接触形状

数学において、 接触幾何学は、接束上の超平面分布によって与えられる滑らかな多様体上の幾何学的構造を研究する学問であり、この超平面分布は「完全非積分性」と呼ばれる条件を満たす。同様に、そのような分布は（少なくとも局所的には）微分1形式の核として与えられ、非積分性条件はその形式上の最大非退化条件へと変換される。これらの条件は、超平面分布の「完全積分性」に関する2つの同値な条件、すなわち、超平面分布が多様体上の余次元1の葉理に接することと逆の関係にあり、その同値性はフロベニウスの定理の内容となる。

接触幾何学は、多くの点で、特定の偶数次元多様体上の構造であるシンプレクティック幾何学の奇数次元版と言える。接触幾何学とシンプレクティック幾何学はどちらも古典力学の数学的形式主義に着想を得ており、古典力学では、機械系の偶数次元位相空間、あるいは余次元が1であるため奇数次元となる定エネルギー超曲面のいずれかを考えることができる。

数学的定式化

接触構造

次元の滑らかな多様体と点が与えられたとき、の接触元（接触点）はにおけるへの接空間の次元線型部分空間である。次元の奇数次元多様体上の接触構造は、で表される接触元の滑らかな分布であり、各点において（が最大限に非積分であるという意味で）ジェネリックである。接触多様体とは、接触構造を備えた滑らかな多様体である。^[1]^[2] $n$ $M$ $p\in M$ $M$ $p$ $n-1$ $M$ $p$ $M$ $2n+1$ $\xi$

非零の滑らかな関数との乗算による曖昧さのため、のすべての接触要素の空間は、余接バンドルの商（零セクションを除去）と同一視することができる。すなわち、の場合、^[1]であり、である。 $M$ $T^{*}M$ $0_{M}$ $\mathrm {PT} ^{*}M=(T^{*}M\setminus 0_{M})/{\sim }$ $\omega _{i}\in T_{p}^{*}M$ $\omega _{1}\sim \omega _{2}\iff \exists \,\lambda \neq 0$ $\omega _{1}=\lambda \omega _{2}$

同様に、接触構造は、の- 番目の接触束であるの完全に積分不可能なセクションとして定義できます。 $C_{2n}M$ $2n$ $M$

ダルブーの定理によれば、同次元の接触構造はすべて局所微分同相である。したがって、リーマン幾何学の場合とは異なり、シンプレクティック幾何学と同様に、接触幾何学の局所理論は自明であり、角度や曲率の類似は存在しない。しかし、大域理論は非自明であり、大域的に同値でない接触構造が存在する。

お問い合わせフォーム

ベクトル場や共ベクトル場（すなわち1-形式）とは異なり、接触構造はサイズや共方向といった本質的な意味を持ちません。この意味で、接触構造はパラメータ化されていない無限小曲面の空間として解釈できます。これは、接束が時間パラメータ化された無限小曲線の空間として解釈できるのとよく似ています。

接触形式とは、大きさと向きの本質的な意味を与える1次元形式である。すなわち、余接束の滑らかな切断である。積分不可能条件は外積分法によって明示的に与えられる。^[1] $\alpha$

\alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}\neq 0\ {\text{where}}\ ({\text{d}}\alpha )^{n}=\underbrace {{\text{d}}\alpha \wedge \ldots \wedge {\text{d}}\alpha } _{n{\text{-times}}}.

任意の非零の滑らかな関数が与えられた場合、は同じ接触構造を与えることに注意してください。大きさの曖昧さを吸収するために、任意の滑らかなに対してすべてのの集合を考えることができます。これは上のすべての1-形式のイデアルを構成し、接触イデアルと呼ばれます。 $f$ $f\alpha$ $f\alpha$ $M\to \mathbb {R}$ $M$

ダルブーの定理によれば、任意の点の周りには、となる座標系を持つ近傍が存在する。このような座標はダルブー座標と呼ばれる。この意味で、接触幾何学は安定な分布である。なぜなら、局所微分同相写像を除いて、それらはすべて同じだからである。 $(z,x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})$ $\alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}$

$\alpha$ は大域的に定義される必要はありません。実際、位相的な障害のために大域的に定義できない場合もあります。一つの障害は、が大域的に定義されている場合、は体積形式となり、したがっては向き付け可能であるということです。したがって、が向き付け可能でない場合、は大域的に定義できません。もう一つの障害は、共向き可能性です。 $\alpha$ $\alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}$ $M$ $M$ $\alpha$

方向付け

接触構造が共配向可能であるとは、各接触要素の「正」側が大域的に選択可能である場合に限られる。つまり、接触形式は、余接束におけるゼロでない切断として大域的に定義できる。この場合、は、非零の滑らかな関数による乗算を除いて、一意に定義される。共配向は、直線束の大域的な非零切断として定義できる。 $\alpha$ $T^{*}M$ $\alpha$ $TM/\ker \alpha$

接触構造が共方向付け可能であるためには、それが自明であり、コホモロジーも自明であり、より具体的には最初のスティフェル・ホイットニー類が自明である必要があります。 $TM/\ker \alpha \cong M\times \mathbb {R}$

非積分性

となるため、フロベニウスの可積分定理は接触場ξが完全に非積分であることを意味する。実際、接触構造は完全に非積分な超関数として定義される。M には、局所的にも接空間が ξ と一致する超曲面は存在しない。実際、kより大きい次元の部分多様体で、接空間がξに含まれるものは存在しない。この k 次元の極限を満たす部分多様体はルジャンドリアン部分多様体である。 $\alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}\neq 0$

3次元多様体においては、その上の接触構造の幾何学的特徴付けが存在する。3次元多様体における平面要素の分布が接触構造となる場合、任意の埋め込み面上の任意の点において、と間の接触が高々1次となる。^[3]^{: Thm. 1.6.2} ${\mathcal {D}}$ $p$ $\Sigma$ $p$ $\Sigma$ ${\mathcal {D}}$

によって定義される最大非積分性は、の成分の導関数に関する非一般的な代数方程式であるため、超関数の一般的な性質と考えることができる。この観点は、なぜそれが安定な超関数であるかを説明する。 $\alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}\neq 0$ $\alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}\neq 0$ $\alpha$

非積分性に関するもう一つの視点は、チャウ＝ラシェフスキー連結定理である。これは、接触多様体内の任意の2点は、接触構造に接する滑らかな曲線で連結できるというものである。この定理は、理論熱力学、特にカルノーサイクルの言語を用いて、リーマン多様体以下の領域にも一般化されている。[ ^4]

もう一つの視点は、超関数のリー代数を通してです。超関数には最大で個のベクトル場が存在し、それらはを生成しません。 $n$ $v_{1},\dots ,v_{n}$

例

標準的な接触構造

における標準的な接触構造は、座標が( x , y , z )の1形式dz − y dxである。点( x , y , z )における接触面ξは、ベクトルX ₁ = ∂ _yとX ₂ = ∂ _x + y ∂ _zによって張られる。 $\mathbb {R} ^{3}$

