合同数

Area of a right triangle with rational-numbered sides

面積が 6 で、合同な数である直角三角形。

数論において、合同数とは、 3つの有理数の辺を持つ直角三角形の面積となる正の整数である。^{[1] [2]} より一般的な定義では、この性質を持つすべての正の有理数が含まれる。^[3]

（整数）合同な数の列は

5、6、7、13、14、15、20、21、22、23、24、28、29、30、31、34、37、38、39、41、45、46、47、52、53、54、55、56、60、61、62、63、65、69、70、71、77、78、79、80、84、85、86、87、88、92、93、94、95、96、101、102、103、109、110、111、112、116、117、 118、119、120、…（OEISの配列A003273）

合同数表: n ≤ 120

合同数表: n ≤ 120
—: 合同でない数
C: 平方のない合同数
S: 平方因子を持つ合同数

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S

例えば、5は(20/3, 3/2, 41/6)の三角形の面積なので、合同な数です。同様に、6は(3,4,5)の三角形の面積なので、合同な数です。3と4は合同ではありません。数が合同であることを示す三角形の辺は、分子と分母が非常に大きくなることがあります。たとえば、263は、2つの最も短い辺が16277526249841969031325182370950195/2303229894605810399672144140263708と4606459789211620799344288280527416/61891734790273646506939856923765である三角形の面積です。 ^[4]

qが合同数ならば、任意の自然数sに対してs ² qも合同数となる（三角形の各辺にsを掛けるだけでよい）。逆もまた同様である。このことから、非零有理数qが合同数であるかどうかは、群におけるその剰余のみに依存するという観察が導かれる。

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2},}$

ここで、 は非ゼロ有理数の集合です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$

この群のすべての剰余類には、ちょうど 1 つの平方自由整数が含まれるため、合同な数について話すときは、平方自由正整数のみを考慮するのが一般的です。

合同数問題

与えられた有理数が合同数であるかどうかを判断する問題は、合同数問題と呼ばれます。2019年現在^[update]、この問題は未だ解決に至っていません。トンネルの定理は、数が合同であるかどうかを判断するための容易に検証可能な基準を提供しますが、彼の結果はバーチとスウィナートン＝ダイアーの予想に依存しており、これは未だ証明されていません。

ピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられたフェルマーの直角三角形定理は、いかなる平方数も合同な数にはなり得ないことを述べています。しかし、すべての合同数（3つの平方数の等差数列における連続する要素間の差）は平方数でないという形で、これはフィボナッチにも（証明なしに）知られていました。^[5]すべての合同数は合同数であり、すべての合同数は合同数と有理数の平方との積です。^[6]しかし、数が合同数であるかどうかを判断することは、合同であるかどうかを判断するよりもはるかに簡単です。なぜなら、合同数にはパラメータ化された式があり、有限個のパラメータ値をテストするだけでよいからです。^[7]

ソリューション

nが合同な数であるのは、次の場合のみである。

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=u^{2}}$、 ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}=v^{2}}$

解が存在する。ここで、、は整数である。^[8] ${\displaystyle x,y,u}$ ${\displaystyle v}$

解が与えられると、3 つの数、、 は公差 を持つ等差数列になります。 ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle v^{2}}$ ${\displaystyle ny^{2}}$

さらに、もし解が1つ（右辺が正方形）あるとしたら、その解は無限に存在する。つまり、任意の解が与えられれば、別の解は^[9]から計算できる。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle x'=(xu)^{2}+n(yv)^{2},}$

${\displaystyle y'=2xyuv.}$

たとえば、 の場合、方程式は次のようになります。 ${\displaystyle n=6}$

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=u^{2},}$

${\displaystyle x^{2}+6y^{2}=v^{2}.}$

一つの解は（となるように）である。もう一つの解は ${\displaystyle x=5,y=2}$ ${\displaystyle u=1,v=7}$

${\displaystyle x'=(5\cdot 1)^{2}+6(2\cdot 7)^{2}=1201,}$

${\displaystyle y'=2\cdot 5\cdot 2\cdot 1\cdot 7=140.}$

この新しい と では、新しい右辺は両方とも正方形のままです。 ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle y'}$

${\displaystyle u'^{2}=1201^{2}-6\cdot 140^{2}=1324801=1151^{2},}$

${\displaystyle v'^{2}=1201^{2}+6\cdot 140^{2}=1560001=1249^{2}.}$

上記のように使用すると ${\displaystyle x'=1201,y'=140,u',v'}$

${\displaystyle u''=1,727,438,169,601}$

${\displaystyle v''=2,405,943,600,001}$

、およびが与えられれば、、およびが得られる。 ${\displaystyle x,y,u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$、 そして ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$

から

${\displaystyle a={\frac {v-u}{y}},\quad b={\frac {v+u}{y}},\quad c={\frac {2x}{y}}.}$

すると、 とは面積 の直角三角形の脚と斜辺になります。 ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$

上記の値から が得られます。 の値は となります。 これらの直角三角形はどちらも面積 です。 ${\displaystyle (x,y,u,v)=(5,2,1,7)}$ ${\displaystyle (a,b,c)=(3,4,5)}$ ${\displaystyle (1201,140,1151,1249)}$ ${\displaystyle (a,b,c)=(7/10,120/7,1201/70)}$ ${\displaystyle n=6}$

楕円曲線との関係

与えられた数が合同であるかどうかという問題は、ある楕円曲線が正の階数を持つという条件と同等であることが判明した。^[3] この考え方に対する別のアプローチを以下に示す（これは基本的に、Tunnellの論文の序論にも記載されている）。

nを非ゼロとして固定します。a、b、cが次の2つの式を満たす数値（必ずしも正または有理数である必要はありません）であるとします。

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=c^{2},\\{\tfrac {1}{2}}ab&=n.\end{aligned}}}$

