接続フォーム

Math/physics concept

数学、特に微分幾何学において、接続形式とは、移動フレームと微分形式の言語を使用して接続のデータを整理する方法です。

歴史的に、接続形式はエリー・カルタンによって20世紀前半に、彼の移動フレーム法の一部として、またその主要な動機の1つとして導入されました。接続形式は一般に座標フレームの選択に依存するため、テンソル対象ではありません。カルタンの初期の研究の後に、接続形式のさまざまな一般化と再解釈が定式化されました。特に、主バンドル上では、主接続は、テンソル対象としての接続形式の自然な再解釈です。一方、接続形式には、微分多様体上の抽象的な主バンドル上ではなく、微分可能多様体上で定義された微分形式であるという利点があります。したがって、テンソル性が欠けているにもかかわらず、接続形式は計算が比較的簡単なため、引き続き使用されています。^[1]物理学では、接続形式は、ゲージ共変微分を通じて、ゲージ理論の文脈でも広く使用されています。

接続形式は、ベクトル束の各基底に微分形式の行列を関連付けます。接続形式はテンソルではありません。基底の変更により、接続形式は、レヴィ-チヴィタ接続のクリストッフェル記号とほぼ同じように、遷移関数の外微分を含む方法で変換されるためです。接続形式の主なテンソル不変量は曲率形式です。ベクトル束を接線束と同一視するソルダー形式が存在する場合、追加の不変量としてねじり形式が存在します。多くの場合、接続形式は、構造群を持つファイバー束などの追加の構造を持つベクトル束上で考えられます。

ベクトル束

ベクトル束上のフレーム

を微分可能多様体上のファイバー次元のベクトル束とする。の局所フレームはの局所セクションの順序付き基底である。ベクトル束は常に、多様体のアトラスと同様に、局所自明化によって定義されるため、局所フレームを構築することは常に可能である。つまり、基本多様体 上の任意の点が与えられると、上のベクトル束が局所自明になるようなの開近傍が存在する。これは、に射影すると と同型である。 上のベクトル空間構造は、したがって、局所自明化全体に拡張することができ、 上の基底も同様に拡張することができ、これが局所フレームを定義する。(ここでは実数が使用されているが、展開の大部分は一般に環上の加群に、特に複素数上のベクトル空間に拡張することができる。) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

を 上の局所標構とする。この標構は の任意の切断を局所的に表現するのに用いることができる。例えば、 が標構と同じ開集合上に定義された局所切断であるとする。すると、 ${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{\alpha })_{\alpha =1,2,\dots ,k}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbb {e} }$

${\displaystyle \xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$

ここで はフレーム におけるの成分を表す。行列方程式として表すと、 ${\displaystyle \xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )}$

一般相対論では、このようなフレーム場はテトラッドと呼ばれます。テトラッドは、局所フレームをベース多様体上の明示的な座標系（アトラスによって確立される座標系）に具体的に関連付けます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

外部接続

Eの接続は微分演算子の一種である

${\displaystyle D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}M}$

ここで、Γ はベクトル束の局所切断層を表し、Ω ¹ MはM上の微分1形式の束を表す。D が接続であるためには、外微分と正しく結合されていなければならない。具体的には、vがEの局所切断であり、fが滑らかな関数である場合、

${\displaystyle D(fv)=v\otimes (df)+fDv}$

ここで、dfはfの外微分です。

Dの定義を任意のE値形式に拡張し、それをEと微分形式の完全外積代数とのテンソル積上の微分作用素とみなすと便利な場合がある。この適合性を満たす外接Dが与えられれば、 Dの唯一の拡張が存在する。

${\displaystyle D:\Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)}$

そういう

${\displaystyle D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha }$

ここでvは次数 deg vの同次である。言い換えれば、Dは次数付き加群の層 Γ( E ⊗ Ω ^* M )上の微分である。

接続フォーム

接続形式は、特定のフレームeに外部接続を適用したときに生じる。e αに外部接続を適用すると_、 M上の1 形式となる唯一のk × k行列 ( ω _α ^β )が次のように表さ れる。

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.}$

接続形式を用いることで、 Eの任意の切断の外接は表現できる。例えば、ξ = Σ _α e _α ξ ^αとすると、

${\displaystyle D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}$

両側のコンポーネントを取り、

${\displaystyle D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )}$

ここで、 dと ω はそれぞれフレームeに関する成分ごとの微分、およびξの成分に作用する1-形式行列を表すことが理解される。逆に、1-形式行列ωは、切断eの基底が定義されている開集合上の局所的な接続を完全に決定するのに十分である。

