複素反射群

数学において、複素反射群は、複素反射（複素超平面を点ごとに固定する非自明な要素）によって生成される有限次元複素ベクトル空間に作用する有限群です。

複素鏡映群は、多項式環の不変理論の研究において登場する。20世紀半ば、シェパードとトッドの研究によって、複素鏡映群は完全に分類された。特殊な例としては、置換の対称群、二面体群、そしてより一般的にはすべての有限実鏡映群（コクセター群またはワイル群、正多面体の対称群を含む）が挙げられる。

意味

有限次元複素ベクトル空間Vの(複素) 反射r (擬似反射またはユニタリ反射と呼ばれることもある) は、複素超平面を点ごとに固定する有限位数の元であり、つまり、固定空間の余次元は 1 です。 $r\in GL(V)$ $\operatorname {Fix} (r):=\operatorname {ker} (r-\operatorname {Id} _{V})$

(有限)複素反射群は 反射によって生成されるの有限部分群です。 $W\subseteq GL(V)$ $GL(V)$

プロパティ

任意の実反射群は、 RからCへスカラーを拡張すれば複素反射群になる。特に、すべての有限コクセター群やワイル群は複素反射群の例となる。

複素鏡映群Wが既約であるとは、対応するベクトル空間のW不変な真部分空間が原点のみであることを意味する。この場合、ベクトル空間の次元はWの階数と呼ばれる。

階数Wの既約複素反射群のコクセター数は、次のように定義される。ここで、は反射の集合、は反射超平面の集合を表す。実反射群の場合、この定義は有限コクセター系に対するコクセター数の通常の定義に帰着する。 $h$ $n$ $h={\frac {|{\mathcal {R}}|+|{\mathcal {A}}|}{n}}$ ${\mathcal {R}}$ ${\mathcal {A}}$

分類

任意の複素反射群は、対応するベクトル空間の和に作用する、既約複素反射群の積である。^[1]したがって、既約複素反射群を分類すれば十分である。

既約複素反射群は、ジェフリー・コリン・シェパードとJA トッドによって分類されました。^[2]彼らは、すべての既約群は、3 つの正の整数パラメータ（pはmを割り切る）に依存する無限族G ( m , p , n ) に属するか、または 4 から 37 まで番号が付けられた 34 の例外ケースの 1 つであることを証明しました。 ^[3] 群G ( m , 1, n ) は一般化された対称群です。つまり、対称群 Sym( n ) と位数mの巡回群との輪積です。行列群として、その要素は、非ゼロ要素が1 のm乗根である単項行列として実現できます。

群G ( m , p , n ) はG ( m , 1, n )の添字p の部分群である。 G ( m , p , n ) は位数m ⁿ n !/ pである。行列としては、非零要素の積が ( m / p ) 乗根（単なるm乗根ではない）となる部分集合として実現できる。代数的には、G ( m , p , n ) は、位数m ⁿ / pのアーベル群と対称群 Sym( n ) の半直積である。アーベル群の元は ( θ ^a^₁ , θ ^a^₂ , ..., θ ^a^_n ) の形式をとり、θは原始m乗根、Σ a _i ≡ 0 mod pであり、Sym( n ) は座標の置換として作用する。^[4]

群G ( m , p , n )は、 m = 1, n > 1 （対称群）およびG (2, 2, 2) （クラインの四元群）の場合を除いて、C ⁿに既約に作用する。これらの場合、C ^{n は}次元 1 とn − 1の既約表現の和として分解される。

特別なケースG（メートル、p、n）

コクセターグループ

m = 2のとき、前節で述べた表現は実数要素を持つ行列から成り、したがってこの場合G ( m , p , n )は有限コクセター群となる。特に、次の式が成り立つ: ^[5]

G (1, 1, n ) は型A _{n −1} = [3,3,...,3,3] =を持つ。...; 位数nの対称群!
G (2, 1, n ) はタイプBを持ち、 _n = [3,3,...,3,4] =...;位数 2 ⁿ nの超八面体群!
G (2, 2, n ) は型D _n = [3,3,...,3 ^1,1 ] =を持つ。...、順序は 2 ⁿ n !/2 です。

