構成方程式

Relation between two physical quantities which is specific to a substance

物理学および工学において、構成方程式または構成関係とは、材料、物質、または場に特有の2 つ以上の物理量(特に運動量と運動量) の関係であり、通常は印加場または力などの外部刺激に対する応答を近似します。これらは、物理法則を支配する他の方程式と組み合わせて物理的な問題を解決します。たとえば、流体力学ではパイプ内の流体の流れ、固体物理学では電場に対する結晶の応答、構造解析では印加応力または荷重と歪みまたは変形の関係などです。

構成方程式には、単純に現象論的なものもあれば、第一原理から導かれるものもあります。一般的な近似構成方程式は、導電率やバネ定数など、材料の特性とみなされるパラメータを用いた単純な比例関係として表現されることが多いです。しかし、材料の方向依存性を考慮する必要があることが多く、スカラーパラメータはテンソルに一般化されます。構成関係は、材料の応答速度や非線形挙動を考慮するためにも修正されます。^[1]線形応答関数の記事を参照してください。

物質の機械的性質

最初の構成方程式（構成法則）はロバート・フックによって提唱され、フックの法則として知られています。これは線形弾性材料の場合を扱っています。この発見以降、この種の方程式（この例では「応力-ひずみ関係」と呼ばれることが多いですが、「構成仮定」または「状態方程式」とも呼ばれます）は広く用いられるようになりました。ウォルター・ノルは構成方程式の利用を発展させ、その分類、不変性要件、制約、そして「材料」、「等方性」、「異方性」などの用語の定義を明確にしました。応力速度 = f（速度勾配、応力、密度）という形式の「構成関係」は、1954年にウォルター・ノルがクリフォード・トゥルーズデルの指導の下で博士論文を執筆した主題でした。^[2]

現代の凝縮系物理学では、構成方程式が重要な役割を果たします。線形構成方程式と非線形相関関数を参照してください。^[3]

定義

数量（一般名）	（共通）シンボル	定義式	SI単位	寸法
一般的なストレス、 プレッシャー	P , σ	${\displaystyle \sigma =F/A}$ Fは領域Aに作用する力の垂直成分である。	Pa = N⋅m −2	[M][L] −1 [T] −2
一般的な緊張	ε	${\displaystyle \varepsilon =\Delta D/D}$ D、寸法（長さ、面積、体積） Δ D、材料の寸法変化	1	無次元
一般弾性率	Eモッド	${\displaystyle E_{\text{mod}}=\sigma /\varepsilon }$	Pa = N⋅m −2	[M][L] −1 [T] −2
ヤング率	E、Y	${\displaystyle Y=\sigma /(\Delta L/L)}$	Pa = N⋅m −2	[M][L] −1 [T] −2
せん断弾性率	G	${\displaystyle G=(F/A)/(\Delta x/L)}$	Pa = N⋅m −2	[M][L] −1 [T] −2
体積弾性率	K、B	${\displaystyle B=P/(\Delta V/V)}$	Pa = N⋅m −2	[M][L] −1 [T] −2
圧縮性	C	${\displaystyle C=1/B}$	Pa −1 = m 2 ⋅N −1	[M] −1 [L][T] 2

固体の変形

摩擦

摩擦は複雑な現象です。マクロ的に見ると、2つの物質の界面における摩擦力F は、2つの物質のペアに依存する無次元摩擦係数μ _fを介して、2つの界面の接触点における反作用力 Rに比例するものとしてモデル化できます。

${\displaystyle F=\mu _{\text{f}}R.}$

これは、静摩擦（2 つの静止物体が単独で滑るのを防ぐ摩擦）、動摩擦（2 つの物体が互いに擦れ合う/滑る摩擦）、または転がり（滑りを防ぐが、丸い物体にトルクを及ぼす摩擦力）に適用できます。

ストレスと緊張

線形材料の応力-ひずみ構成関係は、一般的にフックの法則として知られています。最も単純な形では、この法則はバネ定数（または弾性定数）kをスカラー方程式で定義し、引張力/圧縮力が伸長（または収縮）変位 xに比例することを述べています。