フレームの変更

ω を適切な大域的対象に拡張するためには、 Eの基本断面を異なる方法で選択した場合に ω がどのように振る舞うかを調べる必要がある。 eの選択に依存することを示すために、ω _α ^β = ω _α ^β ( e )と記す。

e ′ が局所基底の別の選択であると仮定する。すると、関数gのk × k逆行列が存在し、

${\displaystyle {\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{i.e., }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}$

両辺に外部接続を適用すると、ωの変換則が得られる。

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e} )g.}$

特に、1 つのフレームから別のフレームに移る規則には遷移行列gの導関数が関係するため、 ω はテンソル方式で変換できないことに注意してください。

グローバル接続フォーム

{ U _p } がMの開被覆であり、各U _{p が}Eの自明化e _pを備えている場合、重なり合う領域上の局所接続形式間のパッチングデータを用いて、大域接続形式を定義することができる。詳細には、M上の接続形式とは、各U _p上に定義された 1-形式の行列ω ( e _p ) の系であり、以下の適合条件を満たす。

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).}$

この適合条件は、特に、Eのセクションの外部接続が、 E ⊗ Ω ¹ Mのセクションとして抽象的に見なされる場合、接続を定義するために使用される基底セクションの選択に依存しないことを保証します。

曲率

Eにおける接続形式の曲率2形式は次のように定義される。

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).}$

接続形式とは異なり、曲率はフレーム変換の下でテンソル的に振舞う。これはポアンカレの補題を用いて直接確認できる。具体的には、e → e gがフレーム変換であるとき、曲率二形式は次のように変換される。

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.}$

この変換則の一つの解釈は次の通りである。e ^*をフレームeに対応する双対基底とする。すると、2形式

${\displaystyle \Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}}$

はフレームの選択に依存しない。特に、ΩはM上のベクトル値2次元形式であり、自己準同型環Hom( E , E )に値を持つ。記号的に、

${\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).}$

外部接続Dに関して、曲率自己準同型は次のように与えられる。

${\displaystyle \Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,}$

v ∈ Eに対して（この式を定義するためにv を局所断面に拡張することができる）。したがって、曲率はシーケンスの失敗を測る尺度となる。

${\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{1}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{2}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{n}T^{*}(M))}$

鎖複体（ド・ラームコホモロジーの意味で）となる。

はんだ付けとねじり

Eのファイバー次元kが多様体Mの次元と等しいと仮定する。この場合、ベクトル束Eは、その接続に加えて、はんだ形式と呼ばれる追加のデータを持つことがある。はんだ形式とは、大域的に定義されたベクトル値1形式θ ∈ Ω ¹ ( M , E ) であり、写像

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}}$

はすべてのx ∈ Mに対して線型同型である。はんだ形式が与えられれば、接続のねじれ（外部接続に関して）を次のように定義することができる。

${\displaystyle \Theta =D\theta .\,}$

ねじれ Θ はM上のE値 2 形式です。

はんだ形式とそれに伴うねじれは、 Eの局所座標系eによって記述できる。θ がはんだ形式である場合、それは座標系成分に分解される。

${\displaystyle \theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.}$

ねじれの成分は

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

曲率と同様に、Θはフレームの変化に対して反変テンソルとして振る舞うことが示されます。

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

フレームに依存しないねじれは、フレームのコンポーネントから回復することもできます。

${\displaystyle \Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).}$

ビアンキのアイデンティティ

ビアンキ恒等式は、ねじれと曲率を関連付ける。最初のビアンキ恒等式は、

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$

一方、ビアンキの2番目の恒等式は、

${\displaystyle \,D\Omega =0.}$

例: レヴィ-チヴィタ接続

例として、Mがリーマン計量を持つと仮定する。M上にベクトル束 Eがある場合、計量はベクトル束全体に拡張でき、束計量となる。このとき、この束計量と両立する接続を定義できる。これが計量接続である。Eが接束TMである特殊な場合、計量接続はリーマン接続と呼ばれる。リーマン接続が与えられれば、常に唯一かつ等価でねじれのない接続が見つかる。これはMの接束TM上のレヴィ・チヴィタ接続である。^{[2] [3]}

接束上の局所フレームは、ベクトル場e = ( e _i | i = 1, 2, ..., n )（ただしn = dim M ）の順序付きリストであり、その定義域のあらゆる点で線型独立であるMの開集合上に定義される。クリストッフェル記号は、レヴィ・チヴィタ接続を次のように定義する。

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.}$

θ = { θ ⁱ | i = 1, 2, ..., n } が余接束の双対基底を表し、 θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j（クロネッカーのデルタ）となるとき、接続形式は