さらに、m = p、n = 2のとき、群G ( p , p , 2)は位数2 pの二面体群である。コクセター群としては、タイプI ₂ ( p ) = [ p ] =（ p = 6のときは Weyl 群G ₂）。

その他の特殊なケースと偶然の一致

2つの群G ( m , p , n ) が複素鏡映群として同型となる場合^[要説明]は、任意の正整数a , bに対してG ( ma , pa , 1) がG ( mb , pb , 1)と同型となる場合（そして両方とも位数m / pの巡回群と同型となる場合）のみである。しかし、そのような2つの群が抽象群として同型となる場合も存在する。

群G (3, 3, 2) とG (1, 1, 3) は対称群 Sym(3) と同型である。群G (2, 2, 3) とG (1, 1, 4) は対称群 Sym(4) と同型である。G (2, 1, 2) とG ( 4, 4, 2)はともに位数 8 の二面体群と同型である。また、群G (2 p , p , 1) はG (1, 1, 2)と同様に位数 2 の巡回群である。

既約複素反射群の一覧

このリストの最初の 3 行には重複がいくつかあります。詳細については、前のセクションを参照してください。

STは反射群のシェパード・トッド数です。
ランクは、グループが作用する複素ベクトル空間の次元です。
構造は群の構造を表します。記号*は2つの群の中心積を表します。階数2の場合、（巡回）中心による商は、表に示されているように、正四面体、正八面体、または正二十面体の回転群（T = Alt(4)、O = Sym(4)、I = Alt(5)、位数12、24、60）です。2 ¹⁺⁴という表記については、特別群を参照してください。
順序はグループの要素の数です。
反射は反射の数を表します。2 ⁶ 4 ^{12 は}、次数 2 の反射が 6 回、次数 4 の反射が 12 回あることを意味します。
次数は、多項式不変量環の基本不変量の次数を表します。例えば、群数4の不変量は、次数4と6の2つの生成元を持つ多項式環を形成します。