これらの平面はy軸に沿ってねじれているように見えます。これは積分不可能であり、x - y平面に無限小の正方形を描き、1形式に沿った経路を辿ることで確認できます。経路は1周した後、同じz座標に戻ることはありません。これはChow-Rashevskiiの連結定理の一例です。

この例は任意のに一般化されます。その標準接触構造はです。これは標準です。なぜなら、ダルブーの定理によれば、任意の接触構造は局所的には標準の接触構造と同じだからです。 $\mathbb {R} ^{2n+1}$ $\theta :=dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}$

球面上の標準的な接触構造

任意のnが与えられたとき、 (2n-1) -球面上の標準接触形式は、上のリウヴィル1-形式を単位球面上へ制限することによって得られる。同様に、上のリウヴィル1-形式によっても得られる。ここではの乗算、すなわち上の標準複素構造である。 $\mathbb {S} ^{2n-1}$ $\lambda =\Sigma _{i}\left(x_{i}dy_{i}-y_{i}dx_{i}\right)$ $\mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\Sigma _{j}z_{j}d{\bar {z}}_{j}-{\bar {z}}_{j}dz_{j}=dr\circ J$ $J$ $i$ $\mathbb {C} ^{n}$

レーブベクトル場はであり、ホップファイバを生成します。 $\Sigma _{j=1}^{n}\left(x_{j}\partial _{y_{j}}+y_{j}\partial _{x_{j}}\right)=\Sigma _{j=1}^{n}\left(z_{j}\partial _{z_{j}}+{\bar {z}}_{j}\partial _{{\bar {z}}_{j}}\right)$

同様に、上の標準的なシンプレクティック構造を考えてみましょう。各1次元部分空間は等方性であり、それを含む相補共等方性部分空間を持ちます。に射影すると、内の各点は、その点を含む相補平面を持ちます。この平面の分布は、上の標準的な接触構造と同型です。 $\omega =\Sigma _{i}dx_{i}\wedge dy_{i}$ $\mathbb {R} ^{2n}$ $V$ $V^{\omega }$ $\mathbb {P} (\mathbb {R} ^{2n})$ $\mathbb {P} (\mathbb {R} ^{2n})$ $\mathbb {S} ^{2n-1}$

ワンジェット

次元の多様体が与えられたとき、一ジェット空間は、 1次接触まで同一視される型の芽の空間である。直感的に、内の各点はの無限小近傍からへの写像である。空間の各要素は3つの量で同一視できるため、は次元の多様体であり、と同一視できる。これは、同義的1-形式によって与えられる自然な接触形式を持つ。標準的な接触構造は、の特別な場合である。 $M$ $n$ $J^{1}(M,\mathbb {R} )$ $M\to \mathbb {R}$ $J^{1}(M,\mathbb {R} )$ $M$ $\mathbb {R}$ $x\in M,f(x)\in \mathbb {R} ,\nabla f(x)\in T_{x}^{*}M$ $J^{1}(M,\mathbb {R} )$ $2n+1$ $T^{*}M\times \mathbb {R}$ $\alpha =df-\theta$ $\theta =\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}$ $M=\mathbb {R} ^{n}$

すると、任意の第一微分可能関数は内のルジャンドゥリアン部分多様体へ一意に持ち上げられ、逆に任意のルジャンドゥリアン部分多様体は第一微分可能関数の持ち上げとなる。そのへの射影は関数のグラフである。これはまた、が以下で定義される超平面元の接触束に埋め込まれることも示している。^[5]^{: 311} $M\to \mathbb {R}$ $J^{1}(M,\mathbb {R} )$ $M\to \mathbb {R}$ $M\times \mathbb {R}$ $J^{1}(M,\mathbb {R} )$ $C_{n}(M\times \mathbb {R} )$

超平面要素の接触束

次元の多様体に対して、そのn番目の接触束はそのn次元接触元の束である。より抽象的に言えば、これは射影化された余接束である。を局所的に座標で展開すると、接触束は局所的に座標を持つ。ここで、射影座標が用いられる。の任意のn部分多様体は、のn部分多様体に一意に持ち上げられる。逆に、のn部分多様体がのn部分多様体の持ち上げである場合、それは 1 形式を消滅させる場合である。の部分集合において、条件はとなり、これが標準的な接触構造である。 $M$ $n+1$ $C_{n}M$ $C_{n}(M)\cong \mathbb {P} (T^{*}M)$ $M$ $q^{0},\dots ,q^{n}$ $(q^{0},\dots ,q^{n},[p_{0},\dots ,p_{n}])$ $p_{0},\dots ,p_{n}$ $M$ $C_{n}M$ $C_{n}(M)$ $M$ $\Sigma _{\mu =0}^{n}p_{\mu }dq^{\mu }$ $p_{0}\neq 0$ $dq^{0}+\Sigma _{i=1}^{n}p_{i}dq^{i}$

同様に、共方向超平面要素の接触束は、余接束を球面化することによって、つまりのみで割ることによって得られます。 $C_{n}(M)^{+}\cong \mathbb {S} (T^{*}M)$ $\mathbb {R} ^{+}$

上の接触構造は座標フリーで記述することもできる。を超平面要素をその基点に写すファイバー投影と定義する。すると、任意のに対して、局所接線ベクトルは基点の並進と超平面要素の回転を同時に行う。すると、がにおける超超平面内にある場合、それはが自身の超平面要素内にある場合と同じである。言い換えれば、における -次元超超平面は、内の基点の並進と、基点を変えずに超平面要素を回転させることによって張られる。^[5]^{: 311} $C_{n}(M)$ $\pi :C_{n}(M)\to M$ $\xi \in C_{n}(M)$ $v\in T_{\xi }C_{1}(M)$ $v$ $\xi$ $\pi (v)$ $\xi$ $2n$ $\xi$ $\xi$

ここで、超平面の2つの意味に注意してください。上の超平面元は、における無限小次元n の超平面です。これらは接触多様体の点です。の接触構造はにおける超平面元で構成され、これらはにおける無限小次元 2 n の超平面です。の接触構造は上には存在しません。は偶数次元を持つことができますが、は必然的に奇数次元を持ちます。 $M$ $M$ $C_{n}(M)$ $C_{n}(M)$ $C_{n}(M)$ $C_{n}(M)$ $M$ $C_{n}(M)$

のとき、は平面上の線分の接触束であり、は平面と射影 1-空間の直積に同相である。の接触構造は、平面要素が「垂直」方向に沿って動いているときに軸を中心に回転し、を 1 周すると 180° 回転するように見える。の標準的な接触構造は、写像を介して誘導できる。同様に、上の接触構造は、無限遠で接着することによって構築できる。しかし、上の接触構造は共線的であるのに対し、上の接触構造は共線的ではない。これはが共線的ではないためである。はで二重被覆することができ、も共線的である。^[3]^{: 8}平面上の円はではらせん状に持ち上げられるが、では二重らせん状に持ち上げられる。 $M=\mathbb {R} ^{2}$ $C_{1}M$ $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})$ $C_{1}(M)$ $\mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})$ $\mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})$ $C_{1}(M)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $C_{1}(M)$ $\mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})$ $C_{1}(M)^{+}\cong \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$ $C_{1}(M)^{+}$ $C_{1}(M)$

