複素トーラス

数学において、複素トーラスとは、複素多様体 Mの特定の種類であり、その基礎となる滑らかな多様体は通常の意味でのトーラス（すなわち、N 個の円の直積）である。ここで、 N は偶数2 n でなければならない。ここでnはMの複素次元である。

このような複素構造はすべて次のようにして得られる。C n に同型なベクトル空間 V 内の格子 Λ を実^ベクトル空間と見なせば、その商群はコンパクト複素多様体となる。同型性を除き、すべての複素トーラスはこのようにして得られる。n = 1 の場合、これは楕円曲線の古典的な周期格子構成である。n > 1の場合、ベルンハルト・リーマンは複素トーラスが代数多様体となるための必要十分条件を発見した。多様体であるものは複素射影空間に埋め込むことができ、アーベル多様体となる。 $V/\Lambda$

実際の射影埋め込みは、 n > 1 の場合に複雑であり（アーベル多様体を定義する方程式を参照）、複数の複素変数（固定係数）のシータ関数の理論と実質的に共存する。n = 1の場合の3次曲線記述ほど単純なものは存在しない。コンピュータ代数は、 nが小さい場合をかなりうまく処理できる。チャウの定理によれば、アーベル多様体以外の複素トーラスは射影空間に「適合」できない。

意味

複素トーラス^[1]を定義する一つの方法は、コンパクト連結複素リー群として定義することです。これらは、構造写像が複素多様体の正則写像となるリー群です。このようなコンパクト連結リー群はすべて可換であり、リー代数の商に同型です。リー代数の被覆写像は、リー代数からそれに対応するリー群への指数写像です。この写像の核は格子であり、です。 $G$ ${\mathfrak {g}}=T_{0}G$ $\Lambda \subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}/\Lambda \cong G$

逆に、複素ベクトル空間と最大階数の格子が与えられた場合、商複素多様体は複素リー群構造を持ち、コンパクトかつ連結である。これは、複素トーラスの2つの定義が同値であることを意味する。 $V$ $\Lambda \subseteq V$ $V/\Lambda$

複素トーラスの周期行列

g次元複素トーラス^[2]^{: 9}を記述する 1 つの方法は、の基底を使用して展開された格子の基底に対応する列を持つ行列を使用することです。つまり、と書くことができます。するとトーラスはと書くことができます。逆方向に行列を選択すると、が周期行列に対応するのは、複素共役行列をに付加して構成される対応する行列がである場合のみであり、したがっては非特異である場合に限ります。これにより、の列ベクトルがの格子に張られることが保証されるため、上で線型独立なベクトルでなければなりません。 $g\times 2g$ $\Pi$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2g}$ $\Lambda$ $e_{1},\ldots ,e_{g}$ $V$ $\Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,2g}\\\vdots &&\vdots \\\lambda _{g,1}&\cdots &\lambda _{g,2g}\end{pmatrix}}$ $\lambda _{i}=\sum _{j}\lambda _{ji}e_{j}$ $X=V/\Lambda$ $X=\mathbb {C} ^{g}/\Pi \mathbb {Z} ^{2g}.$ $\Pi \in Mat_{\mathbb {C} }(g,2g)$ $P\in Mat_{\mathbb {C} }(2g,2g)$ ${\overline {\Pi }}$ $\Pi$ $P={\begin{pmatrix}\Pi \\{\overline {\Pi }}\end{pmatrix}}$ $\Pi$ $\mathbb {C} ^{g}$ $\mathbb {R}$

例

2 次元複素トーラスの場合、周期行列は次の形式を持ちます。たとえば、関連する周期行列の行列式が 4 であるため、この行列は周期行列を形成します。 $\Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}&\lambda _{1,4}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}&\lambda _{2,4}\end{pmatrix}}$ $\Pi ={\begin{pmatrix}1&0&i&2i\\1&-i&1&1\end{pmatrix}}$

