構成（多面体）

幾何学において、HSMコクセターは正多面体を特別な種類の構成と呼んだ。^[要出典]

幾何学における他の構成は、少し異なります。これらの多面体構成は、より正確には接続行列と呼ばれるかもしれません。接続行列では、同じ要素が行と列に集められます。正多面体はk面要素ごとに1行1列を持ちますが、他の多面体は、対称性クラスごとにk面タイプごとに1行1列を持ちます。対称性のない多面体は、すべての要素ごとに1行1列を持ち、要素が接続されていない場合は行列に0が、接続されている場合1が入ります。同じkの要素は接続されておらず、表のエントリには「*」が入ります。^[1]

すべての多面体と抽象多面体には、これらの接続性を表現するハッセ図があり、接続行列を使用して体系的に記述できます。

正多面体の構成行列

正多面体の構成は、対角要素N _iが多面体のi面の数を表す行列で表される。対角要素は多面体のfベクトルとも呼ばれる。非対角要素（i ≠ j）N _{ij は}、各i面要素に接するj面の数であり、 N _i N _ij = N _j N _jiとなる。^[2]

この原理は一般にn次元（0 ≤ j < n）にまで拡張されます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{0,1}&N_{0,2}&\cdots &N_{0,n-1}\\N_{1,0}&N_{1}&N_{1,2}&\cdots &N_{1,n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\N_{n-1,0}&N_{n-1,1}&N_{n-1,2}&\cdots &N_{n-1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

ポリゴン

正多角形（シュレーフリ記号{ q }）は2x2行列を持ち、1行目は頂点、2行目は辺を表します。gの位数は 2qです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}\\N_{10}&N_{1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/2&2\\2&g/2\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}q&2\\2&q\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

一般的な n 角形は 2n x 2n の行列を持ち、最初の n 行と n 列が頂点となり、最後の n 行と n 列が辺となります。

三角形の例

三角形には、正三角形、二等辺三角形、不等辺三角形の3つの対称性があります。これらはすべて同じ接続行列を持ちますが、対称性により、頂点と辺をまとめて数えることができます。これらの三角形では、頂点はA、B、C、辺はa、b、cとラベル付けされ、対称操作によって互いに写像できる頂点と辺には同じラベルが付けられます。

三角形

正三角形 {3}	二等辺三角形 { }∨( )	不等辺三角形 ( )∨( )∨( )
（動詞:3; 動詞:3）	（動詞：2+1; 動詞：2+1）	(動詞:1+1+1; 動詞:1+1+1)
| あ | あ--+---+---A | 3 | 2--+---+---1 | 2 | 3	| AB | アブ--+-----+-----A | 2 * | 1 1B | * 1 | 2 0--+-----+-----a | 1 1 | 2 *b | 2 0 | * 1	| ABC | エービーシー--+-------+-------A | 1 * * | 0 1 1B | * 1 * | 1 0 1C | * * 1 | 1 1 0--+-------+-------あ | 0 1 1 | 1 * *b | 1 0 1 | * 1 *c | 1 1 0 | * * 1

四辺形

対称性による四辺形

四辺形は対称性によって分類でき、それぞれ独自の行列を持ちます。四辺形には、同じ行列を180度回転させ、頂点と辺を反転させた双対の四辺形が存在します。正方形、平行四辺形、そして一般的な四辺形は、クラスによって自己双対であるため、180度回転しても行列は変化しません。

四辺形

スクエア {4}	長方形 { }×{ }	菱形 { }+{ }	平行四辺形
（動詞:4; 動詞:4）	(動詞:4; 動詞:2+2)	（動詞：2+2; 動詞：4）	(動詞:2+2; 動詞:2+2)
| あ | あ--+---+---A | 4 | 2--+---+---1 | 2 | 4	| A | アブ--+---+-----A | 4 | 1 1--+---+-----a | 2 | 2 *b | 2 | * 2	| AB | a--+-----+---A | 2 * | 2B | * 2 | 2--+-----+---ア | 1 1 | 4	| AB | アブ--+-----+-----A | 2 * | 1 1B | * 2 | 1 1--+-----+-----a | 1 1 | 2 *b | 1 1 | * 2
等脚台形 { }||{ }	凧	一般的な
(動詞:2+2; 動詞:1+1+2)	(動詞:1+1+2; 動詞:2+2)	(動詞:1+1+1+1; 動詞:1+1+1+1)
| AB | abc--+-----+-------A | 2 * | 1 0 1B | * 2 | 0 1 1--+-----+------a | 2 0 | 1 * *b | 0 2 | * 1 *c | 1 1 | * * 2	| ABC | アブ--+-------+----A | 1 * * | 2 0B | * 1 * | 0 2C | * * 2 | 1 1--+-------+----a | 1 0 1 | 2 *b | 0 1 1 | * 2	| ABCD | ABCD--+---------+--------A | 1 * * * | 1 0 0 1B | * 1 * * | 1 1 0 0C | * * 1 * | 0 1 1 0D | * * * 1 | 0 0 1 1--+---------+--------あ | 1 1 0 0 | 1 * * *b | 0 1 1 0 | * 1 * *c | 0 0 1 1 | * * 1 *d | 1 0 0 1 | * * * 1

複雑な多角形

この考え方は、次のように構築される正多角形_p { q } _rにも適用できます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}\\N_{10}&N_{1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/r&r\\p&g/p\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

複素反射群は_p [ q ] _r、次数で ある。^{[3] [4]} ${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