その他

1950年代までは、接触多様体は上記のものだけでしたが、1958年にブースビーとワンが接触化による一般的な構成を行いました。^[6]

佐々木多様体は接触多様体です。

ブリースコルン多様体はによって定義されます。ここでは自然数であり、はの単位球面です。ブリースコルン多様体はによって定義される接触構造を持ちます。 $\Sigma \left(a_{0},\ldots ,a_{n}\right)=\left\{\left(z_{0},\ldots ,z_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n+1}\mid z_{0}^{a_{0}}+\cdots +z_{n}^{a_{n}}=0\right\}\cap S^{2n+1}$ ${\textstyle a_{j}}$ ${\textstyle \geq 2}$ ${\textstyle \mathbb {S} ^{2n+1}}$ ${\textstyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\textstyle {\frac {i}{2}}\Sigma _{j=0}^{n}\left(z_{j}d{\bar {z}}_{j}-{\bar {z}}_{j}dz_{j}\right)=0}$

連結なコンパクト有向三次元多様体はすべて接触構造を持つ。 ^[7]この結果は任意のコンパクトほぼ接触多様体にも一般化される。^[8]

コンタクト変換

接触変換（または接触同相写像）は、2つの接触多様体間の接触構造を保存する微分同相写像です。接触対称性は、接触多様体からそれ自身への接触変換です。

とを接触形式を備えた2つの多様体とする。微分同相写像が接触変換である場合、それは、となるような、どこにも零でない何かが存在する場合に限る。そうであれば、それは厳密な接触変換である。厳密な接触変換の概念は、接触形式の特定の選択に依存し、同等ではない選択が存在することに注意されたい。したがって、「厳密な接触変換」は接触構造間には存在せず、接触形式間にのみ存在する。 $(M,\alpha )$ $(M',\alpha ')$ $f:M\to M'$ $\tau :M\to \mathbb {R}$ $f^{*}\alpha '=\tau \alpha$ $\tau =1$

上の厳密な微小接触対称性は、となるベクトル場である。ここではリー微分である。微小接触対称性は、接触多様体上のベクトル場であり、 1パラメータの接触対称性族を生成する。同様に、超平面分布がであるとき、あるに対して条件が成立する。^[3]^{：Lem. 1.5.8} $(M,\alpha )$ $V$ ${\mathcal {L}}_{V}\alpha =0$ ${\mathcal {L}}$ $V$ $\ker \alpha$ ${\mathcal {L}}_{V}\alpha =\tau \alpha$ $\tau :M\to \mathbb {R}$

例

射影幾何学

平面上の円錐曲線が与えられた場合、極往復演算は、平面上の線分の接触多様体の反転接触変換である。点と線分を交換するため平面の全単射ではないが、線分の要素を交換するため接触多様体の全単射である。言い換えれば、点を通る線分要素が与えられた場合、その線分要素は点を通る線分要素に写像される。ここで、はに対して極であり、はに対して極である。曲線は接線要素の連続に分解され、それらは別の線分要素の連続に写像される。この演算は、包絡線と軌跡を交換する。特に、ある点で接触している2つの非線形曲線は、往復後も接触を維持する。これが「接触変換」という名称の由来である。^[9]^：第1.3節 $C(\mathbb {R} ^{2})$ $l$ $P$ $l'$ $P'$ $l'$ $P$ $P'$ $l$

同様に、リー球面幾何学における直線球面対応やその他の変換は接触変換です。直線には点があり、球面にも点がありますが、どちらも微小平面を持ちます。実際、これらはリーが考察した最も初期の変換の一部でした。 $\infty ^{1}$ $\infty ^{2}$ $\infty ^{2}$

ルジャンドル変換

標準接触構造が与えられ、その座標を接触形式となるように定義すると、ルジャンドル変換は厳密な接触変換となる。これは、シンプレクティック空間の線型シンプレクティック回転を接触持ち上げることによって得られる。この回転は、シンプレクティック空間上の標準線型複素構造のi倍に等しい。平面において、曲線とその双対を交換する。 $\mathbb {R} ^{2n+1}$ $(W,q^{1},\dots ,q^{n},p_{1},\dots ,p_{n})$ $dW-p_{i}dq^{i}$ $(W,q,p)\mapsto (W-p_{i}q^{i},p,-q)$ $(q,p)\mapsto (p,-q)$

微分可能関数はルジャンドル部分多様体に一意に持ち上げることができ、任意の接触同相写像はルジャンドル部分多様体を保存するため、関数自体にルジャンドル変換を定義します。 $F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $F$

より一般的には、任意の多様体上の任意の微分可能実数値関数は、一ジェット空間上の任意の接触同相写像を用いて変換できる。特に、これは任意の多様体に対するルジャンドル変換を定義する。 $M$ $J^{1}(M,\mathbb {R} )$

標準変換

座標を持つ多様体が与えられ、その位相空間上のトートロジー一形式を、位相空間上のシンプレクティック形式をそれぞれとします。座標を持つを1次元まで拡張すると、接触形式を持つ接触多様体が得られます。これは、時間独立ハミルトン力学におけるハミルトン・ヤコビ方程式の持ち上げとして解釈でき、はハミルトンの特性関数です。によって生成される正準変換はを満たし、によって接触変換に持ち上げられます。 $M$ $(q^{1},\dots ,q^{n})$ $\theta =p_{i}dq^{i}$ $P=T^{*}M$ $\omega =dp_{i}\wedge dq^{i}=d\theta$ $\mathbb {R} \times P$ $(W,q^{1},\dots ,q^{n},p_{1},\dots ,p_{n})$ $dW-\theta$ $W$ $\Phi :P\to P$ $F:P\to \mathbb {R}$ $\Phi ^{*}\theta =\theta +dF$ ${\hat {\Phi }}:\mathbb {R} \times P\to \mathbb {R} \times P$ ${\hat {\Phi }}(W,q,p)=(W+F(q,p),\Phi (q,p))$

その他

任意の接触形式が与えられた場合、それに対応するレーブベクトル場は厳密な無限小接触対称性であり、レーブフローは1パラメータ接触対称性の族である。コデシックフローはその一例である。

奇数次元球面上の標準接触形式の場合、そのレーブフローはホップファイバを生成します。

部分多様体

接触

接触多様体が与えられた場合、接触部分多様体は、が接触部分多様体であるような部分多様体です。 $(M,\alpha )$ $L\subset M$ $(L,\alpha |_{L})$

等方性

接触多様体が与えられた場合、等方性部分多様体（または積分部分多様体）とは、任意の点に対して接空間が分布内にある、つまりとなるような部分多様体です。 $(M,\alpha )$ $L\subset M$ $p\in L$ $T_{p}L\subset \ker \alpha$ $\alpha |_{L}=0$