正規化された周期行列

次元の任意の複素トーラスは、という形式の周期行列を持ちます。ここでは単位行列、です。これは、ベクトル空間の基底変換をとって、上記の形式のブロック行列を得ることで得られます。の条件は、対応する-行列を見ることで得られます。これは非特異行列でなければならないからです。これは、ブロック行列の行列式を計算すると、単にとなり、そこからという含意が得られるからです。 $X=V/\Lambda$ $g$ $\Pi$ $(Z,1_{g})$ $1_{g}$ $Z\in Mat_{\mathbb {C} }(g)$ $\det {\text{Im}}(Z)\neq 0$ $V$ $\det {\text{Im}}(Z)\neq 0$ $P$ ${\begin{pmatrix}Z&1_{g}\\{\overline {Z}}&1_{g}\end{pmatrix}}$ ${\begin{aligned}\det P&=\det(1_{g})\det(Z-1_{g}1_{g}{\overline {Z}})\\&=\det(Z-{\overline {Z}})\\&\Rightarrow \det({\text{Im}}(Z))\neq 0\end{aligned}}$

例

たとえば、の行列式がゼロでなくに等しいため、2 次元複素トーラスの正規化周期行列はのように書くことができます。 ${\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1+i&1-i&1&0\\1+2i&1+{\sqrt {2}}i&0&1\end{pmatrix}}$ ${\text{Im}}(Z)$ $2+{\sqrt {2}}$

アーベル多様体の周期行列

射影複素多様体、つまり代数多様体を与える周期行列を得るためには、周期行列はリーマン双線型関係式をさらに満たす必要がある。^[3]

複素トーラスの準同型

次元の複素トーラスとがある場合、複素トーラスの準同型^[2]^{: 11}は、群の構造が保存されるような関数です。このことから、すべての準同型は、被覆空間の写像と互換性のある写像を誘導するなど、いくつかの結果が生まれます。さらに、は群準同型を誘導するので、格子の射影に制限される必要があります。特に、注入とがあり、これらは、準同型空間の解析的表現と有理的表現と呼ばれます。これらは、有理次元の自己準同型環に関する情報を決定するのに役立ちます。 $X=V/\Lambda$ $X'=V'/\Lambda '$ $g,g'$ $f:X\to X'$ $F:V\to V'$ $F$ $F_{\Lambda }:\Lambda \to \Lambda '$ $\rho _{a}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(V,V')$ $\rho _{r}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(\Lambda ,\Lambda ')$ ${\text{End}}(X)\otimes \mathbb {Q}$ $m\leq 4gg'$

複素トーラスの正則写像

複素トーラス間の準同型写像のクラスは非常に単純な構造を持つ。もちろん、すべての準同型写像は正則写像を誘導するが、すべての正則写像は、ある準同型写像を持つ特別な種類の正則写像の合成である。ある元に対して、を送る並進写像を定義する。すると、が複素トーラス間の正則写像である場合、となる唯一の準同型写像が存在し、その正則写像は複素トーラスの準同型写像の集合よりもそれほど大きくないことがわかる。 $x_{0}\in X$ $t_{x_{0}}:X\to X$ $x\mapsto x+x_{0}$ $h$ $X,X'$ $f:X\to X'$ $h=t_{h(0)}\circ f$

同質性

複素トーラスの準同型写像の明確なクラスの一つは同型写像と呼ばれます。これらは、非零核を持つ複素トーラスの自己準同型写像です。例えば、を整数とすると、に同型の核を持つ写像が存在します。 $n\in \mathbb {Z} _{\neq 0}$ $n_{X}:X\to X$ $x\mapsto nx$ $X_{n}\cong (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}$ $\Lambda /n\Lambda$

同型複素トーラス

実ベクトル空間上には複素構造の同型性があり、集合と同型トーラスはその格子の基底の変換によって与えられ、したがっての行列となります。これにより、次元、の複素トーラスの同型類の集合がDouble coset space として与えられます。実多様体として、これは次元を持つことに注意します。これは、アーベル多様体のモジュライの次元を考えるときに重要であり、アーベル多様体よりもはるかに多くの複素トーラスが存在することを示しています。 $\mathbb {R} ^{2g}$ $GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)$ $GL_{\mathbb {Z} }(2g)$ $g$ ${\mathcal {T}}_{g}$ ${\mathcal {T}}_{g}\cong GL_{\mathbb {Z} }(2g)\backslash GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)$ $4g^{2}-2g^{2}=2g^{2}$