既約複素反射群^[6]
ST	ランク	構造と名前	コクセターの名前	注文	反射	学位	共度
1	n −1	対称群 G (1,1, n ) = Sym( n )		ん！	2 ^{n ( n − 1)/2}	2、3、…、n	0,1,..., n − 2
2	n	G ( m , p , n ) m > 1, n > 1, p \| m ( G (2,2,2) は既約である)		m ⁿ n !/ p	2 ^{mn ( n −1)/2}、d ^{n φ( d )} ( d \| m / p、 d > 1)	m ,2 m ,..,( n − 1) m ; mn / p	p < mの場合は0, m ,...,( n − 1) m 、 p = mの場合は0, m ,...,( n − 2) m , ( n − 1) m − n
2	2	G ( p ,1,2) p > 1,	p[4]2または	2ページ^2ページ	2 ^p , d ^{2φ( d )} ( d \| p , d > 1)	p ; 2p	0、p
2	2	二面体群 G ( p , p ,2) p > 2	[ p ] または	2ページ	2^ページ	2、ページ	0、p-2
3	1	巡回群 G ( p ,1,1) = Z _p	p [] または	p	d ^{φ( d )} ( d \| p , d > 1)	p	0
4	2	W(L ₂ )、Z ₂ . T	3[3]3または、⟨2,3,3⟩	24	3 ⁸	4,6	0,2
5	2	Z ₆ . T	3[4]3または	72	3 ¹⁶	6,12	0,6
6	2	Z ₄ . T	3[6]2または	48	2 ⁶ 3 ⁸	4,12	0,8
7	2	Z ₁₂ . T	‹3,3,3› ₂または ⟨2,3,3⟩ ₆	144	2 ⁶ 3 ¹⁶	12,12	0,12
8	2	Z ₄ . O	4[3]4または	96	2 ⁶ 4 ¹²	8,12	0,4
9	2	Z ₈ . O	4[6]2またはまたは⟨2,3,4⟩ ₄	192	2 ¹⁸ 4 ¹²	8,24	0,16
10	2	Z ₁₂ . O	4[4]3または	288	2 ⁶ 3 ¹⁶ 4 ¹²	12,24	0,12
11	2	Z ₂₄ . O	⟨2,3,4⟩ ₁₂	576	2 ¹⁸ 3 ¹⁶ 4 ¹²	24,24	0,24
12	2	Z ₂ . O = GL ₂ ( F ₃ )	⟨2,3,4⟩	48	2 ¹²	6,8	0,10
13	2	Z ₄ . O	⟨2,3,4⟩ ₂	96	2 ¹⁸	8,12	0,16
14	2	Z ₆ . O	3[8]2または	144	2 ¹² 3 ¹⁶	6,24	0,18
15	2	Z ₁₂ . O	⟨2,3,4⟩ ₆	288	2 ¹⁸ 3 ¹⁶	12,24	0,24
16	2	Z ₁₀ . I , ⟨2,3,5⟩ × Z ₅	5[3]5または	600	5 ⁴⁸	20,30	0,10
17	2	Z ₂₀ . I	5[6]2または	1200	2 ³⁰ 5 ⁴⁸	20,60	0,40
18	2	Z ₃₀ . I	5[4]3または	1800	3 ⁴⁰ 5 ⁴⁸	30,60	0,30
19	2	Z ₆₀ . I	⟨2,3,5⟩ ₃₀	3600	2 ³⁰ 3 ⁴⁰ 5 ⁴⁸	60,60	0,60
20	2	Z ₆ . I	3[5]3または	360	3 ⁴⁰	12,30	0,18
21	2	Z ₁₂ . I	3[10]2または	720	2 ³⁰ 3 ⁴⁰	12,60	0,48
22	2	Z ₄ . I	⟨2,3,5⟩ ₂	240	2 ³⁰	12,20	0,28
23	3	W(H ₃ ) = Z ₂ × PSL ₂ (5)	[5,3],	120	2 ¹⁵	2,6,10	0,4,8
24	3	W(J ₃ (4)) = Z ₂ × PSL ₂ (7)、クライン	[1 1 1 ⁴ ] ⁴ ,	336	2 ²¹	4,6,14	0,8,10
25	3	W(L ₃ ) = W(P ₃ ) = 3 ¹⁺² .SL ₂ (3)ヘッセ行列	3[3]3[3]3,	648	3 ²⁴	6,9,12	0,3,6
26	3	W(M ₃ ) = Z ₂ ×3 ¹⁺² .SL ₂ (3)ヘッセ行列	2[4]3[3]3,	1296	2 ⁹ 3 ²⁴	6,12,18	0,6,12
27	3	W(J ₃ (5)) = Z ₂ ×( Z ₃ .Alt(6))、ヴァレンタナー	[1 1 1 ⁵ ] ⁴ , [1 1 1 ⁴ ] ⁵ ,	2160	2 ⁴⁵	6,12,30	0,18,24
28	4	W(F ₄ ) = (SL ₂ (3)* SL ₂ (3)).( Z ₂ × Z ₂ )	[3,4,3],	1152	2 ¹²⁺¹²	2,6,8,12	0,4,6,10
29	4	W(N ₄ ) = ( Z ₄ *2 ^{1 + 4} ).Sym(5)	[1 1 2] ⁴ ,	7680	2 ⁴⁰	4,8,12,20	0,8,12,16
30	4	W(H ₄ ) = (SL ₂ (5)*SL ₂ (5)). Z ₂	[5,3,3],	14400	2 ⁶⁰	2,12,20,30	0,10,18,28
31	4	W(EN ₄ ) = W(O ₄ ) = ( Z ₄ *2 ^{1 + 4} ).Sp ₄ (2)		46080	2 ⁶⁰	8,12,20,24	0,12,16,28
32	4	W(L ₄ ) = Z ₃ × Sp ₄ (3)	3[3]3[3]3[3]3,	155520	3 ⁸⁰	12,18,24,30	0,6,12,18
33	5	W(K ₅ ) = Z ₂ ×Ω ₅ (3) = Z ₂ × PSp ₄ (3)= Z ₂ × PSU ₄ (2)	[1 2 2] ³ ,	51840	2 ⁴⁵	4,6,10,12,18	0,6,8,12,14
34	6	W(K ₆ )= Z ₃ .Ω⁻ ₆（3）Z ₂、ミッチェルのグループ	[1 2 3] ³ ,	39191040	2 ¹²⁶	6,12,18,24,30,42	0,12,18,24,30,36
35	6	W(E ₆ ) = SO ₅ (3) = O⁻ ₆(2) = PSP ₄ (3)。Z ₂ = PSU ₄ (2)。Z2	[3 ^2,2,1 ],	51840	2 ³⁶	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W(E ₇ ) = Z ₂ ×Sp ₆ (2)	[3 ^3,2,1 ],	2903040	2 ⁶³	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	8	W(E ₈ )= Z ₂ .O⁺⁸ （2）	[3 ^4,2,1 ],	696729600	2 ¹²⁰	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