次に、x = n ( a + c )/ b 、 y = 2 n ² ( a + c )/ b ²と おく。計算すると、

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

そしてy は0 ではありません（y = 0の場合、 a = − cなのでb = 0ですが、( 1 ⁄ 2 ) ab = nはゼロではなく、矛盾です）。

逆に、xとyが上記の式を満たす数であり、y が0 でない場合、 a = ( x ² − n ² )/ y、 b = 2 nx / y、c = ( x ² + n ² )/ yと設定します。計算すると、これらの3つの数は上記のa、b、cの2つの式を満たすことがわかります。

これら 2 つの対応 ( a、b、c ) と ( x、y ) は互いに逆の関係にあるため、a、b、cの 2 つの方程式の任意の解と、 y が 0 以外の場合の x および y の方程式の任意の解との間には1対1の対応があります。 特に、 2 つの対応の式から、有理数nの場合、対応するxおよびyが有理数である場合に限り、 a、b、cが有理数であり、その逆もまた成り立ちます。 (また、 x および y がすべて正である場合に限り、 a 、 b 、 c がすべて正であることもわかります。y 2 = x 3 − xn 2 ⁼ x ( ^x 2 − ⁿ 2 )という式^から、x^およびyが正であればx 2 − ⁿ 2も^正でなければならないため、上記のaの式は正になります。)

したがって、正の有理数nが合同であるためには、方程式y ² = x ³ − n ² xに、 yが0 でない有理点が存在する必要がある。この楕円曲線上のねじれ点はyが 0 である点のみであることが（等差数列における素数に関するディリクレの定理の応用として）示されるため、 yが 0 でない有理点が存在するということは、楕円曲線が正の階数を持つということと等価である。

もう一つの解決方法は、nの整数値をNとして計算し、

${\displaystyle N^{2}=ed^{2}+e^{2}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=n^{2}/e+e\\a&=2n\\b&=n^{2}/e-e\end{aligned}}}$

現在の進捗状況

例えば素数pに対して次が成り立つことが知られている: ^[10]

• p ≡ 3 ( mod 8)の場合、pは合同な数ではありませんが、 2 pは合同な数です。
• p ≡ 5 (mod 8)ならば、pは合同な数です。
• p ≡ 7 (mod 8)ならば、pと 2 pは合同な数です。

また、合同類5、6、7（mod 8）のそれぞれにおいて、任意のkに対して、 k個の素因数を持つ平方自由合同な数が無限に存在することも知られています。 ^[11]

注記

1. Weisstein, Eric W.「合同な数」。MathWorld。
2. ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題（[第3版]）. ニューヨーク: シュプリンガー. pp.  195– 197. ISBN 0-387-20860-7. OCLC  54611248。
3. Koblitz, Neal (1993), Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms , New York: Springer-Verlag , p. 3, ISBN 0-387-97966-2
4. ゴールドバーグ、デイヴィッド (2021). 「10,000未満の合同数の三角形の辺」arXiv : 2106.07373 [math.NT].
5. Ore, Øystein (2012)、数論とその歴史、Courier Dover Corporation、pp.  202– 203、ISBN 978-0-486-13643-1。
6. コンラッド、キース（2008年秋）「合同数問題」（PDF）、ハーバード大学数学評論、2（2）：58-73 、 2013年1月20日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
7. ダーリング、デイヴィッド（2004）、数学の普遍的な本：アブラカダブラからゼノンのパラドックスまで、ジョン・ワイリー＆サンズ、p.77、ISBN 978-0-471-66700-1。
8. ウスペンスキー, JV ; ヒースレット, MA (1939). 『初等数論』第2巻. マグロウヒル. 419ページ.
9. ディクソン、レナード・ユージン(1966).数論の歴史. 第2巻. チェルシー. pp.  468– 469.
10. Paul Monsky (1990)、「Mock Heegner Points and Congruent Numbers」、数学時代、204 (1): 45–67、doi :10.1007/BF02570859、S2CID  121911966
11. Tian, Ye (2014)、「合同数とヒーグナー点」、Cambridge Journal of Mathematics、2 (1): 117– 161、arXiv : 1210.8231、doi :10.4310/CJM.2014.v2.n1.a4、MR  3272014、S2CID  55390076。

参考文献

• アルター、ロナルド（1980）、「合同数問題」、アメリカ数学月刊誌、87（1）、アメリカ数学会誌：43-45、doi：10.2307/2320381、JSTOR  2320381
• Chandrasekar, V. (1998)、「合同数問題」(PDF)、Resonance、3 (8): 33– 45、doi :10.1007/BF02837344、S2CID  123495100
• ディクソン、レナード・ユージン（2005年）「第16章」数論の歴史、ドーバー数学書、第2巻：ディオファントス解析、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-44233-4– 問題の歴史については、こちらをご覧ください。
• ガイ、リチャード（2004）、数論における未解決問題、数学の問題集（第1巻）（第3版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-20860-2、Zbl  1058.11001– 多くの参考文献が記載されています。
• トンネル、ジェロルド・B. (1983)、「古典ディオファントス問題と重み3/2のモジュラー形式」、Inventiones Mathematicae、72 (2): 323– 334、Bibcode :1983InMat..72..323T、doi :10.1007/BF01389327、hdl : 10338.dmlcz/137483

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「合同数」。MathWorld。
• 問題の現状に関する短い議論は、多くの参考文献とともに、Alice Silverbergの Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry (Postscript) に記載されています。
• 1 兆個の三角形 - 数学者は最初の 1 兆個のケースを解決しました (バーチおよびスウィナートン ダイアーの予想を条件とする)。

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