Mathematical expression
b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋱ {\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}} 無限連分数は 、 、 、 のシーケンスによって定義されます 。 { a i } , { b i } {\displaystyle \{a_{i}\},\{b_{i}\}} i = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle i=0,1,2,\ldots } a 0 = 0 {\displaystyle a_{0}=0} 連分数 は、 分母に 別 の分数（それ自体は単純分数または連分数）を含む和が含まれる 分数 として書かれた 数式 です。 この 反復 （繰り返し処理）が単純分数で終了した場合、結果は 有限連分数 になります。無限に続く場合、結果は 無限連分数になります。すべての分子が1に等しい特別な場合は 、単純（または通常）連分数 と呼ばれます 。 任意の有理数は 有限単純連分数として表すことができ、 任意の無理数は 無限単純連分数として表すことができます。
数学 の分野によって、 連分数には 異なる用語と 表記法が用いられます。 数論 では、 連分数という修飾語は通常、単純連分数を指し、一般の場合は 一般化連分数 と呼ばれます 。 複素解析学 や 数値解析学では、一般の場合は通常、修飾語を使わずに 連分数 と呼ばれます 。
連分数の分子と分母には、 定数 または 関数 の 列を 使用できます。 { a i } , { b i } {\displaystyle \{a_{i}\},\{b_{i}\}}
連分数とは、次のような形式の表現である。
x = b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 + ⋱ {\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}} ここで、 a n ( n > 0 ) は 部分分子 、 b n は 部分分母 、そして先頭の項 b 0 は連分数の 整数部 と呼ばれます。
連分数の 逐次 収束式は、 基本的な漸化式を 適用することによって形成されます。
x 0 = A 0 B 0 = b 0 , x 1 = A 1 B 1 = b 1 b 0 + a 1 b 1 , x 2 = A 2 B 2 = b 2 ( b 1 b 0 + a 1 ) + a 2 b 0 b 2 b 1 + a 2 , … {\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {A_{0}}{B_{0}}}=b_{0},\\x_{1}&={\frac {A_{1}}{B_{1}}}={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}}{b_{1}}},\\x_{2}&={\frac {A_{2}}{B_{2}}}={\frac {b_{2}(b_{1}b_{0}+a_{1})+a_{2}b_{0}}{b_{2}b_{1}+a_{2}}},\ \dots \end{aligned}}} ここで、 A n は分子、 B n は分母であり、 n 次収束関数の 連続項 [ 3項漸化式 によって与えられる。
A n = b n A n − 1 + a n A n − 2 , B n = b n B n − 1 + a n B n − 2 for n ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2},\\B_{n}&=b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}} 初期値付き
A − 1 = 1 , A 0 = b 0 , B − 1 = 0 , B 0 = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1,&A_{0}&=b_{0},\\B_{-1}&=0,&B_{0}&=1.\end{aligned}}} 収束点列 { x n }が 極限 に近づく場合 、連分数は収束し、一定の値を持ちます。収束点列が極限に決して近づかない場合、連分数は発散します。振動によって発散する場合もあります（例えば、奇数と偶数の収束点が異なる2つの極限に近づく場合など）。また、無限個の零分母 B n を生成する場合もあります。
歴史 連分数の歴史は ユークリッドの互除法 [5] から始まります。これ は、2つの自然数 m と n の最大公約数 を求める手順です 。この互除法は、割り算をして新たな余りを取り出し、それを繰り返しその余りで割るという考え方を導入しました。
16世紀半ば、ボンベッリ（1579）が連分数を用いて二 次方程式の根を近似する手法を 考案するまで、ほぼ2000年が経過しました。その後、開発のペースは加速しました。わずか24年後の1613年、 ピエトロ・カタルディは 一般化連分数の最初の正式な表記法を導入しました。 カタルディは連分数を次のように表しました
。
a 0 ⋅ & n 1 d 1 ⋅ & n 2 d 2 ⋅ & n 3 d 3 {\displaystyle {a_{0}\cdot }\,\&\,{\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{3}}{d_{3}}}} 点は、次の分数が入る場所を示し、各 & は 現代のプラス記号を表します。
17世紀後半、 ジョン・ウォリス は「連分数」という用語を数学文献に導入しました。 数学的解析のための新しい技術（ ニュートン と ライプニッツの 微積分 ）が登場したばかりで、ウォリスの同時代人たちがこの新しい用語を使い始めました。