学位

シェパードとトッドは、複素ベクトル空間に作用する有限群が複素鏡映群となるための必要十分条件は、その不変量環が多項式環となることである（シュヴァレー・シェパード・トッドの定理）。鏡映群の階数である不変量環の生成元の次数はWの次数と呼ばれ、上記の「次数」の列に列挙されている。彼らはまた、群の他の多くの不変量も次数によって以下のように決定されることを示した。 $\ell$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$

既約反射群の中心は、次数の最大公約数に等しい順序で巡回します。
複素反射群の位数はその次数の積です。
反射の数は次数の合計から順位を引いた数です。
既約複素反射群は、2 次不変量を持つ場合にのみ、実反射群から生じます。
次数d _{i は}次式を満たす $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$

共度

反射群の階数をWとすると、Wの共度は次のように定義される。 $\ell$ $d_{1}^{*}\geq d_{2}^{*}\geq \ldots \geq d_{\ell }^{*}$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q-d_{i}^{*}-1)=\sum _{w\in W}\det(w)q^{\dim(V^{w})}.$

実反射群の場合、コード度は度数から 2 を引いた値になります。
反射超平面の数は、符号次数とランクの合計です。

適切に生成された複雑な反射グループ

定義により、すべての複素反射群はその反射によって生成される。しかし、反射の集合は最小生成集合ではない。ランク $nの既約複素反射群はすべて、$ $n個$ または $n + 1個$ の反射からなる最小生成集合を持つ。前者の場合、その群はwell-generatedであると言われる。

生成可能であるという性質は、すべてのに対する条件と同値である。したがって、例えば、この分類から、群 $G$ $($ $m$ $,$ $p$ $,$ $n$ $)$ が生成可能であるのはp = 1 またはmの場合のみであることが読み取れる。 $d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }$ $1\leq i\leq \ell$

既約な良く生成される複素鏡映群の場合、上で定義したコクセター数 $h$ は最大次数に等しい。既約な複素鏡映群は、既約な良く生成される複素鏡映群の積である場合に良く生成されると言われる。すべての有限実鏡映群は良く生成される。 $h=d_{\ell }$

シェパードグループ

よく生成される複素鏡映群には、シェパード群と呼ばれる部分集合が含まれる。これらの群は、正複素多面体の対称群である。特に、正実多面体の対称群が含まれる。シェパード群は、線型図による「コクセター的」な表現を許容する複素鏡映群として特徴付けられる。すなわち、シェパード群には、正の整数 $p 1, ..., p n$ と $q 1, ..., q n - 1$ が関連付けられており、以下の関係を満たす生成集合 $s 1, ..., s nが存在する。$

