円錐形の組み合わせ

実ベクトル空間における有限個のベクトルが与えられたとき、これらのベクトルの円錐結合、円錐和、または重み付き和^{[1] [2]}は、次の形式のベクトルとなる。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$

は負でない実数です。 ${\displaystyle \alpha _{i}}$

この名前は、すべての円錐ベクトルの和の集合が円錐（おそらく低次元の部分空間内）を定義するという事実に由来しています。

円錐形の船体

与えられた集合Sに対する円錐結合全体の集合はSの円錐包と呼ばれ、cone ( S ) ^[1]またはconi ( S ) ^[2]と表記される。つまり、

${\displaystyle \operatorname {coni} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}:x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,k\in \mathbb {N} \right\}.}$

k = 0とすると、ゼロベクトル (原点) はすべての円錐包に属することになります (合計が空の合計になるため)。

集合Sの円錐包は凸集合である。実際、円錐包はSを含むすべての凸錐の交点と原点である。^[1] Sがコンパクト集合（特に有限で空でない点の集合）である場合、「原点を含む」という条件は不要である。

原点を無視すると、すべての係数をその合計で割ることで、円錐結合が正の係数でスケーリングされた凸結合であることがわかります。

平面では、原点を通る円の円錐外殻は、原点における円の接線と原点によって定義される開いた半平面です。

したがって、「円錐結合」と「円錐包」は、実際にはそれぞれ「凸円錐結合」と「凸円錐包」です。^{[1]さらに、原点を捨てて係数を分割することについての上記のコメントは、円錐結合と包が}射影空間における凸結合と凸包として考えることができることを意味しています。

コンパクト集合の凸包はコンパクト集合であるが、円錐包の場合はそうではない。まず、円錐包は非有界である。さらに、円錐包は必ずしも閉集合である必要もない。反例として、原点を通る球面があり、円錐包は開半空間と原点を加えたものである。しかし、Sが空でない凸コンパクト集合で原点を含まない場合、Sの凸円錐包は閉集合となる。^[1]

参照

関連する組み合わせ

• アフィン結合
• 凸結合
• 線形結合

参考文献

1. 凸分析と最小化アルゴリズム、Jean-Baptiste Hiriart-Urruty、Claude Lemaréchal、1993、ISBN 3-540-56850-6、101、102ページ
2. 数理計画法、メルヴィン・W・ジェーター著（1986年）ISBN 0-8247-7478-7、68ページ

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Conical_combination&oldid=1320712541"