活用クラス

In group theory, equivalence class under the relation of conjugation

共役類が色で区別された二面体群の2 つのケーリー グラフ。

数学、特に群論において、群の2つの元とが共役であるとは、群に となる元が存在する場合を言う。これは同値関係であり、その同値類は共役類と呼ばれる。言い換えれば、各共役類は群のすべての元に対して閉じている。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}.}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ ${\displaystyle g}$

同じ共役類に属する要素は、群の構造のみでは区別できず、多くの性質を共有しています。非アーベル群の共役類の研究は、それらの構造の研究の基礎となります。^{[1] [2]}アーベル群の場合、各共役類は1つの元（単元集合）を含む集合です。

同じ共役類の要素に対して定数である関数は、類関数と呼ばれます。

動機

共役類の概念は、2つの群の元が元のラベル付け後に「同じ」とみなされるという考えを形式化しようとすることから生まれたのかもしれません

例えば、位数5の対称群 と、共役な元とを考えてみましょう。元は、単に元の名前を変更し、その新しいラベルに置換を適用するものと見ることができます。 ${\displaystyle S_{5}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$ ${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$ ${\displaystyle 1,2,3,4,5}$ ${\displaystyle \pi (1),\pi (2),\pi (3),\pi (4),\pi (5)}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\text{If }}\sigma ={\begin{matrix}1\mapsto 3\\2\mapsto 1\\3\mapsto 5\\4\mapsto 2\\5\mapsto 4\end{matrix}}\quad {\text{ then }}\pi \sigma \pi ^{-1}={\begin{matrix}\pi (1)\mapsto \pi (3)\\\pi (2)\mapsto \pi (1)\\\pi (3)\mapsto \pi (5)\\\pi (4)\mapsto \pi (2)\\\pi (5)\mapsto \pi (4)\end{matrix}}}$

による共役作用はの基礎構造を変えない。ある意味では、 と の順列は同じ「形」を持つ。^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$

共役作用を考察する別の方法は、可逆行列の一般線型群を 考えることです。2つの行列と が共役であるとは、となる行列が存在する場合であり、これは行列相似性と同じ条件です。2つの行列が共役であるとは、2つの異なる基底の下で「同じ」である場合を指します。この場合、 は基底変換行列です。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B=PAP^{-1}}$ ${\displaystyle P}$

共役は群論のいくつかの重要な定理にも登場します。例えば、有限群のすべてのシロー部分群は互いに共役であるというシロー定理が挙げられます。また、共役類を用いるコーシーの定理の証明にも共役が登場します。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$

意味

を群とする。2つの元が共役であるとは、元が存在する場合であり、その場合 はの共役と呼ばれ、は の共役と呼ばれる ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=b,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

一般の可逆行列の線型群 の場合、共役関係は 行列相似関係と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$

共役関係は同値関係であり、したがって同値類に分割されることは容易に示される。（これは、群のすべての元が正確に1つの共役類に属し、クラスとが等しいのは、とが共役である場合のみであり、そうでない場合は互いに素であることを意味する。）元を含む同値類はであり 、はの共役類と呼ばれる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\in G}$ $${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$ ${\displaystyle a.}$の類数は、異なる（非同値な）共役類の数です。同じ共役類に属するすべての要素は、同じ位数。 ${\displaystyle G}$

共役類は、それを記述することによって、またはより簡潔に「6A」などの略語で参照することができます。「6A」は「位数 6 の特定の共役類」を意味し、「6B」は位数 6 の別の共役類を意味します。共役類 1A は位数 1 の恒等群の共役類です。場合によっては、共役類を統一的な方法で記述することができます。たとえば、対称群では、共役類はサイクル型で記述できます。

例

から共役類に分割された、4! = 24 通りの可能な順列。2つの元が同じ循環型を持つ場合、それらは同じ類に属する ${\displaystyle S_{4}}$

からのすべての 10 個の可能な順列を共役類に分割します。 ${\displaystyle D_{5}}$

3 つの要素の 6 つの順列からなる対称群には、3 つの共役類があります。 ${\displaystyle S_{3},}$

1. 変更なし： ${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. 2つを転置： ${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. 3つすべてを循環的に置換： ${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$

