保存量

保存量とは、システム内で変化が生じたとしても、時間経過に伴って一定に保たれる性質または値である。数学において、力学系の保存量は従属変数の関数として正式に定義され、その値はシステムの各軌跡に沿って一定に保たれる。 ^[1]

すべてのシステムに保存量があるわけではなく、保存量は一意ではありません。保存量に定数を追加するなど、適切な関数を適用することで、常に別の保存量を生成することができるためです。

多くの物理法則は何らかの保存則を規定しているため、物理システムの数学モデルには保存量が一般的に存在します。例えば、古典力学モデルでは、関係する力が保存的である限り、力学的エネルギーが保存量として存在します。

微分方程式

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

ここで太字はベクトル量を示し、スカラー値関数H ( r )は、特定の領域におけるすべての時間と初期条件に対して、システムの保存量である。

{\frac {dH}{dt}}=0

{\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

定義は次のように書ける。

\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0

これには、システム固有の情報が含まれており、保存量を見つけたり、保存量が存在するかどうかを判断したりするのに役立ちます。

ハミルトニアンで定義されるシステムでは、一般化座標qと一般化運動量pの関数fは時間発展を持つ。 ${\mathcal {H}}$

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

したがってはのときのみ保存される。ここではポアソン括弧を表す。 ${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$ $\{f,{\mathcal {H}}\}$

一般化座標qを持つラグランジアン Lで定義された系を考える。Lが明示的な時間依存性を持たない場合（つまり）、エネルギーEは次のように定義される。 ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$

E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L

保存されます。

さらに、ならば、qは巡回座標とされ、一般化運動量pは次のように定義される。 ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}

^ ブランチャード、デヴァニー、ホール (2005).微分方程式. ブルックス/コール出版. p. 486. ISBN 0-495-01265-3。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)