特に、は任意の点において、における超平面上のシンプレクティック形式となるため、も成り立つ。しかし、も成り立つ必要があるため、は局所超平面上の零空間であり、その次元は最大でなければならない。 $(d\alpha )^{n}\wedge \alpha \neq 0$ $p\in L$ $d\alpha _{p}$ $p$ $d\alpha |_{L}=0$ $T_{p}L$ $n$

レジェンドリアン

上述のように、積分多様体は最大n次元まで持つことができる。これらの極限積分多様体はルジャンドリアン部分多様体である。実際、このような部分多様体はh-原理を満たすため、非常に一般的である：^[1]^{: 367}

となる局所ダルブー座標、添字集合の任意の分割、および任意の滑らかな関数が与えられたとき、によってパラメータ化されたルジャンドリアン部分多様体を定義する。逆に、任意のルジャンドリアン部分多様体は局所的にこの形となる。したがって、各ルジャンドリアン部分多様体は、その（局所）生成関数によって完全に規定される。 $\alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}$ $\{1,\dots ,n\}=I\cup J$ $F(x_{I},y_{J}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $y_{I}={\frac {\partial F}{\partial x_{I}}},\quad x_{J}=-{\frac {\partial F}{\partial y_{J}}},\quad z=F-x_{I}{\frac {\partial F}{\partial x_{I}}}$ $(x_{I},y_{J})$

これは h 原理です。なぜなら、このようなルジャンドゥリアン部分多様体は、によって定義されるやや自明な部分多様体にホモトピーだからです。 $F(x_{I},y_{J})=0$

2つのルジャンドリアン部分多様体が与えられ、への微分同相写像が存在する場合、の近傍からの近傍への接触同相写像に拡張できます。局所的には、任意の2つのルジャンドリアンn部分多様体はに微分同相であるため、任意の点の周りに、、で定義される局所座標系が存在することが直ちに示されます。^[3]^{: 72} $L_{0}\subset M_{0},\;L_{1}\subset M_{1}$ $L_{0}$ $L_{1}$ $L_{0}\subset M_{0}$ $L_{1}\subset M_{1}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $p\in L$ $L$ $y_{i}=0,z=0$ $\alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}$

さらに、これはルジャンドリアン部分多様体に対する一種の大域ダルブー定理を可能にする。例えば、任意の接触3次元多様体における任意のルジャンドリアン結び目に対して、における標準的なルジャンドリアン非結び目と接触同相な近傍が存在するため、結び目の周囲に局所座標系が存在し、その中で結び目は、接触形式はとなる。^[3]^{: 72} $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$ $(x,y,\theta )$ $x=0,y=0$ $\alpha =\cos \theta dx-\sin \theta dy$

ルジャンドルファイバリングとは、多様体をルジャンドル部分多様体へと分割したものである。標準接触形式は、のファイバとして定義される標準ルジャンドルファイバリングを持つ。ルジャンドルファイバリングの同値性は、ルジャンドル部分多様体も保存する接触同相写像である。もう一つのダルブー現象として、任意のルジャンドルファイバリングは局所的には標準ルジャンドルファイバリングとなる。^[1]^{: 367} $\alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}$ $(x,y,z)\mapsto (x,z)$

ルジャンドリアン部分多様体は、シンプレクティック多様体のラグランジュ部分多様体に類似しています。明確な関係があります。接触多様体のシンプレクティック化におけるルジャンドリアン部分多様体の揚力は、ラグランジュ部分多様体です。

ルジャンドリアン部分多様体の最も単純な例は、接触3次元多様体内の曲線です。曲線が閉じている場合、それはルジャンドリアン結び目です。同値でないルジャンドリアン結び目は、滑らかな結び目として同値である場合があります。つまり、互いに滑らかな同位体であるルジャンドリアン結び目が存在するものの、同位体間の少なくとも1つの中間結び目はルジャンドリアン結び目であってはなりません。これは、ルジャンドリアン結び目が剛体であるためです。

一般に、ルジャンドリアン部分多様体は非常に剛体的な対象であり、典型的には、滑らかに同位体である埋め込みのルジャンドリアン同位体類が無限に存在します。シンプレクティック場理論は、ルジャンドリアン部分多様体の不変量である相対接触ホモロジーを提供し、位相的に同一（すなわち滑らかに同位体）である異なるルジャンドリアン部分多様体を区別できる場合があります。

ベクトル場

リウヴィル

シンプレクティック多様体において、ベクトル場は（局所的に）リウヴィルである場合と、である場合に等しい。カルタンの魔法の公式によれば、これはと等価である。トートロジー1-形式を微分するとシンプレクティック形式になるので、リウヴィルベクトル場はトートロジー1-形式を復元する方法、すなわち、シンプレクティック多様体（局所的に）を標準的なシンプレクティック多様体と同一視する方法として解釈できる。 $(P,\omega )$ $X$ ${\mathcal {L}}_{X}\omega =\omega$ $d(\omega (X,\cdot ))=\omega$ $\theta =\Sigma _{i}p_{i}dq^{i}$ $\omega =d\theta$ $T^{*}\mathbb {R} ^{n}$

リウヴィル形式とは、となる任意の1-形式である。トートロジー1-形式はその一例である。 $\lambda$ $\omega =d\lambda$

リーブ

多様体上の接触形式が与えられると、その接触形式はレーブベクトル場（または特性ベクトル場）を持ち、局所ダルブー座標ではで表されます。特に、この接触形式は一意に定義されることがわかります。 $\alpha$ $M$ $R$ $d\alpha (R,\cdot )=0,\;\alpha (R)=1$ $\alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i},\;R=\partial _{z}$

カルタンの魔法の公式より、これは、つまりレーブベクトル場がの厳密な無限小接触変換であることを意味します。視覚的に、接触形式を超平面要素のペアとして描くと、レーブベクトルフローの下では超平面要素のペアが保存されます。^[3]^{: 34} ${\mathcal {L}}_{R}\alpha =0$ $(M,\alpha )$

およびのレーブ場は一般に平行ではないため、レーブ場は接触構造の一部ではなく、むしろ接触ダイナミクスの一部です。 $\alpha$ $f\alpha$

シンプレクティック多様体内部の定エネルギー超曲面として接触形式が生じる場合、レーブベクトル場はエネルギー関数に関連付けられたハミルトンベクトル場の部分多様体への制約となる。（この制約により接触超曲面上にベクトル場が生じるのは、ハミルトンベクトル場がエネルギー準位を保存するためである。）

レーブ場のダイナミクスは、シンプレクティック場理論や、3 次元では埋め込み接触ホモロジーなどのフレアーホモロジーの手法を使用して、接触多様体や基礎となる多様体の構造を調べるために使用できます。同じ接触構造を与える核を持つ異なる接触形式は異なるレーブベクトル場をもたらし、そのダイナミクスは一般に大きく異なります。接触ホモロジーのさまざまな種類は、接触形式の選択に先験的に依存し、そのレーブベクトル場の閉じた軌跡から代数構造を構築します。ただし、これらの代数構造は接触形式に依存しない、つまり基礎となる接触構造の不変量であることが判明しているため、最終的には接触形式は補助的な選択肢と見なすことができます。埋め込み接触ホモロジーの場合は、基礎となる 3 次元多様体の不変量、つまり埋め込み接触ホモロジーが接触構造に依存しないことがわかります。これにより、多様体上の任意のレーブベクトル場に対して成り立つ結果を得ることができます。

