条件付き依存

Concept in probability theory

条件付き依存性を示すベイジアンネットワーク

確率論において、条件付き従属とは、 2つ以上の事象が、ある第三の事象の発生に依存している関係のことである。 ^[1]これは条件付き独立性の反対である。例えば、とがそれぞれ第三の事象の確率を高め、互いに直接影響を与えない2つの事象である場合、当初（事象の発生の有無が観察されていない時点）^{[2] [3]}（は独立している。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)}$$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$

しかし、今、事象 が発生すると観測されたと仮定する。事象 が発生すると、事象 の発生確率は減少する。なぜなら、事象 と の正の相関関係は、事象の発生を説明する上でそれほど重要ではないからである（同様に、事象 の発生は の発生確率を減少させる）。したがって、現在、2つの事象と は条件付きで負の依存関係にある。なぜなら、それぞれの事象の発生確率は、他方の事象の発生の有無に負の依存関係にあるからである。^[4] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)<\operatorname {P} (A\mid C).}$$

Cを前提としたAとBの条件付き従属は、条件付き独立性 の論理的否定である。^[5]条件付き独立性では、2つのイベント（従属している場合もそうでない場合もある）は、3番目のイベントの発生を前提として独立になる。^[6] ${\displaystyle ((A\perp \!\!\!\perp B)\mid C)}$

例

本質的に、確率は、ある出来事の発生可能性に関する個人の情報によって左右されます。例えば、「新しい携帯電話を持っている」という出来事、「新しい時計を持っている」という出来事、「私は幸せだ」という出来事があるとします。新しい携帯電話か新しい時計のどちらかを持っていると、私が幸せになる確率が高まると仮定します。そして、その出来事、つまり「私は幸せだ」という出来事が実際に起こったと仮定しましょう。すると、別の人が私の新しい時計を見た場合、その人は私の幸せになる確率が新しい時計によって高まったと推論するでしょう。つまり、私の幸せを新しい携帯電話に帰する必要性は低くなるということです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

例をより数値的に具体的にするために、次の表の中央の4つの列に示されている4つの可能な状態があると仮定します。この表では、イベントの発生は行のaで示され、イベントが発生しないことはaで示され、およびについても同様です。つまり、およびの確率は、すべての ${\displaystyle \Omega =\left\{s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\right\},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle A=\left\{s_{2},s_{4}\right\},B=\left\{s_{3},s_{4}\right\},}$ ${\displaystyle C=\left\{s_{2},s_{3},s_{4}\right\}.}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle i.}$

イベント	${\displaystyle \operatorname {P} (s_{1})=1/4}$	${\displaystyle \operatorname {P} (s_{2})=1/4}$	${\displaystyle \operatorname {P} (s_{3})=1/4}$	${\displaystyle \operatorname {P} (s_{4})=1/4}$	事象の確率
${\displaystyle A}$	0	1	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle B}$	0	0	1	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle C}$	0	1	1	1	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

など

イベント	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$	${\displaystyle s_{4}}$	事象の確率
${\displaystyle A\cap B}$	0	0	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$
${\displaystyle A\cap C}$	0	1	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle B\cap C}$	0	0	1	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle A\cap B\cap C}$	0	0	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

この例では、少なくとも1つの が発生する場合にのみ、が発生します。無条件に（つまり、 を参照せずに）、と は互いに独立しています。なぜなら、 の行に関連付けられた確率の合計は であるのに対し 、 が発生したことを条件としているためです（表の最後の3つの列）。 が発生することを条件としている ため、 が発生する場合 、の確率はの有無によって影響を受けるため、 と は を条件として相互に依存しています。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}=\operatorname {P} (A).}$$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C)/\operatorname {P} (C)={\tfrac {1/2}{3/4}}={\tfrac {2}{3}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (C{\text{ and }}B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}<\operatorname {P} (A\mid C).}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C.}$

参照

• 条件付き独立性 - 確率論の概念
• ド・フィネッティの定理 – 交換可能な観測の条件付き独立性
• 条件付き期待値 – 特定の条件が発生することが分かっている場合の確率変数の期待値

参考文献

1. Husmeier, Dirk. 「データからのベイジアンネットワーク学習入門」 Husmeier, Dirk、Dybowski, Richard、Roberts, Stephen (編)バイオインフォマティクスと医療インフォマティクスにおける確率モデル化高度情報処理と知識処理 Springer-Verlag. pp.  17– 57. doi :10.1007/1-84628-119-9_2. ISBN 1852337788。
2. 統計理論における条件付き独立性「統計理論における条件付き独立性」AP Dawid、2013年12月27日アーカイブ、Wayback Machine
3. ブリタニカの確率的独立性「確率→条件付き確率の応用→独立性（式7）」
4. セバスチャン・スランとピーター・ノーヴィグ著『人工知能入門』2011年「ユニット3：言い逃れ」^{[永久リンク切れ]}
5. Bouckaert, Remco R. (1994). 「11. 確率ネットワークにおける条件付き依存性」. Cheeseman, P.; Oldford, RW (編). 『データからのモデル選択、人工知能、統計IV』 . 統計講義ノート. 第89巻. Springer-Verlag . pp.  101– 111, 特に104. ISBN 978-0-387-94281-0。
6. 統計理論における条件付き独立性「統計理論における条件付き独立性」AP Dawid Archived 2013-12-27 at the Wayback Machine

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