定数（数学）

数学において、 「定数」という言葉は複数の意味を持ちます。形容詞としては、不変性（つまり、他の値に対して不変）を指します。名詞としては、2つの異なる意味を持ちます。

固定され、明確に定義された数、またはその他の不変の数学的対象、またはそれを表す記号。^[1]^{[2]この意味を区別するために、}数学定数または物理定数という用語が使用されることがあります。^[3]
値が変化しない関数（つまり、定数関数）。^{[4]このような}定数は、通常、問題の主な変数に依存しない変数によって表されます。

例えば、一般的な二次関数は通常、次のように表記されます。

ax^{2}+bx+c\,,

ここで、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ は定数（係数またはパラメータ）、 $xは$ 変数（検討対象の関数の引数のためのプレースホルダー）です。この関数をより明確に表記する方法は

x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,

$これにより、 x$ の関数引数状態（および拡張により $a$ 、 $b$ 、 $c$ の不変性）が明確になります。この例では、 $a$ 、 $b$ 、 $cは$ 多項式の係数です。c $は$ $x を$ 含まない項に出現するため、多項式の定数項と呼ばれ、 $x$ $0$ の係数と考えることができます。より一般的には、次数0（変数なし）の多項式項または式は定数です。^[5]^：18

定数関数

定数は、引数を無視して常に同じ値を返す定数関数を定義するために使用できます。 ^[6]のような単一変数の定数関数は、x軸に平行な水平線のグラフを持ちます。^[7]このような関数は、関数を定義する式に変数が現れないため、常に同じ値（この場合は 5）を取ります。 $f(x)=5$

文脈依存性

「定数」の概念の文脈依存性は、初等微積分学のこの例で見ることができます。

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{x{\text{は定数なので（つまり、h{\text{に依存しません）}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {定数} &&{\text{ここで、\mathbf {定数} {\text{はxに依存しないことを意味します。}}\end{aligned}}

「定数」とは、ある変数に依存せず、その変数が変化しても変化しないことを意味します。上記の最初のケースでは、 hに依存しないことを意味し、2番目のケースでは、 xに依存しないことを意味します。より狭い文脈における定数は、より広い文脈では変数と見なすことができます。

著名な数学定数

数学では頻繁に出現する値があり、慣例的に特定の記号で表されます。これらの標準的な記号とその値は数学定数と呼ばれます。例には以下が含まれます。

0（ゼロ）。
1（一）。ゼロの次の自然数。
$π$ （円周率）。円の円周と直径の比を表す定数。およそ3.141592653589793238462643に等しい。 ^[8]
$e$ 。およそ2.718281828459045235360287に等しい。^[9]
$i。i$ $2$ $= -1$ となる虚数単位。[ $10$ ^]
${\sqrt {2}}$ （2の平方根）、単位辺を持つ正方形の対角線の長さは、およそ1.414213562373095048801688に等しい。^[11]
$φ$ （黄金比）、およそ1.618033988749894848204586に等しい。代数的 $には、$ ^[12] $1+{\sqrt {5}} \over 2$

微積分における定数

微積分では、定数は演算に応じていくつかの異なる方法で扱われます。例えば、定数関数の導関数（変化率）はゼロです。これは、定数は定義上、変化しないためです。したがって、その導関数はゼロです。

逆に、定数関数を積分する場合、定数に積分変数を掛けます。

極限の評価中、定数は評価の前後で同じままです

一変数関数の積分には、しばしば積分定数が伴います。これは、積分が微分の逆（反対）であるため、積分の目的は微分前の元の関数を復元することであることを意味します。前述のように、定数関数の微分はゼロであり、微分演算子は線形演算子であるため、定数項のみが異なる関数は同じ微分を持ちます。これを考慮すると、不定積分には積分定数が加算されます。これにより、すべての可能な解が含まれるようになります。積分定数は一般に「c」と表記され、固定されているが定義されていない値を持つ定数を表します。

例

$f$ が定数関数で、任意の $x$ に対して $f(x)=72$

{\begin{aligned}f'(x)&=0\\\int f(x)\,dx&=72x+c\\\lim _{x\rightarrow 0}f(x)&=72\end{aligned}}

参照

参考文献

^ Sobolev, SK (2015年12月20日) [1994]. 「定数」.数学百科事典. EMS Press .
^ Sobolev, SK (2024年7月2日) [1994]. 「個別定数」.数学百科事典. EMS Press .
^ 「定数の定義」. www.merriam-webster.com . 2021年11月9日閲覧.
^ Weisstein, Eric W.「定数」. MathWorld
^ ポール・A・フォースター著（2006年）『代数学と三角法：関数と応用、教師用版（古典版）』アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール。ISBN 0-13-165711-9。
^ ジェームズ・タントン著（2005年）『数学百科事典』ニューヨーク：ファクト・オン・ファイル。ISBN OCLC 56057904
^ 「代数学」tutorial.math.lamar.edu 。 2021年11月9日閲覧。
^ イェルク・アーント、クリストフ・ハーネル著（2001年）『円周率の解き放ち方』シュプリンガー。240ページ。ISBN 978-3540665724。
^ Weisstein, Eric W. "e". MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. "i". MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. "ピタゴラス定数". MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. "黄金比". MathWorld .

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにおける定数関連メディア

[1] Sobolev, SK (2015年12月20日) [1994]. 「定数」.数学百科事典. EMS Press .

[2] Sobolev, SK (2024年7月2日) [1994]. 「個別定数」.数学百科事典. EMS Press .

[3] 「定数の定義」. www.merriam-webster.com . 2021年11月9日閲覧.

[4] Weisstein, Eric W.「定数」. MathWorld

[5] ポール・A・フォースター著（2006年）『代数学と三角法：関数と応用、教師用版（古典版）』アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール。ISBN 0-13-165711-9。

[6] ジェームズ・タントン著（2005年）『数学百科事典』ニューヨーク：ファクト・オン・ファイル。ISBN OCLC 56057904

[7] 「代数学」tutorial.math.lamar.edu 。 2021年11月9日閲覧。

[8] イェルク・アーント、クリストフ・ハーネル著（2001年）『円周率の解き放ち方』シュプリンガー。240ページ。ISBN 978-3540665724。

[9] Weisstein, Eric W. "e". MathWorld .

[10] Weisstein, Eric W. "i". MathWorld .

[11] Weisstein, Eric W. "ピタゴラス定数". MathWorld .

[12] Weisstein, Eric W. "黄金比". MathWorld .