レーブ油田はジョルジュ・レーブにちなんで名付けられました。

シンプレクティック幾何学との関係

接触幾何学とシンプレクティック幾何学を関連付ける構成は数多く存在し、その多くは物理学に触発されたものである。シンプレクティック形式は偶数次元であるのに対し、接触形式は奇数次元であるため、いかなる演算も次元をまたぐ必要がある。具体的には、関係は典型的には次元の接触多様体間、または次元のシンプレクティック多様体との間に成立する。 $2n-1$ $2n+1$ $2n$

連絡

シンプレクティック -多様体が与えられ、そのシンプレクティック形式が単に閉じているだけでなく正確でもある場合、その上の何らかの 1-形式を仮定する。すると、は接触多様体となる。 $2n$ $(P,\omega )$ $\omega =d\theta$ $\theta$ $(P\times \mathbb {R} ,\alpha )$ $\alpha :=dW-\theta$

この構成はのコホモロジー類が自明であることを必要とする。もしならば、ブースビー・ワング構成によって接触化できる。^[10]を仮定する。オイラー類を持つ主 -バンドルを取る。曲率条件を満たす任意の接続1-形式は接触形式である。接続形式の異なる選択は接触形式として同位体的である。レーブ場は-作用を生成し、は前量子化ファイバである。^[3]^：7.2節 $\omega$ $\mathbb {Z}$ ${\textstyle [\omega ]/2\pi \in H^{2}(P;\mathbb {Z} )}$ ${\textstyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\textstyle \pi :Y\rightarrow P}$ ${\textstyle [\omega ]/2\pi }$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle d\alpha =\pi ^{*}\omega }$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\textstyle \pi :(Y,\operatorname {ker} \alpha )\rightarrow (P,\omega )}$

リウヴィル横断構成

シンプレクティック多様体とその上のリウヴィルベクトル場が与えられたとき、1-形式を定義し、カルタンの魔法の公式によりとなるので、となる。特に、がに対してどこでも横切る -部分多様体である場合、は接触多様体である。 $(P,\omega )$ $X$ ${\mathcal {L}}_{X}\omega =\omega$ $\alpha :=\omega (X,\cdot )$ $d\alpha =\omega$ ${\textstyle \alpha \wedge d\alpha ^{n-1}={\tfrac {1}{n}}\iota _{X}(\omega ^{n})}$ $M\subset P$ $(2n-1)$ $X$ $(M,\alpha |_{M})$

一般に、元のシンプレクティック多様体の接触型部分多様体を、あるリウヴィルベクトル場を横切る余次元1の部分多様体として定義する。この構成は、任意の接触型部分多様体に大域的に定義された接触形式を与えることができ、したがって共方向付け可能であることを示す。

接触型部分多様体はリウヴィルベクトルで貫通されているため、局所的にはのように見え、接触多様体をシンプレクティック多様体へ拡張する逆操作を示唆する。実際、シンプレクティック化は、以下の意味でこの操作の厳密な逆操作である：^[11] $P$ $M\times \mathbb {R}$

シンプレクティック多様体とコンパクトで接触型のが与えられたとき、のように接触多様体を構築し、となる正のシンプレクティック化（は共方向付け可能であるため）を構築します。すると、の近傍との近傍が存在し、それらはシンプレクティックに同型です。 $(P,\omega )$ $M\subset P$ $(M,\alpha |_{M})$ $M$ $(P^{+},\omega ')$ $P^{+}=M\times \mathbb {R} ^{+}$ $M\subset P$ $M\times \{1\}\subset P^{+}$

リーブ横断構成

接触多様体が与えられたとき、となる局所ダルブー座標を構築し、とすると、となり、ここで、およびレーブベクトル場となる。したがって、がレーブベクトル場を横切る任意の -部分多様体である場合、はシンプレクティック多様体となる。レーブベクトル場フローは、これらの間にシンプレクティックホモトピーを与え、これはh原理のもう一つの例である。^[12] $(M,\alpha )$ $\alpha =dW-\theta$ $\theta =p_{i}dq^{i}$ $d\alpha =-d\theta =\omega$ $\omega =dq^{i}\wedge dp_{i}$ $R=\partial _{W}$ $P\subset M$ $2n$ $(P,d\alpha |_{P})$

シンプレクティゼーション

次元の接触多様体で超平面の分布が与えられている場合、それを次元のシンプレクティック多様体にシンプレクティック化することができます。この多様体は、超平面の分布と完全に接触しているの共ベクトルで構成されます。これにより、上の大域的トートロジー 1 形式であるが生成されます。任意のベクトルはベクトルに射影され、を定義します。次にを定義します。これはシンプレクティック形式であり、局所ダルブー座標を構築することで確認できます。たとえば、n多様体が与えられている場合、その接触バンドルは非ゼロ余接バンドルであるにシンプレクティック化されます。 $M$ $2n-1$ $\xi$ $(P,\omega )$ $2n$ $M$ $P:=\{(p,w):p\in M,w\in T_{p}^{*}M,\ker w\in \xi \}$ $\theta$ $P$ $V\in T_{(p,w)}P$ $v\in T_{p}M$ $\theta (V):=w(v)$ $\omega :=d\theta$ $M$ $C_{n-1}(M)$ $T^{*}M\setminus \{0\}$

この構成は、接触形式の選択に依存しません。接触形式が局所的に選択された場合、およびです。は上のファイバー束であり、ファイバーはです。接触構造が共配向性である場合、接触形式は大域的に選択でき、ファイバー束は 2 つの自明な線束に分割されます。シンプレクティック多様体の1-同次無限小シンプレクト同相写像と接触多様体の無限小接触同相写像の間には、一方向への一対一の関係があります。上のベクトル場が無限小接触同相写像である場合、ある方向では、任意のから何らかのに流れ込みます。接触構造が保存されるため、です。さらに、任意のについて、に流れ込みます。したがって、上のベクトル場に持ち上げられます。これは、ファイバーに沿って 1-同次である無限小シンプレクト同相写像です。逆に、ファイバーに沿って 1-同次な任意の無限小シンプレクト同相写像は、無限小接触同相写像に投影されます。 $\alpha$ $P:=\{(p,r\alpha _{p}):p\in M,r\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\}$ $\omega =d(r\alpha )$ $P$ $M$ $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ $P^{\pm }:=\{(p,r\alpha _{p}):p\in M,\pm r>0\}\cong M\times \mathbb {R}$ $v$ $M$ $(p,w)\in P$ $(p',w')$ $(p',w')\in P$ $k\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ $(p,kw)$ $(p',kw')$ $V$ $P$