(s_{i})^{p_{i}}=1

i = 1, ..., n の

場合、

s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}

もし、

|i-j|>1

そして

s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\cdots =s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}\cdots

ここで両辺の積は

q i

個の項を持ちます（

i = 1, ..., n - 1）

。

この情報は、上の表に示すように、 Coxeter型の記号 $p 1 [q 1] p 2 [q 2] ... [q n - 1] p nで収集されることがあります。$

無限族 $G (m, p, n)の群のうち、$ $p = 1$ となる群はシェパード群である。また、例外的なシェパード群が18個存在し、そのうち3つは実数である。^[7]^[8]

カルタン行列

拡張カルタン行列はユニタリ群を定義する。階数nの群のシェパード群はn個の生成元を持つ。通常のカルタン行列は対角要素が2個であるが、ユニタリ反射にはこの制限はない。^[9]例えば、位数pの階数1の群（記号p[]、 $) は1 \times 1$ 行列によって定義されます。 $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$

与えられた条件: 。 $\zeta _{p}=e^{2\pi i/p},\omega =\zeta _{3}=e^{2\pi i/3}={\tfrac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}}),\zeta _{4}=e^{2\pi i/4}=i,\zeta _{5}=e^{2\pi i/5}={\tfrac {1}{4}}(\left({\sqrt {5}}-1\right)+i{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}),\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\lambda ={\tfrac {1+i{\sqrt {7}}}{2}},\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$

ランク1
グループ		カルタン	グループ		カルタン
2[]		$\left[{\begin{matrix}2\end{matrix}}\right]$	3[]		$\left[{\begin{matrix}1-\omega \end{matrix}}\right]$
4[]		$\left[{\begin{matrix}1-i\end{matrix}}\right]$	5[]		$\left[{\begin{matrix}1-\zeta _{5}\end{matrix}}\right]$

ランク2
グループ		カルタン	グループ		カルタン
G4	3[3]3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-\omega &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$	G5	3[4]3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-2\omega &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$
G6	2[6]3	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\omega +i\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$	G8	4[3]4	$\left[{\begin{smallmatrix}1-i&1\\-i&1-i\end{smallmatrix}}\right]$
G9	2[6]4	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\(1+{\sqrt {2}})\zeta _{8}&1+i\end{smallmatrix}}\right]$	G10	3[4]4	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-i-\omega &1-i\end{smallmatrix}}\right]$
G ₁₄	3[8]2	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\1-\omega +\omega ^{2}{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₁₆	5[3]5	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\zeta _{5}&1\\-\zeta _{5}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]$
G ₁₇	2[6]5	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\zeta _{5}-i\zeta ^{3}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]$	G ₁₈	3[4]5	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-\omega -\zeta _{5}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]$
G ₂₀	3[5]3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\\omega (\tau -2)&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₁	2[10]3	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\omega -i\omega ^{2}\tau &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$

ランク3
グループ		カルタン	グループ		カルタン
G ₂₂	<5,3,2> ₂	$\left[{\begin{smallmatrix}2&\tau +i-1&-i+1\\-\tau -i-1&2&i\\i-1&-i&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₃	[5,3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &0\\-\tau &2&-1\\0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$
G ₂₄	[1 1 1 ⁴ ] ⁴	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&-\lambda \\-1&2&-1\\1+\lambda &-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₅	3[3]3[3]3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &\omega ^{2}&0\\-\omega ^{2}&1-\omega &-\omega ^{2}\\0&\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$
G ₂₆	3[3]3[4]2	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &-\omega ^{2}&0\\\omega ^{2}&1-\omega &-1\\0&-1+\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₇	[1 1 1 ⁵ ] ⁴	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &-\omega \\-\tau &2&-\omega ^{2}\\-\omega ^{2}&\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$