直線束と保型形式

複素多様体、特に複素トーラスに対しては、引き戻しが自明であるような正則直線束をの群コホモロジーを用いて関連付ける構成^[2]^{: 571}が存在する。幸いにも、複素トーラスに対しては、であるため、すべての複素直線束は自明となる。 $X$ $L\to X$ $\pi ^{*}L\to {\tilde {X}}$ $\pi _{1}(X)$ $\pi ^{*}L$ ${\tilde {X}}\cong \mathbb {C} ^{n}$

自己同型性の因子

最初の群であるコホモロジー群から始め、その元がどのように表現できるかを思い出してみましょう。はに作用するので、そのすべての層に誘導作用があり、したがってにが作用します。すると、 -作用は正則写像として表すことができます。この写像は、任意のおよびに対してが成り立つ場合、コサイクル条件を満たします。1-コサイクルのアーベル群は、自己同型の因子群と呼ばれます。このような関数は単に因子とも呼ばれることに注意してください。 $H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))$ $\pi _{1}(X)$ ${\tilde {X}}$ $H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})=\{f:{\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}\}$ $\pi _{1}(X)$ $f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}$ $f(a\cdot b,x)=f(a,b\cdot x)f(b,x)$ $a,b\in \pi _{1}(X)$ $x\in {\tilde {X}}$ $Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))$ $f$

複素トーラス上

複素トーラスの場合、これらの関数は共循環条件を満たす関数によって与えられます。これらは保型関数、より正確には、シータ関数の変換則で用いられる保型関数です。また、このような写像はいずれもについてと書くことができ、これは付随する直線束に関連する不変量を計算するのに役立ちます。 $f$ $f:\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {Z} ^{2n}\to \mathbb {C} ^{*}$ $f=\exp(2\pi i\cdot g)$ $g:V\times \Lambda \to \mathbb {C}$

自同型因子からの直線束

自同型因子が与えられたとき、上の直線束を次のように定義できる。自明直線束は、因子に対してによって与えられる -作用を持つ。この作用は自由かつ真に不連続であるため、商束は複素多様体である。さらに、被覆射影から誘導される射影によって、目的の結果をもたらす同型写像が得られる。 $f$ $X$ ${\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}$ $\pi _{1}(X)$ $a\cdot (x,t)=(a\cdot x,f(a,x)\cdot t)$ $f$ $L={\tilde {X}}\times \mathbb {C} /\pi _{1}(X)$ $p:L\to X$ $\pi :{\tilde {X}}\to X$ $Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ $H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to \ker(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))$

複素トーラスの場合

複素トーラスの場合、となるので、複素トーラス上の直線束を、付随する群コホモロジーにおける1-コサイクルとして表す同型が存在する。典型的には、を定義する格子として群を書き表す。したがって、は上の直線束の同型類を含む。 $H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})\cong 0$ $H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ $\pi _{1}(X)$ $\Lambda$ $X$ $H^{1}(\Lambda ,H^{0}({\mathcal {O}}_{V}^{*}))$ $X$

複素トーラス上の直線束の第一チャーン類

指数関数的完全列から、接続射は第一チャーン類写像であり、直線束の同型類をそれに対応する第一チャーン類に写す。と格子上の交代形式の加群の間には同型が存在することがわかる。したがって、は上の交代- 値2-形式とみなせる。が自己同型因子を持つ場合、およびについて、交代形式はと表すことができる。 $0\to \mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0$ $c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $\Lambda$ $Alt^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )$ $c_{1}(L)$ $\mathbb {Z}$ $E_{L}$ $\Lambda$ $L$ $f=\exp(2\pi ig)$ $E_{L}(\lambda ,\mu )=g(\mu ,v+\lambda )+g(\lambda ,v)-g(\lambda ,v+\mu )-g(\mu ,v)$ $\mu ,\lambda \in \Lambda$ $v\in V$