${\displaystyle F_{i}=-kx_{i}}$

つまり、材料は線形に応答するということです。同様に、応力 σ、ヤング率 E、ひずみ ε（無次元）の観点から見ると、次のようになります。

${\displaystyle \sigma =E\,\varepsilon }$

一般的に、固体を変形させる力は、材料の表面に対して垂直（法線力）または接線（せん断力）であり、これは応力テンソルを使用して数学的に記述できます。

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}}$

ここで、Cは弾性テンソル、Sはコンプライアンステンソルです。

固体変形

弾性材料の変形にはいくつかの種類がある。^[4]

プラスチック

応力（または弾性ひずみ）が降伏点と呼ばれる臨界値に達すると、加えられた力によって材料に回復不可能な変形が生じます。

弾性

材料は変形後に元の形状に戻ります。

粘弾性

時間依存の抵抗寄与が大きく、無視できない場合。ゴムやプラスチックはこの特性を有し、フックの法則を満たさないことは明らかです。実際には、弾性ヒステリシスが発生します。

非弾性

材料が弾性に近いにもかかわらず、加えられた力が時間依存の抵抗力（つまり、伸長／圧縮に加えて、伸長／圧縮の変化率に依存する）を付加する場合。金属やセラミックスにもこの特性がありますが、通常は無視できる程度です。ただし、摩擦による発熱（機械の振動やせん断応力など）が発生する場合は、その影響は大きくなります。

超弾性

加えられた力は、ひずみエネルギー密度関数に従って材料に変位を引き起こします。

衝突

物体Aが別の物体Bと衝突した後の相対的な分離速度vは_、ニュートンの実験的衝突法則によって定義される反発係数によって接近速度vと関連している_：[ 5 ^]

${\displaystyle e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{separation}}}{|\mathbf {v} |_{\text{approach}}}}}$

これはAとBの材質に依存します。衝突はAとBの表面での相互作用を伴うためです。通常は0 ≤ e ≤ 1で、完全に弾性的な衝突の場合はe = 1 、完全に非弾性的な衝突の場合はe = 0となります。超弾性衝突（または爆発的な衝突） の場合は、 e ≥ 1 となることもあります。

流体の変形

抗力方程式は、断面積Aの物体が密度ρの流体中を速度v（流体に対して） で移動するときの抗力 Dを与える。

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}}$

ここで、抗力係数（無次元）c _{d は}、物体の形状と、流体と物体の界面における抗力に依存します。

粘度μのニュートン流体の場合、せん断応力τはひずみ速度（横方向の流速勾配） ∂ u /∂ y（単位s ⁻¹ ）と直線関係にある。一様せん断流では、

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},}$

ここで、u ( y )は、横方向（横断方向）yにおける流速uの変化である。一般に、ニュートン流体の場合、せん断応力テンソルの要素τ _ijと流体の変形との関係は次式で表される。

${\displaystyle \tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)}$  と​  ${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$    ${\displaystyle \Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,}$

ここで、_viは_対応するxi座標方向の流速ベクトルの成分、 eij_はひずみ速度テンソルの成分、Δは体積ひずみ速度（または膨張率）、δij_はクロネッカーデルタである。^[6]

理想気体の法則は、圧力pと体積Vが気体のモル数nを介して温度Tと関係しているという意味で構成関係です。

${\displaystyle pV=nRT}$

ここでRは気体定数（J⋅K ⁻¹ ⋅mol ⁻¹）である。

電磁気

電磁気学および関連分野における構成方程式

古典物理学と量子物理学の両方において、システムの精密なダイナミクスは、一連の結合 微分方程式として表されます。これらの方程式は、統計力学のレベルでさえ、ほとんどの場合、厳密に解くには複雑すぎます。電磁気学の文脈では、このことは、自由電荷と自由電流のダイナミクス（マクスウェル方程式に直接組み込まれる）だけでなく、束縛電荷と束縛電流のダイナミクス（構成関係を通してマクスウェル方程式に組み込まれる）にも当てはまります。その結果、様々な近似スキームが一般的に用いられます。