多面体

この考え方は、点、直線、平面、あるいはj空間（0 ≤ j < 3）の入射を考慮することで3次元にも適用できる。ここで、各j空間はN _jk k空間（j ≠ k）に入射する。存在するj空間の数をN _jと書くと、与えられた構成は次の行列で表される。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}&N_{02}\\N_{10}&N_{1}&N_{12}\\N_{20}&N_{21}&N_{2}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/2q&q&q\\2&g/4&2\\p&p&g/2p\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$シュレーフリ記号{p,q}に対して群位数は g  = 4 pq /(4 − ( p  − 2)( q  − 2))である。

四面体

四面体の対称性

四面体は、対称性によってグループ化できる行列を持ちます。一般的な四面体は、4つの頂点、6つの辺、4つの面から成り、合計14の行と列を持ちます。四面体は自己双対であり、行列を180度回転（頂点と面を入れ替え）しても変化しません。

四面体

レギュラー （v:4; e:6; f:4）	正方二蝶形骨 （v:4; e:2+4; f:4）	菱形二蝶形骨 （v:4; e:2+2+2; f:4）	二角蝶形 （v:2+2; e:4+1+1; f:2+2）	フィリック二蝶形骨 （v:2+2; e:2+2+1+1; f:2+2）
A| 4 | 3 | 3---+---+---+-- a| 2 | 6 | 2---+---+---+--ああ| 3 | 3 | 4	A| 4 | 2 1 | 3---+---+-----+-- a| 2 | 4 * | 2 b| 2 | * 2 | 2---+---+-----+--aab| 3 | 2 1 | 4	A| 4 | 1 1 1 | 3----+---+-------+-- a| 2 | 2 * * | 2 b| 2 | * 2 * | 2 c| 2 | * * 2 | 2----+---+-------+-- abc| 3 | 1 1 1 | 4	A| 2 * | 2 1 0 | 2 1 B| * 2 | 2 0 1 | 1 2---+-----+-------+---- a| 1 1 | 4 * * | 1 1 b| 2 0 | * 1 * | 2 0 c| 0 2 | * * 1 | 0 2---+-----+-------+----aab| 2 1 | 2 1 0 | 2 *aac| 1 2 | 2 0 1 | * 2	A| 2 * | 1 0 1 1 | 1 2 B| * 2 | 1 1 1 0 | 2 1---+-----+---------+---- あ| 1 1 | 2 * * * | 1 1 b| 1 1 | * 2 * * | 1 1 c| 0 2 | * * 1 * | 2 0 d| 2 0 | * * * 1 | 0 2---+-----+---------+----abc| 1 2 | 1 1 1 0 | 2 *bcd| 2 1 | 1 1 0 1 | * 2
三角錐 （v:3+1; e:3+3; f:3+1）	鏡映回転楕円体 (v:2+1+1; e:2+2+1+1; f:2+1+1)		対称性なし (v:1+1+1+1; e:1+1+1+1+1+1; f:1+1+1+1)
A| 3 * | 2 1 | 2 1 B| * 1 | 0 3 | 3 0---+-----+-----+---- a| 2 0 | 3 * | 1 1 b| 1 1 | * 3 | 2 0---+-----+-----+----アブ| 2 1 | 1 2 | 3 *aaa| 3 0 | 3 0 | * 1	A| 2 * * | 1 1 0 1 | 1 1 1 B| * 1 * | 2 0 1 0 | 0 2 1 C| * * 1 | 0 2 1 0 | 1 2 0---+-------+---------+------ あ| 1 0 1 | 2 * * * | 0 1 1 b| 0 1 1 | * 2 * * | 1 1 0 c| 1 1 0 | * * 1 * | 0 2 0 d| 0 0 2 | * * * 1 | 1 0 1---+-------+---------+------ABC| 1 1 1 | 1 1 1 0 | 2 * *得点| 1 0 2 | 2 0 0 1 | * 1 *BCC| 0 1 2 | 0 2 0 1 | * * 1		A | 1 * * * | 1 1 1 0 0 0 | 1 1 1 0 B | * 1 * * | 1 0 0 1 1 0 | 1 1 0 1 C | * * 1 * | 0 1 0 1 0 1 | 1 0 1 1 D | * * * 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 1 1 1----+---------+-------------+-------- あ | 1 1 0 0 | 1 * * * * * | 1 1 0 0 b | 1 0 1 0 | * 1 * * * * | 1 0 1 0 c | 1 0 0 1 | * * 1 * * * | 0 1 1 0 d | 0 1 1 0 | * * * 1 * * | 1 0 0 1 e | 0 1 0 1 | * * * * 1 * | 0 1 0 1 f | 0 0 1 1 | * * * * * 1 | 0 0 1 1----+---------+-------------+--------ABC | 1 1 1 0 | 1 1 0 1 0 0 | 1 * * *ABD | 1 1 0 1 | 1 0 1 0 1 0 | *1**ACD | 1 0 1 1 | 0 1 1 0 0 1 | * * 1 *BCD | 0 1 1 1 | 0 0 0 1 1 1 | * * * 1

注記

1. Klitzing, Richard. 「発生行列」.
2. コクセター『複素正多面体』117ページ
3. レーラー＆テイラー 2009、p.87
4. 複素正多面体、117ページ

参考文献

• コクセター、HSM（1948）、正多面体、メシューエン・アンド・カンパニー。
• コクセター、HSM（1991）、Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-39490-2
• Coxeter, HSM (1999)、「自己双対構成と正則グラフ」、The Beauty of Geometry、ドーバー、ISBN 0-486-40919-8

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Configuration_(polytope)&oldid=1284388749」から取得