${\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.}$

接続形式を用いると、ベクトル場v = Σ _i e _i v ⁱ上の外部接続は次のように与えられる。

${\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.}$

通常の意味でのレヴィ-チヴィタ接続は、e _iを縮約することで復元できます。

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)}$

曲率

レヴィ・チヴィタ接続の曲率2形式は、次式で与えられる行列(Ω _i ^j ) である。

${\displaystyle \Omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}{}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}{}^{k}(\mathbf {e} ).}$

簡単のため、フレームeがホロノミックで、dθ ⁱ = 0であると仮定する。^[4] 次に、繰り返しインデックスの総和規約を適用すると、

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\Omega _{i}{}^{j}&=d(\Gamma ^{j}{}_{qi}\theta ^{q})+(\Gamma ^{j}{}_{pk}\theta ^{p})\wedge (\Gamma ^{k}{}_{qi}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma ^{j}{}_{qi}+\Gamma ^{j}{}_{pk}\Gamma ^{k}{}_{qi})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}}$

ここで、Rはリーマン曲率テンソルです。

ねじり

レヴィ＝チヴィタ接続は、捩れ度がゼロの接束における唯一の計量接続として特徴付けられる。捩れ度を記述するために、ベクトル束Eが接束であることに注意されたい。これは、接空間の恒等自己準同型に対応するHom(T M , T M ) = T ^∗ M ⊗ T Mの切断θである標準的なはんだ形式（特に古典力学の文脈では、標準的な一形式と呼ばれることもある）を持つ。フレームeにおいて、はんだ形式はθ = Σ _i e _i ⊗ θ ⁱであり、ここでもθ ⁱは双対基底である。

接続部のねじれはΘ = Dθで表され、はんだ付けフォームのフレーム成分では次のように表される。

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.}$

再び簡単化のためにeがホロノミックであると仮定すると、この式は次のように簡約される。

${\displaystyle \Theta ^{i}=\Gamma ^{i}{}_{kj}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}}$、

^{これは、Γ i} _kjがその下位のインデックスに対して対称である場合にのみ消えます。

ねじれを伴う計量接続が与えられた場合、常にねじれのない唯一の接続が見つかります。これがレヴィ・チヴィタ接続です。リーマン接続とそれに伴うレヴィ・チヴィタ接続の違いは、ねじれテンソルです。

構造グループ

ベクトル束Eが構造群を持つ場合、より具体的な接続形式を構築できます。これは、リー群Gによって関連付けられるE上の架構eの好ましいクラスに相当します。例えば、Eに計量が存在する場合、各点で直交基底を形成する架構を扱うことができます。この群は架構の直交性を保存するため、構造群は直交群となります。その他の例としては、以下が挙げられます。

• 前のセクションで検討した通常のフレームは構造群GL( k )を持ちます。ここでkはEのファイバー次元です。
• 複素多様体（または概複素多様体）の正則接束。^[5] ここで構造群はGL _n ( C ) ⊂ GL _2n ( R ) である。^[6]エルミート計量が与えられた 場合、構造群はユニタリフレームに作用するユニタリ群に簡約される。^[5]
• スピン構造を備えた多様体上のスピノル。フレームはスピン空間上の不変内積に関してユニタリであり、群はスピン群に縮約される。
• CR多様体上の正則接束^[7]

一般に、Eをファイバー次元kのベクトル束とし、G⊂GL ( k )_をRk^の一般線型群のリー部分群とする。( eα )_がEの局所フレームならば、行列値関数( gij ): M → Gが_eαに作用して新しいフレームを生成する^。

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}$

そのような2つのフレームはGと関連している。非公式には、フレームの優先クラスが指定され、それらすべてが互いに局所的にGと関連している場合、ベクトル束EはG束の構造を持つ。公式には、 Eは構造群Gを持つファイバー束であり、その典型ファイバーはR ^{kであり、} Gの自然な作用はGL( k )の部分群となる。

互換性のある接続

接続は、E上のG束の構造と両立する。ただし、関連する平行移動写像が常に 1 つのG フレームを別のGフレームへ転送することを条件とする。形式的には、曲線 γ に沿って、局所的に（つまり、tが十分に小さい値に対して）次が成立する必要がある。