例えば、現実の物質では、電荷の時間的・空間的応答を決定するために、ボルツマン方程式、フォッカー・プランク方程式、ナビエ・ストークス方程式といった複雑な輸送方程式を解かなければなりません。例えば、磁気流体力学、流体力学、電気流体力学、超伝導、プラズマモデリングなどを参照してください。これらの問題を扱うための物理的な装置全体が開発されています。例えば、線形応答理論、グリーン・久保関係、グリーン関数（多体理論）などを参照してください。

これらの複雑な理論は、誘電率、透磁率、導電率など、さまざまな材料の電気的応答を記述する構成関係の詳細な式を提供します。

電磁気学における計算（すなわちマクスウェルの巨視的方程式の適用）を行う前に、変位場 DとE、および磁場 HとBの関係を明確にする必要があります。これらの方程式は、印加された磁場に対する束縛電荷と電流の応答を規定するものであり、構成関係と呼ばれます。

補助フィールドDとHおよびEとBフィールド間の構成関係を決定するには、補助フィールド自体の定義から始まります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$

ここで、Pは分極場、Mは磁化場であり、それぞれ微視的な束縛電荷と束縛電流によって定義されます。MとPの計算方法を説明する前に、以下の特殊なケースを検討しておくと便利です。

磁性材料や誘電体なし

磁性体や誘電体が存在しない場合は、構成関係は単純です。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}$

ここで、ε ₀とμ _{0はそれぞれ}自由空間の誘電率と自由空間の透磁率と呼ばれる2つの普遍定数です。

等方性線形材料

（等方性^[7]）線形材料において、PはEに比例し、MはBに比例する場合、構成関係も単純化されます。分極Pと磁化Mの観点から見ると、それらは以下の通りです。

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}$

ここで、χ _eとχ _{mはそれぞれ与えられた物質の}電気感受性と磁気感受性である。DとHに関して、構成関係は以下の通りである。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,}$

ここで、εとμは定数（材料によって異なる）で、それぞれ誘電率と透磁率と呼ばれます。これらは磁化率と以下の関係があります。

${\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=\chi _{m}+1}$

一般的なケース

現実世界の物質では、構成関係は近似値を除き線形ではありません。第一原理から構成関係を計算するには、与えられたEとBからPとMがどのように生成されるかを決定する必要があります。^{[注 1]}これらの関係は、経験的（測定結果に直接基づく）なもの、または理論的（統計力学、輸送理論、あるいは凝縮系物理学の他のツールに基づくもの）な場合があります。用いられる詳細は、検討対象の問題に必要なレベルに応じて、巨視的または微視的になります。

一般に、構成関係は通常、次のように記述できます。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B} }$

しかし、εとμは一般に単純な定数ではなく、E、B、位置、時間の関数であり、テンソルの性質を持ちます。例を以下に示します。

• εとμが周波数の関数である分散と吸収。（因果律上、物質が非分散性を持つことは許されない。例えば、クラマース・クローニッヒの関係を参照。）場は同位相である必要もないため、 εとμは複素数となる。これもまた吸収につながる。
• 非線形性。ここで、 εとμはEとBの関数です。
• εとμが2階テンソルであるときに発生する異方性（複屈折や二色性など） $${\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.}$$
• PとMが他の場所や時間におけるEとBに依存すること。これは空間的不均一性によるものと考えられます。例えばドメイン構造、ヘテロ構造、液晶などの場合、あるいは最も一般的な状況では、複数の材料が異なる空間領域を占めている場合です。あるいは、時間によって変化する媒体やヒステリシスが原因となることもあります。このような場合、PとMは次のように計算できます。^{[8] [9]ここで、誘電率と透磁率の関数は、より一般的な}電気感受性と磁気感受性 の積分に置き換えられます。^{[10]均質な材料では、他の場所への依存性は}空間分散 として知られています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}}$$

これらの例のバリエーションとして、一般に材料は双異方性を持ち、DとBは追加の結合定数ξとζを介してEとHの両方に依存します。^[11]

