合流型超幾何関数

数学において、合流型超幾何関数（confluent hypergeometric function）とは、合流型超幾何方程式の解である。合流型超幾何方程式は、 3つの正規特異点のうち2つが1つの不規則特異点に合流する超幾何微分方程式の退化した形である。 「合流型」という用語は、微分方程式族の特異点が合流することを指す。「confluere」はラテン語で「一緒に流れる」を意味する。合流型超幾何関数には、いくつかの一般的な標準形がある。

クンマー（1837）によって導入されたクンマーの（合流型超幾何）関数 $M (a, b, z)は、$ クンマーの微分方程式 の解である。これは第一種合流型超幾何関数としても知られる。同名の、無関係な別のクンマー関数が存在する。
フランチェスコ・トリコミ（1947）によって導入されたトリコミ（合流型超幾何）関数 $U (a, b, z)は、$ $Ψ($ $a$ $;$ $b$ $;$ $z$ $)$ と表記されることもあり、クンマー方程式の別の解である。これは第二種合流型超幾何関数としても知られる。
ウィテカー関数（エドマンド・テイラー・ウィテカー）は、ウィテカー方程式の解です。
クーロン波動関数はクーロン波動方程式の解です。

クンマー関数、ホイッタカー関数、クーロン波動関数は本質的に同じであり、基本関数と変数の変更のみが異なります。

クンマーの方程式

クンマーの式は次のように表すことができます。

z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0,

$z = 0$ に正規特異点、 $z = \infty$ に不規則特異点を持つ。この方程式には、（通常は）線形独立な2つの解 $M (a, b, z)$ と $U (a, b, z)$ が存在する。

第一種クンマー関数 $M$ は、(Kummer 1837)で導入された一般化された超幾何級数であり、次のように与えられる。

M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),

どこ：

a^{(0)}=1,

a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,

は上昇階乗です。この解の一般的な表記法は $Φ(a, b, z)です。a$ $、$ $b$ 、または $z$ の関数として考え、他の2つを一定とすると、これは $b$ $= 0, -1, -2, ...$ の場合を除き、 $a$ または $z$ の完全な関数を定義します。bの関数としては、 $非$ 正の整数における極を除いて解析的です。

$a$ と $b$ の特定の値は、他の既知の関数で表現できる解を与えます。#特殊なケースを参照してください。a $が$ 非正の整数の場合、クンマー関数（定義されている場合）は一般化ラゲール多項式です。

合流型微分方程式が、1の特異点を∞の特異点に向かって動かすと超幾何微分方程式の極限となるのと同様に、合流型超幾何関数は超幾何関数の極限として与えられる。

M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)

そして合流型超幾何関数の特性の多くは、超幾何関数の特性の極限ケースです。

クンマー方程式は2次方程式なので、別の独立した解が存在するはずである。フロベニウス法の指示方程式によれば $、クンマー方程式の$ べき級数解の最小のべきは0か $1 - b$ のいずれかである。w $(z)$ を

w(z)=z^{1-b}v(z)

すると微分方程式は

z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(b-z)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0

$これをz 1- b$ で割って単純化すると、

z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-b-z){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.

これは、 $z 1- b M (a + 1 - b, 2 - b, z)が$ $b が$ 1 より大きい整数でない限り解であることを意味します。これは、 $M (a, b, z)が$ $b$ が 1 より小さい整数でない限り解であるのと同じです。また、 Francesco Tricomi (1947)によって導入され、 $Ψ($ $a$ $;$ $b$ $;$ $z$ $)と表記されることもある Tricomi 合流型超幾何関数$ $U (a, b, z)$ を使用することもできます。これは上記の2つの解の組み合わせであり、次のように定義されます。

U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).