1748年、 オイラーは 特定の種類の連分数がある非常に一般的な 無限級数 と同等であることを示す定理を発表しました。 オイラーの連分数公式は、今 でも連分数の収束 に関する多くの現代の証明の基礎となっています 。
1761年、 ヨハン・ハインリヒ・ランベルトは tan x の連分数を用いて πが 無理数である ことを初めて 証明 した。
tan ( x ) = x 1 + − x 2 3 + − x 2 5 + − x 2 7 + ⋱ {\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {-x^{2}}{3+{\cfrac {-x^{2}}{5+{\cfrac {-x^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}} 連分数は数論 の問題にも応用でき、特に ディオファントス方程式 の研究に有用である 。18世紀後半、 ラグランジュは連分数を用いて ペル方程式 の一般解を構築し 、千年以上も数学者を魅了してきた疑問に答えた。 [10]ラグランジュの発見は、あらゆる非平方整数の 平方根 の標準的な連分数展開が 周期的であり、周期の長さが p > 1であれば、長さ p − 1の 回文文字 列 が含まれることを意味している 。
1813年に ガウスは 複素数値 超幾何関数 から現在 ガウス連分数 と呼ばれるものを導出した。 ベッセル関数 など）を表現するために使用できる 。
表記 導入部に示されている長い連分数の式は、分数に慣れていない読者でも容易に解釈できます。しかし、多くのスペースを占有し、組版が困難になる場合があります。そこで数学者はいくつかの代替表記法を考案しました。一般連分数を表現する便利な方法の一つは、各入れ子になった分数を同じ行に並べ、分母にぶら下がったプラス記号で入れ子構造を示すことです。
x = b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ {\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}+}}\,{\frac {a_{2}}{b_{2}+}}\,{\frac {a_{3}}{b_{3}+\cdots }}} プラス記号は分母と垂直に揃うようにタイプセットされる場合もありますが、分数線の下には揃わないことがあります。
x = b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ {\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}{{} \atop +}{\frac {a_{2}}{b_{2}}}{{} \atop +}{\frac {a_{3}}{b_{3}}}{{} \atop \!{}+\cdots }} プリングシャイムは 一般化された連分数を次のように書きました。
x = b 0 + | a 1 b 1 | + | a 2 b 2 | + | a 3 b 3 | + ⋯ {\displaystyle x=b_{0}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {a_{1}}{\,b_{1}\,}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {a_{2}}{\,b_{2}\,}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {a_{3}}{\,b_{3}\,}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+\cdots } カール・フリードリヒ・ガウスは、 この表記法を考案したときに、 より馴染みのある 無限積 Πを想起させました。
x = b 0 + K ∞ i = 1 a i b i . {\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,} ここで「 K 」はドイツ語で「連分数」を意味する Kettenbruch を表しています 。これはおそらく連分数を表す最も簡潔で便利な方法ですが、英語の植字工の間ではあまり使われていません。
いくつかの基本的な考慮事項 ここでは、連分数の解析理論のさらなる発展において根本的に重要ないくつかの基本的な結果を示します。
部分分子と分母 部分分子 a n +1 の1つが0の場合、無限連分数は
b 0 + K ∞ i = 1 a i b i {\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,} は実際にはn 個の分数項を持つ有限連分数であり 、したがって a 1 からa n まで 、そして b 0から b n +1 まで を 対象とする有理関数 です。このような対象は数学的解析の観点からはあまり興味深いものではないため、通常はすべての a i ≠ 0と仮定します。部分分母 b i にはこの制約を課す必要はありません 。
連分数の n 次収束が
x n = b 0 + K n i = 1 a i b i {\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,} は単純な分数 x n = として表される。 アン / B n 行列式の公式 を使うことができます
A n − 1 B n − A n B n − 1 = ( − 1 ) n a 1 a 2 ⋯ a n = ∏ i = 1 n ( − a i ) {\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})} 1