ランク4
グループ			カルタン	グループ			カルタン
G ₂₈	[3,4,3]		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₂₉	[1 1 2] ⁴		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&i+1&0\\-1&2&-i&0\\-i+1&i&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$
G ₃₀	[5,3,3]		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &0&0\\-\tau &2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₃₂	3[3]3[3]3		$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &\omega ^{2}&0&0\\-\omega ^{2}&1-\omega &-\omega ^{2}&0\\0&\omega ^{2}&1-\omega &\omega ^{2}\\0&0&-\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$

ランク5
グループ			カルタン	グループ			カルタン
G ₃₁	O ₄		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&i+1&0&-i+1\\-1&2&-i&0&0\\-i+1&i&2&-1&-i+1\\0&0&-1&2&-1\\i+1&0&i+1&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	G ₃₃	[1 2 2] ³		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&-1&0\\0&-1&2&-\omega &0\\0&-1&-\omega ^{2}&2&-\omega ^{2}\\0&0&0&-\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$

参照

反射群の放物面部分群

参考文献

^ LehrerとTaylor、定理1.27。
^ GCシェパードとJAトッド（1954）
^ LehrerとTaylor、271ページ。
^ LehrerとTaylor、セクション2.2。
^ LehrerとTaylor、例2.11。
^ 複素反射群の図表や表示を含む詳細については、Michel Broué、Gunter Malle、Raphaël Rouquier 1998の表を参照してください。
^ Peter Orlik , Victor Reiner, Anne V. Shepler. Shephard群の符号表現. Mathematische Annalen . 2002年3月, 第322巻, 第3号, pp 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]
^ Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、1974年。
^ ユニタリ反射群、pp.91-93

Broué, Michel ; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995)、「複素反射群とその関連組紐群について」(PDF)、群の表現 (Banff, AB, 1994)、CMS Conf. Proc.、第16巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 1– 13、MR 1357192
ミシェル・ブルーエ;マレ、ギュンター。Rouquier、Raphaël (1998)、「複雑な反射群、組紐群、ヘッケ代数」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、vol. 1998年、いいえ。 500、pp. 127–190、CiteSeerX 10.1.1.128.2907、doi :10.1515/crll.1998.064、ISSN 0075-4102、MR 1637497
Deligne、Pierre (1972)、「Les immeubles des groupes de tresses généralisés」、Inventiones Mathematicae、vol. 17、いいえ。 4、pp. 273–302、Bibcode :1972InMat..17..273D、doi :10.1007/BF01406236、ISSN 0020-9910、MR 0422673、S2CID 123680847
ヒラー、ハワード『コクセター群の幾何学』数学研究ノート、54。ピットマン（アドバンスト・パブリッシング・プログラム）、ボストン、マサチューセッツ州-ロンドン、1982年。iv+213頁。ISBN 0-273-08517-4*
Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009),ユニタリ反射群, オーストラリア数学会講演シリーズ, 第20巻, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74989-3、MR 2542964
Shephard, GC; Todd, JA (1954)、「有限ユニタリ反射群」、Canadian Journal of Mathematics、第6巻、Canadian Mathematical Society、pp. 274– 304、doi : 10.4153/CJM-1954-028-3、ISSN 0008-414X、MR 0059914、S2CID 3342221
Coxeter ,ユニタリ反射によって生成される有限群, 1966, 4.グラフィカル表記法, n 個のユニタリ反射によって生成される n 次元群の表。pp. 422–423

外部リンク

MAGMA計算代数システムページ

[1] LehrerとTaylor、定理1.27。

[2] GCシェパードとJAトッド（1954）

[3] LehrerとTaylor、271ページ。

[4] LehrerとTaylor、セクション2.2。

[5] LehrerとTaylor、例2.11。

[6] 複素反射群の図表や表示を含む詳細については、Michel Broué、Gunter Malle、Raphaël Rouquier 1998の表を参照してください。

[7] Peter Orlik , Victor Reiner, Anne V. Shepler. Shephard群の符号表現. Mathematische Annalen . 2002年3月, 第322巻, 第3号, pp 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]

[8] Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、1974年。

[9] ユニタリ反射群、pp.91-93