この式は整数 $b$ に対しては定義されていませんが、連続性によって任意の整数 $b$ に拡張できるという利点があります。 $z$ の整関数であるクンマー関数とは異なり、 $U$ $($ $z$ $) は$ 通常、ゼロで特異点を持ちます。例えば、 $b$ $= 0$ かつ $a$ $\neq 0$ の場合、 $Γ($ $a$ $+1)$ $U$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $z$ $) - 1 は$ $z が$ ゼロに近づくにつれて $az$ $ln$ $z$ に漸近します。ただし、整関数（多項式）となる例については、#特殊なケースを参照してください。

クンマーの式の解 $z 1- b U (a + 1 - b, 2 - b, z)$ は解 $U (a, b, z)$ と同じであることに注意してください。#クンマーの変換を参照してください。

実数または複素数 $a$ と $b$ のほとんどの組み合わせでは、関数 $M (a, b, z)$ と $U (a, b, z)$ は独立しており、 $b$ が正でない整数で $M (a, b, z)$ が存在しない場合は、 $z 1- b M (a +1- b, 2- b, z)$ を2番目の解として使用できる可能性があります。ただし、 $a$ が正でない整数で、 $b が$ 正でない整数でない場合は、 $U (z)は$ $M (z)$ の倍数になります。この場合も、 $z 1- b M (a +1- b, 2- b, z)$ が存在し、かつ異なる場合は、2番目の解として使用できます。しかし、 $b$ が 1 より大きい整数の場合、この解は存在せず、 $b = 1の場合は存在しますが、$ $U (a 、 b 、 z)$ および $M (a 、 b 、 z)$ の倍数になります。このような場合、次の形式の 2 番目の解が存在し、 $aが$ $b$ より小さい正の整数である場合を除いて、任意の実数または複素数 $a$ と任意の正の整数 $b$ に対して有効です。

M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}

a = 0の場合、代わりに以下も使用できます。

\int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.

$b = 1の$ とき、これは指数積分 $E 1 (-z)$ です。

同様の問題は、 $a - b$ が負の整数で、 $b$ が1未満の整数の場合にも発生します。この場合、 $M (a, b, z)$ は存在せず、 $U (a, b, z)は$ $z 1- b M (a +1- b, 2- b, z$ )の倍数です $。$ この場合、2番目の解は次のようになります。

z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}

その他の方程式

合流型超幾何関数は、一般形が次のように与えられる拡張合流型超幾何方程式を解くために使用できます。

z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0

^[1]

$M = 0$ の場合、または合計に 1 つの項のみが含まれる場合は、従来の合流型超幾何方程式に簡約されることに注意してください。

$このように、合流型超幾何関数は、変数係数がすべてz$ の線形関数である「ほとんどの」2階常微分方程式を解くのに使用できます。なぜなら、これらの方程式は拡張合流型超幾何方程式に変換できるからです。次の方程式を考えてみましょう。

(A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0

$まず、 A$ $+$ $Bz$ $\mapsto$ $z$ の置換を使用して、通常の特異点を $0$ に移動します。これにより、方程式は次のようになります。

z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0

$C、D、E$ 、 $F$ の新しい値。次に置換を使用します。

z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z

この式に同じ係数を掛けると次のようになります。

z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0

その解決策は

\exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),

ここで $w (z)$ はクンマー方程式の解であり、

a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.

平方根は虚数または複素数になる場合があることに注意してください。もしそれがゼロの場合は、別の解法を使用する必要があります。

\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),

ここで $w (z)$ は合流型超幾何極限関数であり、

zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.

後述するように、ベッセル方程式も合流型超幾何関数を使用して解くことができます。

積分表現

$Re b > Re a > 0$ の場合、 $M (a, b, z)$ は積分として表すことができる。

M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.

したがって、 $M (a, a + b, it)は$ ベータ分布の特性関数である。実部が正である $aに対して、$ $U は$ ラプラス積分によって得られる。

U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)

積分は右半平面 $Re z > 0$ における解を定義します。

これらはバーンズ積分として表すこともできる。

M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds

ここで、輪郭は $Γ(- s)の極の一方の側と$ $Γ(a + s)$ の極のもう一方の側を通過します。

漸近的挙動

クンマー方程式の解が $z$ $\to \infty$ のときに $z$ のべき乗に漸近的である場合、そのべき乗は $-$ $a$ でなければならない。これは実際、トリコミの解 $U$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $z$ $)$ の場合である。 $z$ $\to \inftyのときの$ 漸近的な振る舞いは、積分表現から演繹できる。 $z$ $=$ $x$ $\in$ $R$ のとき、積分において変数変換を行い、二項級数を展開して、それを項ごとに形式的に積分すると、 $x$ $\to \inftyのときに有効な$ 漸近級数展開が得られる。[ ^2]