連続する収束関数x n と x n − 1 の分子と分母を互いに 関連付ける。この証明は 帰納法 によって簡単に得られる。
証拠
ベースケース
n = 1 の場合 、非常に単純な計算から結果が生まれます。 帰納的ステップ
( 1 )が n − 1 に対して成り立つと仮定する。次に、同じ関係が nに対しても成り立つことを確認する。A n と B n の値を ( 1 ) に代入すると、以下 の 式が得られる。 = b n A n − 1 B n − 1 + a n A n − 1 B n − 2 − b n A n − 1 B n − 1 − a n A n − 2 B n − 1 = a n ( A n − 1 B n − 2 − A n − 2 B n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&=b_{n}A_{n-1}B_{n-1}+a_{n}A_{n-1}B_{n-2}-b_{n}A_{n-1}B_{n-1}-a_{n}A_{n-2}B_{n-1}\\&=a_{n}(A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1})\end{aligned}}} これは、私たちの帰納法の仮説により真実です。 A n − 1 B n − A n B n − 1 = ( − 1 ) n a 1 a 2 ⋯ a n = ∏ i = 1 n ( − a i ) {\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})\,} 具体的には、 B n も B n − 1 もゼロではない場合（ n > 0 ）、 （ n − 1） 番目と n 番目の収束値の差は 次のように表すことができます。 x n − 1 − x n = A n − 1 B n − 1 − A n B n = ( − 1 ) n a 1 a 2 ⋯ a n B n B n − 1 = ∏ i = 1 n ( − a i ) B n B n − 1 . {\displaystyle x_{n-1}-x_{n}={\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}-{\frac {A_{n}}{B_{n}}}=\left(-1\right)^{n}{\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{B_{n}B_{n-1}}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})}{B_{n}B_{n-1}}}.\,}
{ c i } = { c 1 , c 2 , c 3 , ...} が任意の非ゼロ複素数の無限列である 場合、帰納法によって次のことが証明できる。
b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 + ⋱ = b 0 + c 1 a 1 c 1 b 1 + c 1 c 2 a 2 c 2 b 2 + c 2 c 3 a 3 c 3 b 3 + c 3 c 4 a 4 c 4 b 4 + ⋱ {\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}} ここで、等式は同値性として理解され、つまり、左側の連分数の連続収束は、右側の分数の収束とまったく同じであるということです。
同値変換は完全に一般的なものですが、特に2つのケースについて言及しておく必要があります。まず、 a i のいずれも0でない場合、各部分分子が1になるように { c i } という列を選択できます。
b 0 + K ∞ i = 1 a i b i = b 0 + K ∞ i = 1 1 c i b i {\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\,} ここで c 1 = 1 / 1 、 c 2 = 1 / 2 、 c 3 = 2 / 1 3 、そして一般に c n +1 = 1 / a n +1 c n 。
次に、部分分母 b i のいずれも0でない場合は、同様の手順で別のシーケンス{ d i } を選択し 、各部分分母を1にすることができます。
b 0 + K ∞ i = 1 a i b i = b 0 + K ∞ i = 1 d i a i 1 {\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\,} ここで、 d 1 = 1 / b 1 それ以外の場合 、d n +1 = 1 / b n b n +1 。
同値変換のこれら 2 つの特殊なケースは、一般的な 収束問題 を分析するときに非常に役立ちます。
収束の概念 冒頭で述べたように、連分数は
x = b 0 + K ∞ i = 1 a i b i {\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,} は、収束点列 { x n } が有限極限に向かう場合、収束します。この収束の概念は非常に自然ですが、制限が厳しすぎる場合もあります。そのため、連分数の一般収束の概念を導入すると便利です。大まかに言えば、これは、収束点を計算するために 、分数の部分を 0 ではなく w n に置き換えることです。このようにして得られた収束点は、修正収束点 と呼ばれます。 とは十分に異なる すべての に対して修正収束点列が収束するような 列が存在する場合、 連分数は 一般収束する というのです。この列は、連分数の 例外列 と呼ばれます 。厳密な定義については、Lorentzen & Waadeland (1992) の第 2 章を参照してください。 K i = n ∞ a i b i {\displaystyle \operatorname {K} _{i=n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}} { w n ∗ } {\displaystyle \{w_{n}^{*}\}} { w n } {\displaystyle \{w_{n}\}} { w n ∗ } {\displaystyle \{w_{n}^{*}\}} { w n ∗ } {\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}