ハミルトニアンが 1-同次である場合、のすべての微小接触同相写像は、何らかの 1-同次ハミルトニアンによって生成されたのハミルトニアンフローへの射影である。 ^[1]^{: 361}これは、微小接触同相写像と微小シンプレクト同相写像の間のリー代数同型である。 ^[1]^{: 362}これは、よく発達したハミルトニアンフローの理論を接触フローの理論に翻訳するものである。 $H:P\to \mathbb {R}$ $H(p,kw)=kH(p,w),\quad \forall (p,w)\in P,\;k\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ $P$ $P$

接触ハミルトン流

シンプレクティック多様体上の実数値関数 (ハミルトニアン) がフローを生成するのと同様に、接触多様体上の実数値関数はフロー (接触ハミルトニアンと呼ばれることもあります) を生成します。

上の接触形式を固定する。上の任意の接触フローが与えられたとき、前述の構成を用いて上のシンプレクティックフローに持ち上げる。これは1-同次ハミルトニアンによって生成される。そして、これはによって定義される接触ハミルトニアンに射影される。すると、あるいはより簡潔に言えばとなる。 $\alpha$ $M$ $v$ $M$ $V$ $P$ $H:P\to \mathbb {R}$ $K:M\to \mathbb {R}$ $K(p)=H(p,\alpha _{p})$ $K(p)=\alpha (v_{p})$ $K=\alpha (v)$

フローは、部分多様体上でのみ、積分部分多様体を保存します。 $K=0$

エネルギー表面

Hが T* M上の滑らかな関数であり、EがHの正則値であると仮定すると、準位集合は余次元 1 の滑らかな部分多様体となります。ベクトル場Yは、 Lを横切り、かつシンプレクティックである場合、オイラー（またはリウヴィル）ベクトル場と呼ばれます。シンプレクティックとは、リー導関数がであることを意味します。実際には、共形シンプレクティックであることだけで十分であり、つまり、どこかの零点を持たない関数に対してであることを意味します。すると、はL上の接触形式となります。 $L=\{(q,p)\in T^{*}M\mid H(q,p)=E\}$ ${\mathcal {L}}_{Y}\omega =\omega$ ${\mathcal {L}}_{Y}\omega =f\omega$ $f$ $\omega (Y,\cdot )$

この構成はハミルトン力学に由来する。ここでは配位空間、は位相空間、はハミルトニアン、はエネルギーである。が標準座標を持つ場合、が同語的1-形式であるとすると、リウヴィルベクトル場はによって定義できる。特に、はリウヴィルである。 $M$ $T^{*}M$ $H:T^{*}M\to \mathbb {R}$ $E$ $T^{*}M$ $p_{i},q^{i}$ $\theta =p_{i}dq^{i}$ $\omega (Y,\cdot )=\theta$ $Y=p_{i}\partial _{q^{i}}$

より一般的には、が正確なシンプレクティック形式を持つシンプレクティック多様体であり、である場合、はリウヴィルです。 $P$ $\omega =d\theta$ $\omega (Y,\cdot )=\theta$ $Y$

トポロジー

接触3次元多様体の位相は最もよく理解されている。任意の有向3次元多様体に対して、その上には無限に異なる接触構造が存在する。3次元球面上の標準的な接触構造を持つルジャンドリアンリンクに沿って手術を行うことで、1つの接触構造を構築できる。任意の接触構造に対してルッツねじれを繰り返し適用すると、同型でない接触構造が無限に生成され、それらは過剰ねじれとなる。過剰ねじれのない構造はタイトと呼ばれる。球面上の標準的な接触構造は、同位体性まで可能な唯一のタイトな接触構造である。^[13]^[6]

ジルーの定理は、有向接触3次元多様体は、同位体を除いて、「正の安定化」まで開書分解と単射であることを示しています。したがって、有向接触3次元多様体の幾何学は完全に位相的です。

ワインスタイン予想は、コンパクト接触多様体上の任意のレーブフローが必ずサイクルを含むかどうかを問う未解決問題である。これは3次元の場合に証明されている。

与えられたタイプの幾何学的構造においては、それが非同値な構造への連続的な変形を許容するかどうかを理解することが重要である。複雑な構造においてはこれが可能であり、リーマン面のタイヒミュラー理論や小平・スペンサー変形理論につながる。グレイの安定性定理は、閉多様体上の接触構造は非同値な構造に変形できないことを示している。具体的には、以下の通りである。^[6]

が閉多様体であり、が上の接触形式の滑らかな 1 パラメータ族である場合、となるの同位体が存在する。 $M$ $\alpha _{t}$ $M$ $\phi _{t}$ $M$ $\phi _{t}^{*}(\ker \alpha _{t})=\ker \alpha _{0}$

この定理は連絡フォームには当てはまりません。

歴史

接触幾何学の概念は、アポロニウス・ペルガ、クリスティアーン・ホイヘンス、アイザック・バロー、アイザック・ニュートンの研究に暗黙のうちに現れています。接触変換の理論は、ソフス・リー[ ^9]によって発展しました。その目的は、微分方程式（例えば、ルジャンドル変換や正準変換）の研究と、射影双対性で知られる「空間要素の変化」の記述という二つの目的を持っていました。

「接触多様体」という用語が初めて使われたのは1958年の論文である。^[10]^[6]^[14]

アプリケーション

シンプレクティック幾何学と同様に、接触幾何学は物理学において幅広い応用があり、例えば幾何光学、古典力学、熱力学、幾何量子化、可積分系、制御理論などが挙げられる。接触幾何学は低次元位相幾何学にも応用されており、例えば、クロンハイマーとムロウカは性質P予想を証明するために、マイケル・ハッチングスは滑らかな3次元多様体の不変量を定義するために、レンハルト・ン（Lenhard Ng）は結び目の不変量を定義するために接触幾何学を用いている。また、ヤコフ・エリアシュバーグは、少なくとも6次元のスタイン多様体の位相的特徴づけを導くために接触幾何学を用いている。

接触幾何学は視覚皮質を説明するために使われてきた。^[15]

偏微分方程式

接触幾何学の研究の元々の動機は、一階偏微分方程式（PDE）を解くことでした。一般的に、問題はPDEを満たすものを見つけることです。ソフス・リーのアイデアは、方程式を1次元空間に持ち上げ、そこで方程式が2n次元超曲面を指定するというものでした。そして、問題はこの超曲面内のルジャンドリアン部分多様体を見つけることに帰着しました。 $z(x_{1},\dots ,x_{n})$ $F(x_{1},\dots ,x_{n},\partial _{1}z,\dots ,\partial _{n}z,z)=0$ $J^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ $F(x,y,z)=0$

幾何光学

波動伝播のホイヘンス・フレネル原理は、接触変換として形式化できます。具体的には、リーマンn多様体が与えられたとして、その単位速度の測地線（つまり、弧の長さでパラメーター化される）を考えます。これにより、単位長さの接線ベクトルの輸送が生成され、したがって単位接線バンドル上にベクトルフロー場が生成されます。これが測地線フローです。双対的に、無限小波面（ウェーブレット）の伝播によって単位長さの余接ベクトルの輸送が生成され、したがって単位余接バンドル上にベクトルフロー場が生成されます。これがコ測地線フローです。に制限された上の同義語 1-形式は接触形式であり、これによりに接触が生じます。ホイヘンス・フレネル原理によれば、(余)測地線フローは厳密な無限小接触対称性であり、より正確にはレーブベクトル場です。^[1]^{: 360}^[3]^{: Sec. 1.5}^{[11]この構成は}フィンスラー多様体上の（共）測地線流に直接一般化される。^[16] $M$ $UT(M)$ $UT^{*}(M)$ $T^{*}M$ $UT^{*}(M)$ $UT(M)$

