデモンストレーションは、フビニスタディ計量に関する記事のn =2 サブセクションで示されています。

参照

参考文献

CE Springer (1964) 『射影空間の幾何学と解析』、140～143 ページ、WH Freeman and Company。