連分数には 絶対収束 という概念も存在し、これは級数の絶対収束という概念に基づいています。 連分数が 絶対収束するとは、級数が
f = ∑ n ( f n − f n − 1 ) , {\displaystyle f=\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right),} ここで 、は連分数の収束であり、 は絶対収束する 。 [12] Śleszyński –Pringsheimの定理は 絶対収束のための十分条件を与える。 f n = K i = 1 n a i b i {\displaystyle f_{n}=\operatorname {K} _{i=1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}
最後に、1つ以上の複素変数の連分数が 開近傍 Ω で 一様収束するとは 、 その収束関数が Ω 上で 一様収束する 場合である 。つまり、すべての ε > 0に対して、すべての n > M に対して 、すべてのに対して 、 z ∈ Ω {\displaystyle z\in \Omega }
| f ( z ) − f n ( z ) | < ε . {\displaystyle |f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon .}
偶数収束と奇数収束 連分数を偶数部と奇数部に分離する必要がある場合があります。例えば、連分数が2つの異なる極限点 p と q の間で振動によって発散する場合、数列 { x 0 , x 2 , x 4 , ...} は これらのうちの1つに収束し、 { x 1 , x 3 , x 5 , ...} は 他の1つに収束する必要があります。このような状況では、元の連分数を2つの異なる連分数として表現し、一方を p に収束させ、もう一方を q に収束させると便利な場合があります。
連分数の偶数部と奇数部の式は、分数がすでにすべての分母が1になるように変換されている場合に最も簡潔に書くことができます。具体的には、
x = K ∞ i = 1 a i 1 {\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}\,} が連分数の場合、偶数部 x 偶数 と奇数部 x 奇数 は次のように表される。
x even = a 1 1 + a 2 − a 2 a 3 1 + a 3 + a 4 − a 4 a 5 1 + a 5 + a 6 − a 6 a 7 1 + a 7 + a 8 − ⋱ {\displaystyle x_{\text{even}}={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}\,} そして
x odd = a 1 − a 1 a 2 1 + a 2 + a 3 − a 3 a 4 1 + a 4 + a 5 − a 5 a 6 1 + a 6 + a 7 − a 7 a 8 1 + a 8 + a 9 − ⋱ {\displaystyle x_{\text{odd}}=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}\,} より正確には、連分数 x の連続収束関数が{ x 1 , x 2 , x 3 , ...} である場合、 上で書いた x 偶数 の連続収束関数は { x 2 , x 4 , x 6 , ...} であり、 x 奇数 の連続収束関数は{ x 1 , x 3 , x 5 , ...} である 。 [13]
非合理性の条件 a 1 , a 2 ,... および b 1 , b 2 ,... が、十分に大きい kに対して a k ≤ b k を満たす正の整数である 場合 、
x = b 0 + K ∞ i = 1 a i b i {\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,} 無理数極限に収束する。
分数の連続収束関数の部分分子と分母は、 基本的な漸化式 によって関連付けられます。
A − 1 = 1 B − 1 = 0 A 0 = b 0 B 0 = 1 A n + 1 = b n + 1 A n + a n + 1 A n − 1 B n + 1 = b n + 1 B n + a n + 1 B n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\,\end{aligned}}} 連分数の逐次収束は次のように与えられる。
x n = A n B n . {\displaystyle x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.\,} これらの再帰関係は、ジョン・ウォリス （1616–1703）と レオンハルト・オイラー （1707–1783）によるものです 。 これらの再帰関係は、ピエトロ・アントニオ・カタルディ（1548–1626）によって得られた関係の表記法を単に変更したものです。
例として、 黄金比 φ を表す標準形の単純な連分数を考えてみましょう。
φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots \,}}}}}}}}} 基本的な漸化式を適用すると、連続する分子 A n は {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...} 、連続する分母 B n は {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} 、つまり フィボナッチ数列で あることが分かります。この例では、すべての部分分子が1であるため、行列式の公式から、連続する収束点間の差の絶対値は非常に急速にゼロに近づくことがわかります。
線形 分数変換 （LFT）は、次のような 形の 複素関数である。
w = f ( z ) = a z + b c z + d , {\displaystyle w=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\,} ここで、 z は複素変数、 a 、 b 、 c 、 dは cz + d ≠ 0 となる任意の複素定数です。w = f ( z ) が定数となる場合を排除するために、 ad ≠ bc という追加の制約が慣例的に課されます 。線型分数変換（メビウス変換とも呼ばれます ） に は、多くの魅力的な性質があります。そのうち4つは、連分数の解析理論の発展において特に重要です。
c ≠ 0 の場合、 LFT は1つまたは2つの 固定点 を持ちます。これは次の式からわかります。 f ( z ) = z ⇒ a z + b = c z 2 + d z ⇒ c z 2 + ( d − a ) z − b = 0 , {\displaystyle f(z)=z\Rightarrow az+b=cz^{2}+dz\Rightarrow cz^{2}+(d-a)z-b=0,} これは明らかに z に関する 二次方程式である。この方程式の根は f ( z ) の不動点である 。 判別式 ( d − a ) 2 + 4 bc がゼロの場合、LFTは1つの点を固定する。そうでない場合は、2つの不動点を持つ。 z = g ( w ) = + d w − b − c w + a {\displaystyle z=g(w)={\frac {{\phantom {+}}dw-b}{-cw+a}}\,} 拡張複素平面上の 任意の点 zに対して f ( g ( z ))= g ( f ( z ))= z が成り立ち、 f と gはともに極めて小さなスケールにおいて角度と形状を保存する。z = g ( w ) の形から、 g も LFTである ことがわかる。 ad ≠ bc となる2つの異なるLFTの 合成 は、それ自体が ad ≠ bc となるLFTである 。言い換えれば、 ad ≠ bc となるすべてのLFTの集合は、関数の合成に関して閉じている。このようなLFTの集合は、関数の「群演算」合成と合わせて、拡張複素平面の 自己同型群 として知られている。 a = 0 の場合、 LFT は次のように簡約される。 w = f ( z ) = b c z + d , {\displaystyle w=f(z)={\frac {b}{cz+d}},\,} これは、 z の非常に単純な 有理型関数 であり、1 つの 単純な極 （ − d / c ）と 剰余 は b / c . (ローラン級数 も参照 。)
LFTの合成としての連分数 単純な線形分数変換の列を考える
τ 0 ( z ) = b 0 + z , τ 1 ( z ) = a 1 b 1 + z , τ 2 ( z ) = a 2 b 2 + z , τ 3 ( z ) = a 3 b 3 + z , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{0}(z)&=b_{0}+z,\\[4px]\tau _{1}(z)&={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\\[4px]\tau _{2}(z)&={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\\[4px]\tau _{3}(z)&={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}} ここでは、各単純LFTを表すためにτ を用い 、関数の合成には従来の円記号記法を用いる。また、 n + 1個の 変換 τ i の合成を表すために、新しい記号 Τ n を導入する。すなわち、
T 1 ( z ) = τ 0 ∘ τ 1 ( z ) = τ 0 ( τ 1 ( z ) ) , T 2 ( z ) = τ 0 ∘ τ 1 ∘ τ 2 ( z ) = τ 0 ( τ 1 ( τ 2 ( z ) ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}{\big (}\tau _{1}(z){\big )},\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}{\Big (}\tau _{1}{\big (}\tau _{2}(z){\big )}{\Big )},\,\end{aligned}}} などなど。最初の式を2番目の式に直接代入すると、次のようになる。
T 1 ( z ) = τ 0 ∘ τ 1 ( z ) = b 0 + a 1 b 1 + z T 2 ( z ) = τ 0 ∘ τ 1 ∘ τ 2 ( z ) = b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + z {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\,\end{aligned}}} そして、一般的には、