例

の標準基底を用いて展開された正規化周期行列に対して、格子を定義する列ベクトルが得られます。すると、上の任意の交代形式はの形となり、いくつかの適合条件を満たす必要があります。 $\Pi ={\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}$ $\mathbb {C} ^{2}$ $\Lambda \subset \mathbb {C} ^{2}$ $E_{L}$ $\Lambda$ $E_{L}={\begin{pmatrix}0&e_{2,1}&e_{3,1}&e_{4,1}\\-e_{2,1}&0&e_{3,2}&e_{4,2}\\-e_{3,1}&-e_{3,2}&0&e_{4,3}\\-e_{4,1}&-e_{4,2}&-e_{4,3}&0\end{pmatrix}}$

線束の切断とシータ関数

保型因子によって与えられる直線束に対して、およびが開となる切断の層が存在する。そして、これを大域切断上で評価すると、これはとなる正則関数の集合であり、これらはまさに平面上のシータ関数となる。逆に、この処理は逆方向に行うことができ、シータ関数の保型因子は、複素トーラス上の直線束を定義する保型因子となる。 $L$ $f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}$ $[f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))$ $\phi _{1}[f]=[L]\in {\text{Pic}}(X)$ ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}(U)=\left\{\theta :\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {C} :{\begin{matrix}\theta {\text{ holomorphic with }}\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)\\{\text{for all }}(\lambda ,v)\in \Lambda \times \pi ^{-1}(U)\end{matrix}}\right\}$ $U\subset X$ $\theta :V\to \mathbb {C}$ $\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)$

エルミート形式とアペル・アンベール定理

直線束に付随する交代値 2-形式は値に拡張できる。すると、以下の条件を満たす任意の値交代形式が成り立つことがわかる。 $\mathbb {Z}$ $E_{L}$ $L\to X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $E:V\times V\to \mathbb {R}$

$E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z}$
$E(iv,iw)=E(v,w)$ いかなる $v,w\in V$

は直線束の最初のチャーン類の拡大である。さらに、それに伴うエルミート形式が存在し、 $c_{1}(L)$ $L\to X$ $H:V\times V\to \mathbb {C}$

${\text{Im}}H(v,w)=E(v,w)$
$H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)$

任意の。 $v,w\in V$

ネロン・セベリグループ

複素トーラスに対して、ネロン・セルベリ群をとなる上のエルミート形式の群として定義できます。これは、最初のチャーン類の準同型の像と同値です。また、となる上の実数値交代形式の群と同一視することもできます。 $X=V/\Lambda$ $NS(X)$ $H$ $V$ ${\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z}$ $c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $E$ $V$ $E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z}$

楕円曲線上のエルミート形式の例

^[4]格子によって与えられる楕円曲線に対して、一般的な交代行列を見て、それが期待通りに振る舞うための正しい適合条件を見つけることで、積分形式を求めることができる。の標準基底を実ベクトル空間として使用すると（つまり）、交代行列を書き出して、に関連付けられたベクトルの関連積を計算できる。これらは、次のようになる。次に、これらのベクトルとベクトルの内積（標準内積を使用）を取ると、次のようになる。したがってであれば、となる。次に、を直接検証することができ、これは上記の行列に対して成り立つ。を固定した場合、積分形式をと書く。すると、次式で示される関連エルミート形式が存在する。 ${\mathcal {E}}$ ${\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}$ $\tau \in \mathbb {H}$ $E\in {\text{Alt}}^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )$ $x_{1},y_{1}$ $\mathbb {C}$ $z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}$ $E={\begin{pmatrix}0&e\\-e&0\end{pmatrix}}$ $1,\tau$ ${\begin{aligned}E\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}&&E\cdot {\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ $1,\tau$ ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=0&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=-e\tau _{2}\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=e\tau _{2}&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=0\end{aligned}}$ $E(\Lambda ,\Lambda )\subset \mathbb {Z}$ $e=a{\frac {1}{{\text{Im}}(\tau )}}$ $E(v,w)=E(iv,iw)$ $a$ $E_{a}$ $H_{a}:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $H_{a}(z,w)=a\cdot {\frac {z{\overline {w}}}{{\text{Im}}(\tau )}}$ $a\in \mathbb {Z}$

