一致相関係数

統計学では、一致相関係数は、再現性や評価者間信頼性を評価するためなど、2 つの変数間の一致を測定します。

意味

一致相関係数の形式は^{[ 1 ]} ${\displaystyle \rho _{c}}$

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}}{\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+(\mu _{x}-\mu _{y})^{2}}},}$

ここで、 とは2 つの変数の平均であり、と は対応する分散です。は2 つの変数間の ピアソンの相関係数です。 ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle \mu _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}}$ ${\displaystyle \rho }$

これは定義^{[ 1 ]}から次のようになる。

${\displaystyle \rho _{c}=1-{\frac {{\rm {Expected\ orthogonal\ squared\ distance\ from\ the\ diagonal\ }}x=y}{{\rm {Expected\ orthogonal\ squared\ distance\ from\ the\ diagonal\ }}x=y{\rm {\ assuming\ independence}}}}.}$

長さデータセット（すなわち、のペアデータ値、 ）で一致相関係数を計算する場合、形式は次のようになる。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle n=1,...,N}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}_{c}={\frac {2s_{xy}}{s_{x}^{2}+s_{y}^{2}+({\bar {x}}-{\bar {y}})^{2}}},}$

ここで平均は次のように計算される。

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{n}}$

そしてその差異

${\displaystyle s_{x}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n}-{\bar {x}})^{2}}$

そして共分散

${\displaystyle s_{xy}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n}-{\bar {x}})(y_{n}-{\bar {y}}).}$

通常の相関係数（ピアソンの相関係数）は、分散推定にバイアス付きとバイアスなしのどちらが使用されたかに影響を受けないのに対し、コンコーダンス相関係数は影響を受けない。原著論文では、Linは1/N正規化を提案した^{[ 1 ]}が、 別の論文ではNickersonが1/(N-1)正規化を使用したようだ^{[ 2 ]} 。つまり、コンコーダンス相関係数の計算方法は実装によって若干異なる可能性がある。

他の相関指標との関係

コンコーダンス相関係数は、クラス内相関と呼ばれる指標のいくつかとほぼ同じです。異なるデータセットにおけるコンコーダンス相関係数と「通常の」クラス内相関係数を比較したところ、2つの相関関係の間にはわずかな差しか見られず、あるケースでは小数点第3位に差がありました。^{[ 2 ]また、 [ 3 ]}コンコーダンス相関係数の考え方は「1970年にクリッペンドルフ^{[ 4 ]}が既に発表した結果と非常に類似している」とも言われています 。

原著論文^{[ 1 ]}で、リンは複数のクラス（2クラスだけでなく）に対応するフォームを提案しました。10年以上経ってから、このフォームの修正版が発行されました。^{[ 5 ]}

一致相関係数の使用例としては、機能的磁気共鳴画像法による脳スキャンの解析方法の比較が挙げられる。^{[ 6 ]}

参考文献

1. Lawrence I-Kuei Lin (1989年3月). 「再現性を評価するための一致相関係数」.バイオメトリクス. 45 (1): 255– 268. doi : 10.2307/2532051 . JSTOR  2532051. PMID  2720055 .
2. Carol AE Nickerson (1997年12月). 「再現性を評価するための一致相関係数に関する注記」.バイオメトリクス. 53 (4): 1503– 1507. doi : 10.2307/2533516 . JSTOR 2533516 . 
3. ラインホルト・ミュラー、ペトラ・ビュットナー（1994年12月）「クラス内相関係数に関する批判的考察」『統計医学』13（23-24）：2465-2476 . doi：10.1002/sim.4780132310 . PMID 7701147 . 
4. Klaus Krippendorff (1970). EF Borgatta (編). 「データの信頼性のための二変量一致係数」 .社会学的方法論. 2.サンフランシスコ: Jossey-Bass : 139–150 . doi : 10.2307/270787 . JSTOR 270787 . 
5. Lawrence I-Kuei Lin (2000年3月). 「一致相関係数に関する注記」 .バイオメトリクス. 56 : 324–325 . doi : 10.1111/j.0006-341X.2000.00324.x .
6. N Lange; SC Strother; JR Anderson; FA Nielsen; AP Holmes; T Kolenda; R Savoy; LK Hansen (1999年9月). 「fMRIデータ分析における多様性と類似性」. NeuroImage . 10 ( 3 Pt 1): 282– 303. CiteSeerX 10.1.1.158.6688 . doi : 10.1006/NIMG.1999.0472 . ISSN 1053-8119 . PMID 10458943. Wikidata Q21012624 .    

Peter Urbani による小規模な Excel と VBA の実装については、こちらをご覧ください。

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