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}$

実際には、特定の状況下では材料特性の影響が無視できる場合があり、小さな影響は無視できます。例えば、光非線形性は電界強度が低い場合には無視できます。材料の分散は、周波数が狭い帯域幅に制限されている場合には重要ではありません。材料が透明な波長では、材料の吸収は無視できます。また、有限の導電率を持つ金属は、マイクロ波以上の波長では、無限の導電率を持つ完全な金属（表皮電場の浸透深度がゼロの硬いバリアを形成する） として近似されることがよくあります。

メタマテリアルやフォトニック結晶などの一部の人工材料は、カスタマイズされた誘電率と透過率を持つように設計されています。

構成関係の計算

物質の構成方程式の理論計算は、理論凝縮物理学および材料科学において一般的かつ重要であり、時に困難な課題です。一般的に、構成方程式は、分子がローレンツ力を通じて局所場にどのように反応するかを計算することで理論的に決定されます。結晶中の格子振動や結合力など、他の力もモデル化する必要があるかもしれません。すべての力を考慮に入れることで分子に変化が生じ、それを用いて局所場の関数としてPとMを計算します。

局所的な磁場は、近傍の物質の分極と磁化によって生じる磁場によって印加磁場と異なるため、この効果もモデル化する必要がある。さらに、現実の物質は連続媒体ではなく、局所的な磁場は原子スケールで大きく変化する。連続体近似を形成するには、適切な体積にわたって磁場を平均化する必要がある。

これらの連続体近似は、しばしば凝縮系物理学に応用される量子場理論などの量子力学的解析を必要とする。例えば、密度汎関数理論、グリーン・久保関係、グリーン関数などを参照のこと。

異なる均質化手法（集塊物や積層体などの材料を扱う際の伝統から発展したもの）は、不均質材料を均質な有効媒質で近似することに基づいています^{[12] [13]} （不均質性のスケールよりもはるかに大きな波長の励起に有効）。 ^{[14] [15] [16] [17]}

多くの現実の物質の連続体近似特性の理論的モデル化は、しばしば実験測定にも依存する。^[18]例えば、低周波での絶縁体のεは平行板コンデンサにすることで測定でき、可視光周波数でのεはエリプソメトリーで測定されることが多い。

物質の熱電特性と電磁気特性

これらの構成方程式は固体物理学の分野である結晶学でよく使われる。^[19]

固体の電磁気的性質

特性/効果	システムの刺激/反応パラメータ	システムの構成テンソル	方程式
ホール効果	E ,電界強度(N⋅C −1 ) J、電流密度（A⋅m −2） H ,磁場強度(A⋅m −1 )	ρ、電気抵抗率（Ω⋅m）	${\displaystyle E_{k}=\rho _{kij}J_{i}H_{j}}$
直接圧電効果	σ , 応力 (Pa) P、（誘電）分極（C⋅m −2）	d、直接圧電係数 (C⋅N −1 )	${\displaystyle P_{i}=d_{ijk}\sigma _{jk}}$
逆圧電効果	ε、ひずみ（無次元） E , 電界強度 (N⋅C −1 )	d、直接圧電係数 (C⋅N −1 )	${\displaystyle \varepsilon _{ij}=d_{ijk}E_{k}}$
圧電効果	σ , 応力 (Pa) M、磁化（A⋅m −1）	q、圧電係数（A⋅N −1 ⋅m）	${\displaystyle M_{i}=q_{ijk}\sigma _{jk}}$

固体の熱電特性

特性/効果	システムの刺激/反応パラメータ	システムの構成テンソル	方程式
焦電性	P、（誘電）分極（C⋅m −2） T、温度（K）	p、焦電係数（C⋅m −2 ⋅K −1）	${\displaystyle \Delta P_{j}=p_{j}\Delta T}$
電気熱量効果	S、エントロピー(J⋅K −1 ) E , 電界強度 (N⋅C −1 )	p、焦電係数（C⋅m −2 ⋅K −1）	${\displaystyle \Delta S=p_{i}\Delta E_{i}}$
ゼーベック効果	E、電界強度（N⋅C −1 = V⋅m −1） T、温度（K） x、変位（m）	β、熱起電力（V⋅K −1）	${\displaystyle E_{i}=-\beta _{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}}$
ペルチェ効果	E , 電界強度 (N⋅C −1 ) J、電流密度（A⋅m −2） q ,熱流束(W⋅m −2 )	Π、ペルチェ係数 (W⋅A −1 )	${\displaystyle q_{j}=\Pi _{ji}J_{i}}$

