曲線の円錐

Concept in algebraic geometry

数学において、代数多様体の曲線の円錐（クライマン・モリ円錐と呼ばれることもある）は、双有理幾何学にとって重要な組合せ不変量である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

意味

を真多様体とする。定義により、上の（実） 1-サイクルは、係数を持つ既約曲線、既約曲線、真曲線の形式的な線型結合である。1-サイクルの数値的同値性は交差によって定義される。2つの1-サイクルと は、上の任意のカルティエ因子に対してが成立する場合、数値的に同値である。数値的同値性を法とする1-サイクルの実ベクトル空間を で表す。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\sum a_{i}C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle C\cdot D=C'\cdot D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$

の曲線の円錐を次のように定義する。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle NE(X)=\left\{\sum a_{i}[C_{i}],\ 0\leq a_{i}\in \mathbb {R} \right\}}$

ここで、は 上の既約で被約な真曲線であり、におけるそれらの類である。が凸幾何学の意味で凸円錐であることは容易に分かる。 ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [C_{i}]}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle NE(X)}$

アプリケーション

曲線錐の概念の有用な応用例の1つはクライマン条件である。これは、完備多様体上の（カルティエ）因子が十分であるための必要十分条件は、 の任意の非零元に対して、通常の実位相における曲線錐の閉包が成り立つことである。（一般に、 は閉じている必要はないので、ここで閉包を取ることが重要である。） ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D\cdot x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\overline {NE(X)}}}$ ${\displaystyle NE(X)}$

より複雑な例は、代数多様体の極小モデルの理論において曲線の錐が果たす役割である。簡単に言えば、その理論の目標は以下の通りである。（弱特異な）射影多様体 が与えられたとき、に対して双有理的で、その標準因子がnefであるような（弱特異な）多様体 を求める。1980 年代初頭の（森らによる）大きな躍進は、からへの必要な双有理写像を（少なくとも道徳的には）一連のステップとして構築したことであり、各ステップは の-負の極値射影の縮約として考えることができる。しかし、このプロセスは困難に直面し、その解決には反転の導入が必要となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X'}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle NE(X)}$

構造定理

上記の縮約過程は、円錐定理として知られる曲線円錐の構造に関する基本的な結果なしには進めることができなかった。この定理の最初のバージョンは、滑らかな多様体に対して森によって提唱された。その後、川又、コラー、リード、ショクロフらによって、より広いクラスの多様体へと一般化された。森による定理のバージョンは以下の通りである。

円錐定理。滑らかな射影多様体とする。すると、 ${\displaystyle X}$

1.を満たす有理曲線は上に可算個 存在し、 ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0<-K_{X}\cdot C_{i}\leq \operatorname {dim} X+1}$

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}+\sum _{i}\mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}].}$

2. 任意の正の実数と任意の十分な約数に対して、 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}+\epsilon H\geq 0}+\sum \mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}],}$

ここで最後の項の合計は有限です。

最初の主張は、との交差が非負であるの閉半空間では何も分からないが、相補半空間では、円錐は、非常に特殊な曲線の可算な集合によって張られる、というものである。これらの曲線は有理曲線であり、それらの「次数」は の次元によって非常に厳密に制限される。2番目の主張は、さらに詳しいことを述べている。超平面 から離れると、円錐の極限線は累積できない、というものである。 がファノ多様体であるとき、 は十分であるからである。したがって、円錐定理は、ファノ多様体の曲線の円錐が有理曲線によって生成されることを示す。 ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{C:K_{X}\cdot C=0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}=0}$ ${\displaystyle -K_{X}}$

さらに、多様体が特性 0 の体上で定義されている場合、次の主張が得られます。これは、縮約定理と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle X}$

3.が負である曲線錐の極値面とします。すると、射影多様体Zへの射影が唯一存在し、 となり、の既約曲線がによって点に写像されることが、 かつ と同値となります。（縮約射影も参照）。 ${\displaystyle F\subset {\overline {NE(X)}}}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}:X\rightarrow Z}$ ${\displaystyle (\operatorname {cont} _{F})_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}}$ ${\displaystyle [C]\in F}$

参考文献

• ラザースフェルド、R.、代数幾何学における正値性I、シュプリンガー・フェアラーク、2004年。ISBN 3-540-22533-1
• Kollár, J. および Mori, S., Birational Geometry of Algebraic Varieties , Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-63277-3

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cone_of_curves&oldid=1250262408#A_structure_theorem"