U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),

ここでは1 を主項とする一般化超幾何級数であり、一般にはどこにも収束しないが、 $1/$ $x$ の形式的な冪級数として存在する。この漸近展開は、実数 $x$ ではなく複素数 $z$ に対しても成り立ち、 $|$ $arg$ $z$ $| < 3$ $π$ $/2 となる。$ $_{2}F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)$

$大きな| z |$ に対するクンマー解の漸近挙動は次のようになります。

M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)

$z$ のべき乗は $-3π / 2<argz\leqπ / 2 でとら$ れる。^[3] $Γ(b - a)$ が有限のとき、つまり $b - a$ が非正の整数でなく、 $z$ の実部が負の無限大になるときは最初の項は不要であるが、 $Γ(a)$ が有限のとき、つまり $a$ が非正の整数でなく、 $z$ の実部が正の無限大になるときは2番目の項は不要である。

クンマー方程式には、 $z$ $\to -\infty$ のときに $e z z a - b$ $に漸近する解が常に存在します。通常、これはM$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $z$ $)$ と $U$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $z$ $)$ の両方の組み合わせになりますが、 $e$ $z$ $(-1)$ $a$ $-$ $b$ $U$ $($ $b$ $-$ $a$ $,$ $b$ $, -$ $z$ $)$ と表すこともできます。

関係

様々な引数に対するクンマー関数とその導関数の間には多くの関係があります。このセクションでは、いくつかの典型的な例を示します。

連続関係

$M (a, b, z)$ が与えられたとき、4つの関数 $M (a \pm 1, b, z)、 M (a, b \pm 1, z)は$ $M (a, b, z)$ に連続しているといいます。関数 $M (a, b , z)は、$ $a 、$ $b$ $、$ $z$ を有理数係数として、連続する任意の2つの関数の線形結合として表すことができます。これは次の式を $与え$ ます $($ $42 ）＝６つの$ 関係は、

{\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}

上記の表記では、 $M = M (a, b, z)$ 、 $M (a +) = M (a + 1, b, z)$ などとなります。

これらの関係を繰り返し適用すると、形式 $M (a + m 、 b + n 、 z)$ (およびそれらの高次導関数) の任意の 3 つの関数間の線形関係が得られます。ここで、 $m$ 、 $n$ は整数です。

$U$ にも同様の関係があります。

クマーの変容

クンマー関数はクンマー変換によっても関連付けられます。

M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)

U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)

。

乗法定理

次の乗算定理が成り立ちます。

{\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}

ラゲール多項式および類似表現との関連

ラゲール多項式の観点から、クンマー関数はいくつかの展開を持つ。例えば、

M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}

（エルデーリイ他 1953, 6.12）

または

M\left(a,\,b,\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot L_{-a}^{(b-1)}\left(z\right)

[1]

特殊なケース

合流型超幾何関数の特殊なケースとして表現できる関数には次のものがあります。

$b$ が非正の整数のときに左辺が定義されないが、右辺は対応するクンマー方程式の解となる基本関数がいくつかあります。

M(0,b,z)=1

U(0,c,z)=1

M(b,b,z)=e^{z}

U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du

（ aが

正でない整数の場合は多項式）

{\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}

M(n,b,z)

非正整数

nの場合、

一般化ラゲール多項式です。

U(n,c,z)

正でない整数

n

が一般化ラゲール多項式の倍数である場合、後者が存在するときはに等しくなります。

{\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)

U(c-n,c,z)

n

が正の整数の場合、は

z

の累乗を持つ閉じた形式であり、後者が存在する場合と等しくなります。

{\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)

U(a,a+1,z)=z^{-a}

U(-n,-2n,z)

非負の整数

n

はベッセル多項式です (下記参照)。

M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}

等

連続関係を使うと、例えば、

aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b

M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.