におけるルジャンドリアン部分多様体はにおける波面に対応し、時間経過に伴う波動伝播はレーブフローを波面ルジャンドリアン部分多様体に適用することに対応する。におけるルジャンドリアン部分多様体は特殊な光線束に対応し、レーブフローは時間経過に伴う光線伝播に対応する。レーブフローがルジャンドリアン部分多様体を保存するということは、マルス・デュパンの定理を意味する。特に、単一の点光源は、射出光線の球面、または射出波面の球面のいずれかとして見なすことができる。これらはどちらも最大限に拡張されたコンパクトルジャンドリアン部分多様体である。 $UT^{*}(M)$ $M$ $UT(M)$

例えば、平面内で一定速度で伝播する波動は特に単純で、では螺旋状のせん断波となる。平面内の一点から出射する円形の波面は、では一直線から出射する螺旋波となる。縮閉線のインボリュートが与えられれば、他のインボリュートは接触変換の1パラメータ族によって得られる。^[9]^：第4.3節 $UT^{*}(\mathbb {R} ^{2})\cong \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$

逆に、微小な接触変換は波動伝播の形に変換することができる。^[9]^{: Sec. 4.2}

熱力学

古典熱力学は、熱平衡状態にある系を研究する。熱力学系が与えられたとき、熱力学的状態の多様体をとする。熱力学の法則によれば、には接触構造が存在する。具体的には、座標系が存在する。 $M$ $M$

膨大な量 $q^{1},\dots ,q^{n}$
それらのルジャンドル共役強度量 $p_{1},\dots ,p_{n}$
エントロピ $S$

と定義すると、到達可能な状態の空間はn次元ルジャンドル部分多様体となる。各ルジャンドル多様体は、方程式によって局所的に規定される。熱力学的に解釈すると、最初のnは状態方程式であり、最後の方程式は基本関係である。ルジャンドル変換は接触変換の特殊なケースである。 ${\textstyle \alpha :=dS-\Sigma _{i=1}^{n}p_{i}dq^{i}}$ $L$ $p_{I}={\frac {\partial F}{\partial q^{I}}},\quad q^{J}=-{\frac {\partial F}{\partial p_{J}}},\quad z=F-q^{I}{\frac {\partial F}{\partial q^{I}}}$

例えば、気体法則の定式化において、接触形式は「任意の特定の気体系において、その到達可能な状態は3次元ルジャンドリアン部分多様体である」となる。この基本関係式を変更することで、古典熱力学で許容されるすべての可能な気体系を特定することができる。^[17] $dS-p_{U}dU-p_{V}dV-p_{N}dN,\quad p_{U}={\frac {1}{T}},\quad p_{V}={\frac {p}{T}},\quad p_{N}=-{\frac {\mu }{T}}$

参照

フロールホモロジー、そのいくつかのフレーバーは接触多様体とそのルジャンドリアン部分多様体の不変量を与える
サブリーマン幾何学
連絡先バンドル

参考文献

^ abcdefgh Arnold, VI (1989)、「付録4 接触構造」、古典力学の数学的手法、Springer、pp. 349−370、ISBN 0-387-96890-3
^ 6 世アーノルド (1989)。「接触幾何学と波の伝播」。Monographie de l'Enseignement Mathématique。国際数学連合会議。ジュネーブ大学。ISSN 0425-0818。Zbl 0694.53001。
^ abcdefgh ガイゲス、ハンスイェルク (2008)。コンタクトトポロジの概要。ケンブリッジ大学出版局。土井：10.1017/CBO9780511611438。ISBN 9780511611438。
^ Gromov, Mikhael (1996), Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques (eds.), "Carnot-Carathéodory spaces seen from inside" , Sub-Riemannian Geometry , Basel: Birkhäuser Basel, pp. 79– 323, doi :10.1007/978-3-0348-9210-0_2, ISBN 978-3-0348-9946-8
^ ab アーノルド、ウラジミール・イゴレヴィチ;ヴァルチェンコ、アレクサンドル・ニコラエヴィッチ。グセーン＝ザーデ、サビル・メジドヴィッチ（2012）。微分可能な写像の特異点。ビルクホイザーのモダンクラシック。ニューヨーク：スプリンガー。ISBN 978-0-8176-8340-5。
^ abcd ガイゲス、ハンスイェルク (2001-01-01)。「接触幾何学とトポロジーの簡単な歴史」。数学の解説。19 (1): 25–53。土井: 10.1016/S0723-0869(01)80014-1。ISSN 0723-0869。
^ Martinet, J. (1971). 「Formes de Contact sur les Variétés de Dimension 3」 . Wall, CTC (ed.). Proceedings of Liverpool Singularities Symposium II . Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 209. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 142– 163. doi :10.1007/BFb0068901. ISBN 978-3-540-36868-7。
^ Borman, Matthew Strom; Eliashberg, Yakov; Murphy, Emmy (2015). 「全次元における過剰ねじれ接触構造の存在と分類」. Acta Mathematica . 215 (2): 281– 361. arXiv : 1404.6157 . doi :10.1007/s11511-016-0134-4. ISSN 0001-5962.
^ abcd 嘘だよ、ソフォス;シェファーズ、ゲオルク・ヴィルヘルム(1896)。 Geometrie der Berührungstransformationen (ドイツ語)。 Vol. 1. ライプツィヒ：BGトイブナー。
^ ab Boothby, WM; Wang, HC (1958). 「接触多様体について」 Annals of Mathematics 68 ( 3): 721– 734. doi :10.2307/1970165. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970165.
^ ab Etnyre, John B. (2006). 「接触多様体」(PDF) .数理物理学百科事典. 第1巻. pp. 631– 636. 2022年11月4日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .
^ Cieliebak, Kai; Ēlîʾašberg, Yaʿaqov; Mišačev, Nikolaj M. (2024). h原理入門. 数学大学院研究科（第2版）. プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学会. ISBN 978-1-4704-7617-5。
^ “Celebratio Mathematica — Eliashberg — 接触構造”. celebratio.org . 2025年10月21日閲覧。
^ Sloman, Leila (2023年11月7日). 「幾何学の『ワイルド・ウェスト』で数学者が球面を再定義」Quanta Magazine . 2023年11月7日閲覧。
^ ホフマン, ウィリアム C. (1989-08-01). 「視覚皮質は接触束である」 .応用数学と計算. 32 (2): 137– 167. doi :10.1016/0096-3003(89)90091-X. ISSN 0096-3003.
^ マックス・デルナー;ガイゲス、ハンスイェルク。ゼーミッシュ、甲斐 (2017-12-01)。「フィンスラー測地線、周期的なリーブ軌道、およびオープンブック」。ヨーロッパ数学ジャーナル。3 (4 ) : 1058–1075。arXiv : 1611.10035 。土井：10.1007/s40879-017-0158-0。ISSN 2199-6768。
^ Mrugala, Ryszard; Nulton, James D.; Christian Schön, J.; Salamon, Peter (1991-02-01). 「熱力学理論における接触構造」 .数理物理学報告. 29 (1): 109– 121. Bibcode :1991RpMP...29..109M. doi :10.1016/0034-4877(91)90017-H. ISSN 0034-4877.