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)}$

何らかの行列g _α ^β（これもtに依存する）に対して、t =0 での微分は

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))}$

ここで係数 ω _α ^βはリー群Gのリー代数 gにあります。

この観察から、ω _α ^βは次のように定義される。

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )}$

1形式行列ωαβ ₍ e )がg内で値を取る場合^、構造と互換性があります。

さらに、互換性のある接続の曲率形式は、g値の 2 形式です。

フレームの変更

フレームの変更により

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }}$

ここでgはMの開集合上で定義されたG値関数であり、接続形式は次のように変換される。

${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.}$

または、行列積を使用して次のようにします。

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.}$

これらの用語を解釈するには、g  : M → GがG値（局所的に定義された）関数であることを思い出してください。これを念頭に置いて、

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )}$

ここで、 ω _gは群Gのモーラー・カルタン形式であり、ここでは関数gに沿ってMに引き戻され、 Ad はリー代数上のGの随伴表現です。

主要なバンドル

これまでに紹介した接続形式は、フレームの特定の選択に依存します。最初の定義では、フレームは単なるセクションの局所基底です。各フレームには、あるフレームから別のフレームに移るための変換法則を備えた接続形式が与えられます。2 番目の定義では、フレーム自体がリー群によって提供される追加の構造を持ち、フレームの変更は、その値にそのフレームの値を取るものに制限されます。1940年代にCharles Ehresmannによって開拓された主バンドルの言語は、これらの多くの接続形式と、それらを単一の変換規則を持つ単一の固有の形式に接続する変換法則を整理する方法を提供します。このアプローチの欠点は、形式が多様体自体ではなく、より大きな主バンドル上で定義されることです。

接続フォームの主な接続

E → M が構造群Gを持つベクトル束であるとする。{ U } をMの開被覆とし、各U上のG -フレームをe _Uで表す。これらは重なり合う開集合の交差において次のように関係する。

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}}$

U ∩ V上で定義されたG値関数h _UVに対して。

F _G EをMの各点に渡るGフレーム全体の集合とする。これはM上の主Gバンドルである。詳細には、 GフレームがすべてGに関連しているという事実を用いて、 F _G E は開被覆の集合間のデータの接着によって実現できる。

${\displaystyle F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim }$

ここで同値関係 は次のように定義される。 ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle ((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.}$

F _G E上で、各積U × Gにg値 1 形式を指定し、重なり合う領域における同値関係を遵守すること で、主G接続を次のように定義する。まず、

${\displaystyle \pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G}$

を投影マップとする。ここで、点 ( x , g ) ∈ U × Gに対して、

${\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.}$

このようにして構築された1-形式 ω は、重なり合う集合間の遷移を尊重するため、主バンドル F _G E上の大域的に定義された1-形式を与える。ω は、 F _G E上の右G作用の生成元を再現し、T(F _G E )上の右作用とGの随伴表現を同変的に絡み合わせるという意味で主接続であることが示される。

主接続に関連付けられた接続フォーム

逆に、主G束P → Mにおける主G接続 ω は、 M上の接続形式の集合を生じる。e  : M → PがPの局所切断であるとする。すると、 ω のeに沿った引き戻しは、M上のg値 1 形式を定義する。

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .}$

G値関数gでフレームを変更すると、ω( e )がライプニッツの規則と付加物を使用して必要な方法で変換されることがわかります。

${\displaystyle \langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle }$

ここで、XはM上のベクトルであり、d はプッシュフォワードを表します。

参照

• エアレスマン接続
• カルタン接続
• アフィン接続
• 曲率形式

注記

1. グリフィス＆ハリス（1978）、ウェルズ（1980）、スピヴァック（1999a）
2. この観点からのレヴィ＝チヴィタ関係の詳細な説明については、Jost (2011) の第 4 章を参照してください。
3. この観点からのレヴィ＝チヴィタ関係の完全な説明については、Spivak (1999a) II.7を参照。
4. ⁱを考慮しなければならないため、曲率の表現はさらに複雑になります。
5. ウェルズ (1973)。
6. 例えば、小林・野水著、第2巻を参照。
7. ChernとMoserを参照。

参考文献

• Chern, S.-S.、「微分幾何学の話題」、高等研究所、謄写版講義ノート、1951 年。
• Chern SS; Moser, JK (1974)、「複素多様体における実超曲面」、Acta Math.、133 : 219–271、doi : 10.1007/BF02392146
• グリフィス、フィリップ；ハリス、ジョセフ（1978）『代数幾何学の原理』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-05059-8
• ヨスト、ユルゲン（2011）、リーマン幾何学と幾何学解析（PDF）、Universitext（第6版）、Springer、ハイデルベルク、doi：10.1007 / 978-3-642-21298-7、ISBN 978-3-642-21297-0、MR  2829653
• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（新版）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3
• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第2巻（新版）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15732-5
• スピヴァック、マイケル（1999a）、微分幾何学の包括的な入門（第2巻）、Publish or Perish、ISBN 0-914098-71-3
• スピヴァック、マイケル（1999b）、微分幾何学の包括的な入門（第3巻）、Publish or Perish、ISBN 0-914098-72-1
• ウェルズ、RO（1973）、複素多様体上の微分解析、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90419-0
• ウェルズ、RO（1980）、複素多様体上の微分解析、プレンティス・ホール

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