フォトニクス

屈折率

媒質の（絶対）屈折率n （無次元）は、幾何光学および物理光学の本質的に重要な特性であり、真空中の光速c ₀と媒質中の光速cの比として定義されます。

${\displaystyle n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}}$

ここで、 εは媒質の誘電率、ε _{r は比誘電率、同様に}μは透磁率、μ _rは媒質の比透磁率です。真空の誘電率はε ₀、真空の透磁率はμ ₀です。一般に、n（ε _rも）は複素数です。

相対屈折率は、2つの屈折率の比として定義されます。絶対屈折率は1つの物質に適用されるのに対し、相対屈折率はあらゆる界面の組み合わせに適用されます。

${\displaystyle n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}}$

光の速度物質的に

定義の結果として、物質中の光の速度は

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}}$

真空の特殊な場合。ε = ε ₀およびμ = μ ₀、

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$

圧電効果

圧電効果は固体の応力σと誘電不浸透性aを関連づけており、これらは圧電係数 Π (単位 K ⁻¹ )と呼ばれる 4 階テンソルによって結合されています。

${\displaystyle a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}}$

輸送現象

定義

定義（物質の熱的性質）

数量（一般名）	（共通）シンボル	定義式	SI単位	寸法
一般的な熱容量	C、物質の熱容量	${\displaystyle q=CT}$	J⋅K −1	[M][L] 2 [T] −2 [Θ] −1
線熱膨張係数	L、材料の長さ（m） α、線熱膨張係数（無次元） ε、ひずみテンソル（無次元）	${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial T}}=\alpha L}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\alpha _{ij}\Delta T}$	K −1	[Θ] −1
体積熱膨張係数	β、γ V、物体の体積（m 3） p、周囲の一定圧力	${\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=\gamma V}$	K −1	[Θ] −1
熱伝導率	κ、K、λ、 q、材料を通過する熱流束（W/m 2） ∇ T、物質内の温度勾配（K⋅m −1）	${\displaystyle \lambda =-{\frac {\mathbf {q} }{\nabla T}}}$	W⋅m −1 ⋅K −1	[M][L][T] −3 [Θ] −1
熱伝導率	あなた	${\displaystyle U={\frac {\lambda }{\delta x}}}$	W⋅m −2 ⋅K −1	[M][T] −3 [Θ] −1
熱抵抗	R Δ x、熱伝達の変位（m）	${\displaystyle R={\frac {1}{U}}={\frac {\Delta x}{\lambda }}}$	m 2 ⋅K⋅W −1	[M] −1 [L][T] 3 [Θ]

定義（物質の電気的/磁気的性質）

数量（一般名）	（共通）シンボル	定義式	SI単位	寸法
電気抵抗	R	${\displaystyle R={\frac {V}{I}}}$	Ω、V⋅A −1 = J⋅s⋅C −2	[M][L] 2 [T] −3 [I] −2
抵抗率	ρ	${\displaystyle \rho ={\frac {RA}{l}}}$	Ω⋅m	[M] 2 [L] 2 [T] −3 [I] −2
抵抗温度係数、線形温度依存性	α	${\displaystyle \rho -\rho _{0}=\rho _{0}\alpha (T-T_{0})}$	K −1	[Θ] −1
電気伝導性	G	${\displaystyle G={\frac {1}{R}}}$	S = Ω −1	[M] −1 [L] −2 [T] 3 [I] 2
電気伝導性	σ	${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}}$	Ω −1 ⋅m −1	[M] −2 [L] −2 [T] 3 [I] 2
磁気抵抗	R、R m、 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$	${\displaystyle R_{\text{m}}={\frac {\mathcal {M}}{\Phi _{B}}}}$	A⋅Wb −1 = H −1	[M] −1 [L] −2 [T] 2
磁気パーミアンス	P、P m、Λ、 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$	${\displaystyle \Lambda ={\frac {1}{R_{\text{m}}}}}$	Wb⋅A −1 = H	[M][L] 2 [T] −2