これら 3 つのクラスは、正三角形の等長変換の分類にも対応します。

対称群 S 4 , {\displaystyle S_{4},} は4つの元の24通りの順列から成り、5つの共役類を持ち、その要素はサイクル表記法を用いて列挙される: ^[4]

1. 変更なし： ${\displaystyle \{(1)\}}$
2. 2つを入れ替えると： ${\displaystyle \{(12),(13),(14),(23),(24),(34)\}}$
3. 3つの巡回順列： ${\displaystyle \{(123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243)\}}$
4. 4つすべての巡回順列： ${\displaystyle \{(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)\}}$
5. 2 つを交換し、さらに他の 2 つも交換します。 ${\displaystyle \{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$

一般に、対称群 ${\displaystyle S_{n}}$の共役類の数はの整数分割の数に等しい。 これは、各共役類がの循環へのちょうど1つの分割に対応し、 の要素の順列を除けば、 ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

五角形の対称性からなる二面体群には4つの共役類がある: [ 5 ^] ${\displaystyle D_{5}}$

1. アイデンティティ要素: ${\displaystyle \{1\}}$
2. サイズ 2 の 2 つの共役クラス: ${\displaystyle \{r,r^{4}\},\{r^{2},r^{3}\}}$
3. すべての反射： ${\displaystyle \{s,rs,r^{2}s,r^{3}s,r^{4}s\}}$

アーベル群の場合、各共役類は 1 つの要素 (単集合) を含む集合です。

特性

• 単位元は常にそのクラス内の唯一の元です。つまり ${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$
• がアーベルである場合、すべての に対して、すなわち、すべての に対してです(逆もまた真です。つまり、すべての共役類がシングルトンである場合、はアーベルです)。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=a}$ ${\displaystyle a,g\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G}$
• 2つの元が同じ共役類に属する場合（つまり、共役である場合）、それらの元は同じ位数を持ちます。より一般的には、写像はの自己同型（内部自己同型）であるため、に関するすべての文はに関する文に翻訳できます。次の性質の例を参照してください。 ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=gag^{-1},}$ ${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$ ${\displaystyle G}$
• とが共役ならば、それらの冪も共役である。 （証明：ならば）このように、k乗をとると共役類への写像が得られ、どの共役類がその逆像に含まれるかを考えることができる。例えば、対称群において、(3)(2)型（3サイクルと2サイクル）の元の平方は(3)型である。したがって、(3)の冪乗類の1つは(3)(2)型（ はの冪乗類）である。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{k}}$ ${\displaystyle b^{k}.}$ ${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ ${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{k}}$
• ある元が の中心にある場合、かつその共役類がそれ自身の元のみを持つ場合に限ります。より一般的には、 がの中心化群、すなわち となるすべての元からなる部分群を表す場合、その指数は の共役類の元の数に等しくなります（軌道安定定理より）。 ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ga=ag,}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle a}$
• とを、サイクル型（1サイクルを含む）におけるサイクルの長さとして現れる異なる整数とする。を、それぞれについて長さ のサイクルの数とする（したがって）。このとき、 の共役の数は：^[1] ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$ ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$$

集団行動としての共役

任意の2つの要素に対して、の群作用を定義する。この作用の軌道は共役類であり、与えられた要素の安定子はその要素の中心化子である。^[6] ${\displaystyle g,x\in G,}$ $${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

同様に、 のすべての部分集合の集合に対するの群作用を、 の部分群の集合に対して と書くことで定義できる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ $${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1},}$$ ${\displaystyle G.}$

共役類方程式

が有限群である場合、任意の群元に対して、の共役類の元は中心化群 の剰余類と 1 対 1 で対応します。これは、同じ剰余類に属する任意の 2 つの元 および（したがって、中心化群 の一部に対して）は、 を共役すると同じ元を生成することを観察することで確認できます。 これは、群 が共役を介して自分自身に作用するものと考えると、軌道安定子定理からもわかります。したがって、軌道 は共役類であり、安定子部分群は中心化子です。逆もまた成り立ちます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a).}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b=cz}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}.}$$

したがって、 の共役類の元の数はの中心化元のインデックスです。したがって、各共役類のサイズによって、群の位数が分割されます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle G}$