ベイトマン関数
ベッセル関数と、エアリー関数、ケルビン関数、ハンケル関数などの多くの関連関数。例えば、 $b = 2 a$ の特殊なケースでは、関数はベッセル関数に簡約されます。

{}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).

この恒等式は、クンマーの第二変換とも呼ばれる。同様に

U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),

aが

正でない整数の場合、これは

2 - a θ - a (x /2)

に等しくなります。ここで、

θは

ベッセル多項式です。

誤差関数は次のように表される。

\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).

クーロン波動関数
カニンガム関数
指数積分および正弦積分、対数積分などの関連関数
エルミート多項式
不完全ガンマ関数
ラゲール多項式
放物面円筒関数（またはウェーバー関数）
ポアソン・シャルリエ関数
トロントの機能
ウィテカー関数 $M κ,μ (z)、 W κ,μ (z)は$ ウィテカー方程式の解であり、クンマー関数 $M$ と $U$ を用いて次のように表される。

M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)

W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)

一般的な $p$ 次のモーメント（ $pは$ 必ずしも整数ではない）は次のように表される^[4]

{\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}

2番目の式では、関数の2番目の分岐は

(-1) p

を乗算することによって選択できます。

連分数への応用

ガウスの連分数に極限論を適用すると、^[5]

{\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}

そして、この連分数は、極を含まないすべての有界領域において、 $z$ の有理型関数に一様に収束します。

参照

複合ベジェ曲線

注記

^ Campos, LMBC (2001). 「拡張合流型超幾何微分方程式のいくつかの解について」.計算・応用数学ジャーナル. 137 (1): 177– 200. Bibcode :2001JCoAM.137..177C. doi :10.1016/s0377-0427(00)00706-8. MR 1865885.
^ Andrews, GE; Askey, R.; Roy, R. (2001).特殊関数. Cambridge University Press. ISBN 978-0521789882。。
^ これはアブラモウィッツとステグン（下記参考文献参照）の508ページから導出されたもので、そこでは完全な漸近級数が与えられています。彼らは右半平面において $exp(iπa)$ の指数の符号を入れ替えていますが、これは問題ではありません。なぜなら、そこでは項が無視できるか、あるいは $a$ が整数で符号は問題にならないからです。
^ 「多変量統計理論の側面 | Wiley」Wiley.com . 2021年1月23日閲覧。
^ フランク、エブリン (1956). 「超幾何関数の比に対する新しい連分数展開」. Trans. Am. Math. Soc . 81 (2): 453– 476. doi :10.1090/S0002-9947-1956-0076937-0. JSTOR 1992927. MR 0076937.

参考文献

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外部リンク

NISTデジタル数学関数ライブラリの合流型超幾何関数
Wolfram FunctionsサイトのKummer超幾何関数
Wolfram FunctionsサイトのTricomi超幾何関数

[1] Campos, LMBC (2001). 「拡張合流型超幾何微分方程式のいくつかの解について」.計算・応用数学ジャーナル. 137 (1): 177– 200. Bibcode :2001JCoAM.137..177C. doi :10.1016/s0377-0427(00)00706-8. MR 1865885.

[2] Andrews, GE; Askey, R.; Roy, R. (2001).特殊関数. Cambridge University Press. ISBN 978-0521789882。。

[3] これはアブラモウィッツとステグン（下記参考文献参照）の508ページから導出されたもので、そこでは完全な漸近級数が与えられています。彼らは右半平面において $exp(iπa)$ の指数の符号を入れ替えていますが、これは問題ではありません。なぜなら、そこでは項が無視できるか、あるいは $a$ が整数で符号は問題にならないからです。

[4] 「多変量統計理論の側面 | Wiley」Wiley.com . 2021年1月23日閲覧。

[5] フランク、エブリン (1956). 「超幾何関数の比に対する新しい連分数展開」. Trans. Am. Math. Soc . 81 (2): 453– 476. doi :10.1090/S0002-9947-1956-0076937-0. JSTOR 1992927. MR 0076937.