決定的な法律

物質の移動、あるいはその性質をほぼ同一の方法で記述する法則がいくつかあります。いずれの場合も、言葉で表すと次のようになります。

流束（密度）は勾配に比例し、比例定数は物質の特性です。

一般に、物質の方向依存性を考慮するには、定数を 2 階テンソルに置き換える必要があります。

特性/効果	命名法	方程式
フィックの拡散の法則は、拡散係数Dを定義する。	D、質量拡散係数（m 2 ⋅s −1） J、物質の拡散流束（モル⋅m −2 ⋅s −1） ∂ C /∂ x、（1d）物質の濃度勾配（mol⋅dm −4）	${\displaystyle J_{i}=-D_{ij}{\frac {\partial C}{\partial x_{j}}}}$
多孔質媒体における流体の流れに関するダルシーの法則は、透過率κを定義する。	κ、媒体の透水性（m 2） μ、流体粘度（Pa⋅s） q、物質の排出フラックス（m⋅s −1） ∂ P /∂ x、（1d）系の圧力勾配（Pa⋅m −1）	${\displaystyle q_{j}=-{\frac {\kappa }{\mu }}{\frac {\partial P}{\partial x_{j}}}}$
オームの電気伝導の法則は、電気伝導率（および抵抗率と抵抗）を定義します。	V、物質の電位差（V） I、物質を流れる電流（A） R、材料の抵抗（Ω） ∂ V /∂ x、物質を通る電位勾配（電場）（V⋅m −1） J、物質を流れる電流密度（A⋅m −2） σ、物質の電気伝導率（Ω −1 ⋅m −1） ρ、材料の電気抵抗率（Ω⋅m）	最も単純な形式は次のとおりです。 ${\displaystyle V=IR}$ より一般的な形式は次のとおりです。 ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}=\rho _{ji}J_{i}\,\rightleftharpoons \,J_{i}=\sigma _{ij}{\frac {\partial V}{\partial x_{j}}}}$
フーリエの熱伝導の法則は、熱伝導率 λを定義する。	λ、物質の熱伝導率（W⋅m −1 ⋅K −1） q ,物質を通過する熱流束(W⋅m −2 ) ∂ T /∂ x、物質内の温度勾配（K⋅m −1）	${\displaystyle q_{i}=-\lambda _{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}}$
黒体放射のシュテファン・ボルツマンの法則は、放射率εを定義する。	I ,放射強度(W⋅m −2 ) σ、ステファン・ボルツマン定数(W⋅m −2 ⋅K −4 ) T sys、放射システムの温度（K） テキスト、外部環境の温度（ K） ε、放射率（無次元）	ラジエーター1台の場合: ${\displaystyle I=\varepsilon \sigma T^{4}}$ 温度差について ${\displaystyle I=\varepsilon \sigma \left(T_{\text{ext}}^{4}-T_{\text{sys}}^{4}\right)}$ 0 ≤ ε ≤ 1; 0 は完全反射体、1 は完全吸収体（真の黒体）

参照

• 定義式（物理化学）
• 支配方程式
• 物質的客観性の原則
• レオロジー

注記

1. 自由電荷と電流はローレンツ力の法則に従って電場に応答し、この応答は力学を用いて基礎レベルで計算されます。束縛電荷と電流の応答は、 磁化と分極の概念に包含されるより大まかな手法を用いて扱われます。問題によっては、自由電荷を全く与えないという選択もできます。

参考文献

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2. Truesdellの記述はTruesdell The naturalization and apotheosis of Walter Nollを参照。また、Nollの記述と両著者による古典的論文も参照：Truesdell, Clifford; Noll, Walter (2004). "Preface" (Originally published as Volume III/3 of the 1965 Encyclopedia of Physics ) . Antman, Stuart S. (ed.). The Non-linear Field Theories of Mechanics (3rd ed.). Springer. p. xiii. ISBN 3-540-02779-3。
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7. 非等方性材料への一般化は簡単です。定数をテンソル量に置き換えるだけです。
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10. ここで使用されている「磁化率」という用語はBに関するものであり、 Hに関する標準的な定義とは異なることに注意してください。
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