エルミート形式の半指標ペア

エルミート形式では、半指標はとなる写像なので、この写像はエルミート形式でねじられた指標のように振舞う。がの零元であるとき、それは自明な直線束に対応し、関連付けられた半指標は上の指標の群である点に注意されたい。これは上の次数直線束の群、あるいはそれと同値なその双対トーラスに対応する。これは、ある固定された双対格子ベクトルに対してという形式をとる指標を示す写像として因数分解できる要素の群を計算することでわかる。これにより、実トーラスを持つ指標の集合の同型性が与えられる。すべての半文字のペアとそれに関連付けられたエルミート形式、つまり半文字ペアの集合は、次の群を形成します。ここで、この群の構造は、半文字の以前の交換法則を新しい半文字に適用することで得られます。この群はに射影され、核を持ち、短い完全シーケンスを与えることがわかります。この射影は、すべての半文字ペアに直線束を関連付けることで構築できます。 $H$ $\chi :\Lambda \to U(1)$ $\chi (\lambda +\mu )=\chi (\lambda )\chi (\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H(\lambda ,\mu ))$ $\chi$ $H$ $NS(X)$ $\mathbb {C} \times X\to X$ $\Lambda$ ${\text{Pic}}^{0}(X)$ $0$ $X$ ${\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))$ $\Lambda \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong U(1)$ $\chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)$ $v^{*}\in \Lambda ^{*}$ ${\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2g}/\mathbb {Z} ^{2g}$ $(\chi ,H)$ ${\mathcal {P}}(\Lambda )$ $(H_{1},\chi _{1})*(H_{2},\chi _{2})=(H_{1}+H_{2},\chi _{1}\chi _{2})$ $\chi _{1}\chi _{2}$ ${\begin{aligned}\chi _{1}\chi _{2}(\lambda +\mu )&=\chi _{1}(\lambda +\mu )\chi _{2}(\lambda +\mu )\\&=\chi _{1}(\lambda )\chi _{1}(\mu )\chi _{2}(\lambda )\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu ))\exp(i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\\&=\chi _{1}\chi _{2}(\lambda )\chi _{1}\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu )+i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\end{aligned}}$ $NS(X)$ ${\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))$ $1\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\to {\mathcal {P}}(\Lambda )\to NS(X)\to 1$ $L(H,\chi )$

半文字ペアと行束

セミキャラクタ対に対して、上の1-コサイクルを、として定義される写像として構築できます。コサイクル関係は、直接計算によって簡単に検証できます。したがって、コサイクルは、への -作用がで与えられる直線束を決定します。注: この作用は、直線束の切断が、自己同型の因子を持つシータ関数によって与えられることを示すために使用できます。これは、に対する自己同型の標準因子と呼ばれることもあります。すべての直線束には関連するエルミート形式があり、に対する自己同型の因子を使用してセミキャラクタを構築できるため、全射が得られることに注意してください。さらに、これは自明な核を持つ群準同型です。これらの事実はすべて、垂直矢印が同型、つまり等式である次の可換図にまとめることができます。この図は、通常、アペル・ハンバートの定理と呼ばれます。 $(H,\chi )$ $a_{(H,\chi )}$ $\Lambda$ $a_{(H,\chi )}:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}$ $a(\lambda ,v)=\chi (\lambda )\exp(\pi H(v,\lambda )+{\frac {\pi }{2}}H(\lambda ,\lambda ))$ $a(\lambda +\mu ,v)=a(\lambda ,v+\mu )a(\mu ,v)$ $L(H,\chi )\cong V\times \mathbb {C} /\Lambda$ $\Lambda$ $V\times \mathbb {C}$ $\lambda \circ (v,t)=(v+t,a_{(H,\chi )}(\lambda ,v)t)$ $L(H,\chi )$ $a_{(H,\chi )}$ $L$ $L\to X$ $H$ $L$ ${\mathcal {P}}(\Lambda )\to {\text{Pic}}(X)$ ${\begin{matrix}1&\to &{\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))&\to &{\mathcal {P}}(\Lambda )&\to &NS(X)&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &{\text{Pic}}^{0}(X)&\to &{\text{Pic}}(X)&\to &{\text{NS}}(X)&\to 0\end{matrix}}$