さらに、すべての共役類から 1つの代表元を選択すると、共役類の非素性から、元の中心化元が 次のように推論されます。中心の各元がそれ自身だけを含む共役類を形成することを観察すると、類方程式が生成されます。^[7]ここで、和は中心にない各共役類の代表元についてです。 ${\displaystyle x_{i}}$ $${\displaystyle |G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ $${\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$

群の順序の約数に関する知識は、中心の順序や共役類の順序に関する情報を得るためによく使用されます。 ${\displaystyle |G|}$

例

有限-群（つまり、が素数で である順序を持つ群）を考えます。すべての有限-群には非自明な中心 があることを証明します ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{n},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p}$

の共役類​​の位数は の位数を割り切れるから、中心にない共役類も の位数を持つことになる。ただし、類の等式は を要求する。このことから は を割り切れることがわかる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle p^{k_{i}},}$ ${\displaystyle 0<k_{i}<n.}$ ${\textstyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1.}$

特に、 のとき、はアーベル群である。なぜなら、任意の非自明な群の元は位数または であるからである。の元が位数 である場合、は位数の巡回群と同型であり、したがってアーベル群となる。一方、 のすべての非自明な元が位数 である場合、したがって上記の結論により、またはとなる。 のとき、 の中心にないの元が存在する。 は、と を含み、中心には少なくとも個の元は含まれない点に注意する必要がある。したがって、 の位数はよりも厳密に大きい。したがって、は背理の中心の元となる。したがって、 はアーベル群であり、実際には、 の位数 がそれぞれ である 2 つの巡回群の直積と同型である。 ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p.}$

平均中心化

を有限群とする。共役によって与えられる、自身の群作用を考える。軌道はの共役類であり、元の不動点の集合は中心化で ある ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{G}(g)}$

したがって、バーンサイドの補題により、共役類の数は、つまり中心化子の平均サイズに等しくなります。 ${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g}|C_{G}(g)|}$

部分群と一般部分集合の共役性

より一般的には、任意の部分集合 （必ずしも部分群ではない）が与えられたとき、共役な部分集合が存在する場合、共役な部分集合を定義する。共役なすべての部分集合の集合をとする。 ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S.}$

よく使われる定理は、任意の部分集合が与えられたとき、における（の正規化子）のインデックスはの濃度に等しいというものです。 ${\displaystyle S\subseteq G,}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$ $${\displaystyle |{\operatorname {Cl} (S)}|=[G:N(S)].}$$

これは、もしならば ならば の場合に限り、言い換えれば ならば の場合に限り、が同じ剰余類に属するからである。 ${\displaystyle g,h\in G,}$ ${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$ ${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$ ${\displaystyle g{\text{ and }}h}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$

この式を使用すると、共役類の要素の数について前に示した式が一般化されます。 ${\displaystyle S=\{a\},}$

上記は、 の部分群について議論する際に特に有用です。したがって、 の部分群は共役類に分類することができ、2つの部分群が同じ類に属するのは、それらが共役である場合に限ります。共役部分群は同型ですが、同型部分群は必ずしも共役である必要はありません。例えば、アーベル群には2つの異なる同型部分群が存在する場合がありますが、それらは共役になることはありません。 ${\displaystyle G.}$

幾何学的解釈

経路連結位相空間の基本群の共役類は、自由ホモトピーの下での自由ループの同値類と考えることができる。

有限群における共役類と既約表現

任意の有限群において、複素数上の非同型な既約表現の数は、共役類の数と正確に一致します。

参照

• 位相共役性 - 位相幾何学における概念
• FC群 - 群論数学における群
• 共役閉部分群

注釈

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (第3版). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9。
2. ラング、セルジュ(2002).代数学.大学院数学テキスト.シュプリンガー. ISBN 0-387-95385-X。
3. チェン、エヴァン。「無限に大きなナプキン」（PDF）。2025年9月3日閲覧
4. オニール、クリストファー（2023年1月）。「正八面体群と二元正八面体群の間の内部自己同型性」。
5. コンラッド、キース. 「二面体群」(PDF) . 2025年9月3日閲覧。
6. グリレット（2007年）、56ページ
7. グリレット（2007年）、57ページ

参考文献

• グリエ、ピエール・アントワーヌ (2007).抽象代数. 数学大学院テキスト. 第242巻 (第2版). シュプリンガー. ISBN 978-0-387-71567-4。

外部リンク

• 「共役元」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994]

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