接触幾何学入門

嘘だよ、ソフォス。シェファーズ、ゲオルク・ヴィルヘルム(1896)。 Geometrie der Berührungstransformationen (ドイツ語)。 Vol. 1. ライプツィヒ：BGトイブナー。
Etnyre, J. (2003). 「接触幾何学入門講義」. Proc. Sympos. Pure Math . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 71 : 81–107 . arXiv : math/0111118 . doi :10.1090/pspum/071/2024631. ISBN 9780821835074. S2CID 6174175。
ガイゲス、H. (2003)。「接触幾何学」。arXiv : math/0307242。
ガイゲス、ハンスイェルク (2008)。コンタクトトポロジの概要。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-139-46795-7。
Aebischer (1994).シンプレクティック幾何学. Birkhäuser. ISBN 3-7643-5064-4。
アーノルド, VI (1989). 『古典力学の数学的手法』シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-96890-3。

微分方程式への応用

アーノルド, VI (1988). 『常微分方程式理論における幾何学的手法』シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-96649-8。

接触三次元多様体とルジャンドゥリアン結び目

サーストン、ウィリアム（1997年）『三次元幾何学と位相幾何学』プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-08304-5。

接触幾何学の歴史に関する情報

ルッツ、R. (1988)。「歴史と接触に関する展望」。微分幾何学とトポロジーに関する会議 (サルデーニャ、1988 年)。レンド。ファック。科学。大学カリアリ。 Vol. 58補足361 ～ 393ページ。MR 1122864 。
Geiges, H. (2001). 「接触幾何学と位相幾何学の簡潔な歴史」. Expo. Math . 19 : 25–53 . doi : 10.1016/S0723-0869(01)80014-1 .
アーノルド、ウラジミール・I. (2012) [1990]. ホイヘンス、バロー、ニュートン、フック：進化論から準結晶までの数学的解析とカタストロフィー理論の先駆者たち. ビルクハウザー. ISBN 978-3-0348-9129-5。
arxiv.orgのgeometryテーマへのお問い合わせ

外部リンク

マニフォールドアトラスのマニフォールドにお問い合わせください

[MMCM-1] Arnold, VI (1989)、「付録4 接触構造」、古典力学の数学的手法、Springer、pp. 349−370、ISBN 0-387-96890-3

[CGWP-2] 6 世アーノルド (1989)。「接触幾何学と波の伝播」。Monographie de l'Enseignement Mathématique。国際数学連合会議。ジュネーブ大学。ISSN 0425-0818。Zbl 0694.53001。

[:0-3] ガイゲス、ハンスイェルク (2008)。コンタクトトポロジの概要。ケンブリッジ大学出版局。土井：10.1017/CBO9780511611438。ISBN 9780511611438。

[4] Gromov, Mikhael (1996), Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques (eds.), "Carnot-Carathéodory spaces seen from inside" , Sub-Riemannian Geometry , Basel: Birkhäuser Basel, pp. 79– 323, doi :10.1007/978-3-0348-9210-0_2, ISBN 978-3-0348-9946-8

[:1-5] アーノルド、ウラジミール・イゴレヴィチ;ヴァルチェンコ、アレクサンドル・ニコラエヴィッチ。グセーン＝ザーデ、サビル・メジドヴィッチ（2012）。微分可能な写像の特異点。ビルクホイザーのモダンクラシック。ニューヨーク：スプリンガー。ISBN 978-0-8176-8340-5。

[:4-6] ガイゲス、ハンスイェルク (2001-01-01)。「接触幾何学とトポロジーの簡単な歴史」。数学の解説。19 (1): 25–53。土井: 10.1016/S0723-0869(01)80014-1。ISSN 0723-0869。

[7] Martinet, J. (1971). 「Formes de Contact sur les Variétés de Dimension 3」 . Wall, CTC (ed.). Proceedings of Liverpool Singularities Symposium II . Lecture Notes in Mathematics (in French). Vol. 209. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 142– 163. doi :10.1007/BFb0068901. ISBN 978-3-540-36868-7。

[8] Borman, Matthew Strom; Eliashberg, Yakov; Murphy, Emmy (2015). 「全次元における過剰ねじれ接触構造の存在と分類」. Acta Mathematica . 215 (2): 281– 361. arXiv : 1404.6157 . doi :10.1007/s11511-016-0134-4. ISSN 0001-5962.

[LieScheffers1896-9] 嘘だよ、ソフォス;シェファーズ、ゲオルク・ヴィルヘルム(1896)。 Geometrie der Berührungstransformationen (ドイツ語)。 Vol. 1. ライプツィヒ：BGトイブナー。

[:2-10] Boothby, WM; Wang, HC (1958). 「接触多様体について」 Annals of Mathematics 68 ( 3): 721– 734. doi :10.2307/1970165. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970165.

[:3-11] Etnyre, John B. (2006). 「接触多様体」(PDF) .数理物理学百科事典. 第1巻. pp. 631– 636. 2022年11月4日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .

[12] Cieliebak, Kai; Ēlîʾašberg, Yaʿaqov; Mišačev, Nikolaj M. (2024). h原理入門. 数学大学院研究科（第2版）. プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学会. ISBN 978-1-4704-7617-5。

[13] “Celebratio Mathematica — Eliashberg — 接触構造”. celebratio.org . 2025年10月21日閲覧。

[14] Sloman, Leila (2023年11月7日). 「幾何学の『ワイルド・ウェスト』で数学者が球面を再定義」Quanta Magazine . 2023年11月7日閲覧。

[15] ホフマン, ウィリアム C. (1989-08-01). 「視覚皮質は接触束である」 .応用数学と計算. 32 (2): 137– 167. doi :10.1016/0096-3003(89)90091-X. ISSN 0096-3003.

[16] マックス・デルナー;ガイゲス、ハンスイェルク。ゼーミッシュ、甲斐 (2017-12-01)。「フィンスラー測地線、周期的なリーブ軌道、およびオープンブック」。ヨーロッパ数学ジャーナル。3 (4 ) : 1058–1075。arXiv : 1611.10035 。土井：10.1007/s40879-017-0158-0。ISSN 2199-6768。

[17] Mrugala, Ryszard; Nulton, James D.; Christian Schön, J.; Salamon, Peter (1991-02-01). 「熱力学理論における接触構造」 .数理物理学報告. 29 (1): 109– 121. Bibcode :1991RpMP...29..109M. doi :10.1016/0034-4877(91)90017-H. ISSN 0034-4877.