双対複素トーラス

前述のように、格子上の指標は、ある固定された双対ベクトルの関数として表現できます。すべての指標の実トーラスに複素構造を配置したい場合は、に埋め込む複素ベクトル空間から始める必要があります。複素反線型写像の複素ベクトル空間は、実双対ベクトル空間と同型であることがわかっており、これは、指標を書き下すための因数分解の一部です。さらに、の双対格子と呼ばれる関連格子があります。すると、双対複素トーラスの双対が元の複素トーラスであるという特別な性質を持つ双対複素トーラスを形成できます。さらに、上記の議論から、反線型双対ベクトルをに送って、双対複素トーラスを因数分解する写像を与えることにより、双対複素トーラスをのピカール群と同一視することができます。アーベル多様体の理論の手法を使用した、双対複素トーラスの他の構成もあります。^[1]^{: 123–125}本質的に、複素トーラス（またはアーベル多様体）上の直線束をとると、の閉部分集合が存在し、その並進が不変となるの点として定義されます。つまり、です。すると、双対複素トーラスはとして構成することができ、それを同型写像として提示することができます。このように定義するとの普遍的性質が満たされることが示され、したがっては実際には双対複素トーラス（またはアーベル多様体）です。 $\chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)$ $v^{*}\in \Lambda ^{*}$ $\Lambda ^{*}$ ${\overline {\Omega }}={\text{Hom}}_{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )$ ${\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )$ ${\hat {\Lambda }}=\{l\in {\overline {\Omega }}:\langle l,\Lambda \rangle \subseteq \mathbb {Z} \}$ $\Lambda$ ${\hat {X}}\cong {\overline {\Omega }}/{\hat {\Lambda }}$ $X$ ${\hat {X}}\cong {\text{Pic}}^{0}(X)$ $l$ $l\mapsto \exp(2\pi i\langle l,\cdot \rangle )$ ${\overline {\Omega }}\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))$ $L$ $X$ $K(L)$ $X$ $x\in X$ $T_{x}^{*}(L)\cong L$ ${\hat {X}}:=X/K(L)$ ${\hat {X}}$ ${\text{Pic}}^{0}(X)$

ポアンカレ束

双対複素トーラスの構成から、トーラスとその双対の積上に直線束が存在し、それを用いて上の次数0の直線束のすべての同型類を表すことができることが示唆される。この振る舞いは、次の2つの性質で符号化できる。 ${\mathcal {P}}$ $X$ $X$

${\mathcal {P}}|_{X\times \{[L]\}}\cong L$ 直線束を与える任意の点に対して $[L]\in {\hat {X}}$ $L$
${\mathcal {P}}|_{\{0\}\times {\hat {X}}}$ は自明な直線束である

ここで、最初の性質は上で述べた性質であり、2番目の性質は正規化の性質として作用します。次のエルミート形式との半指標を用いてを構築できます。このデータを示すことで、の関連する標準因子に注目し、様々な制約下でのその挙動を観察することで、望ましい性質を持つ直線束が構築されることが示されます。 ${\mathcal {P}}$ ${\begin{matrix}H:(V\times {\overline {\Omega }})\times (V\times {\overline {\Omega }})\to \mathbb {C} \\H((v_{1},l_{1}),(v_{2},l_{2}))={\overline {l_{2}(v_{1})}}+l_{1}(v_{2})\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}\chi :\Lambda \times {\hat {\Lambda }}\to U(1)\\\chi (\lambda ,l_{0})=\exp(i\pi {\text{Im}}l_{0}(\lambda ))\end{matrix}}$ $H$ $(H,\chi )$

参照

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P進トーラス

p進アーベル積分：理論から実践へ

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[:0-2] Birkenhake, Christina (2004). Complex Abelian Varieties . Herbert Lange (第2版, augmented ed.). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC 851380558。

[3] 「リーマン双線型関係」(PDF) 。 2021年5月31日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。

[4] 「楕円曲線の最も単純なケースにおけるアペル・ハンバートの定理の作用」