T n ( z ) = τ 0 ∘ τ 1 ∘ τ 2 ∘ ⋯ ∘ τ n ( z ) = b 0 + K n i = 1 a i b i {\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,} ここで、有限連分数 Kの最後の部分分母は b n + z と理解されます 。そして、 b n + 0 = b n なので、反復LFT Τ n における点z = 0 の像は、 n 個の部分分子を持つ有限連分数の値です 。
T n ( 0 ) = T n + 1 ( ∞ ) = b 0 + K n i = 1 a i b i . {\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}
幾何学的解釈 有限連分数を反復線形分数変換Τn ( z ) による点の像として定義すると、 無限 連分数の直感的に魅力的な幾何学的解釈につながります。
関係
x n = b 0 + K n i = 1 a i b i = A n B n = T n ( 0 ) = T n + 1 ( ∞ ) {\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )\,} Τ n ( z ) と Τ n +1 ( z ) を基本的な漸化式で 書き直すと理解できる。
T n ( z ) = ( b n + z ) A n − 1 + a n A n − 2 ( b n + z ) B n − 1 + a n B n − 2 T n ( z ) = z A n − 1 + A n z B n − 1 + B n ; T n + 1 ( z ) = ( b n + 1 + z ) A n + a n + 1 A n − 1 ( b n + 1 + z ) B n + a n + 1 B n − 1 T n + 1 ( z ) = z A n + A n + 1 z B n + B n + 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\,\end{aligned}}} これらの式の最初の式では、比率は アン / B n z が ゼロに近づくにつれて、 比率は に近づく。2番目の図では、比率は に近づく。 アン / B n z が無限大に近づくにつれて 、これは最初の幾何学的解釈につながる。連分数が収束するならば、連続する収束関数は アン / B n は最終的に 任意に接近します 。線形分数変換 Τ n ( z )は 連続写像 である ため、 Τ n (0) = の任意に小さい近傍に写像される z = 0 の近傍が存在する必要があります アン / B n 同様に、無限遠点の近傍は、 Τ n (∞) = の任意の小さな近傍に写像される必要がある 。 A n −1 / B n −1 。したがって、連分数が収束する場合、変換 Τ n ( z )は、 n が大きくなる 非常に小さい z と非常に大きい z の両方を連分数の値 であるx の任意に小さい近傍に
z の中間値については 、連続収束が近づいていくため、
A n − 1 B n − 1 ≈ A n B n ⇒ A n − 1 A n ≈ B n − 1 B n = k {\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k\,} ここで kは便宜上導入された定数である。しかし、 Τn ( z ) の式に代入する と 、
T n ( z ) = z A n − 1 + A n z B n − 1 + B n = A n B n ( z A n − 1 A n + 1 z B n − 1 B n + 1 ) ≈ A n B n ( z k + 1 z k + 1 ) = A n B n {\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\,} そのため、 z の中間値 （ z ≈ − k −1 の場合を除く）でさえ、 nが 大きくなるにつれて、連分数の値である x の任意の小さな近傍に写像される 。直感的には、収束する連分数が拡張複素平面全体を一点に写像するのとほぼ同じである。 [16]
列 { Τ n } は拡張複素平面の 自己同型群 に含まれることに注意してください。なぜなら、各 Τ n は ab ≠ cd となる線型分数変換だからです 。そして、その自己同型群のどの元も拡張複素平面をそれ自身に写像します。つまり、どの Τ n も平面を単一の点に写像することはできません。しかし、極限において、列 { Τ n } は無限連分数を定義し、それは（収束するならば）複素平面上の単一の点を表します。
無限連分数が収束するとき、対応するLFTの列 { Τn } は 、連分数の値である x の方向に平面を「焦点」を合わせます。この過程の各段階で、平面上のより広い領域が x の近傍に写像され、残った平面上のより狭い領域は、その近傍の外側にあるすべてのものを覆うように、より薄く引き伸ばされます。 [17]
発散する連分数の場合、次の3つのケースを区別できます。
2つの列 { Τ 2 n −1 } と { Τ 2 n }は、それぞれ異なる値 x odd と x even を持つ2つの収束する連分数を定義する可能性があります。この場合、列 { Τ n } によって定義される連分数は、 2つの異なる極限点間の振動によって発散します。実際、この考え方は一般化できます。つまり、3つ、4つ、あるいは任意の数の極限点間の振動を持つ列 { Τ n } を構築できます。この場合の興味深い例は、列 { Τ n } が 拡張複素平面上の自己同型群内の有限位数の 部分群 を構成する場合に発生します。 数列 { Τ n } は、無限個の零分母 B i を生成すると同時に、有限収束点の部分列を生成する可能性がある。これらの有限収束点は、反復しないか、認識可能な振動パターンに陥らない可能性がある。あるいは、有限極限に収束するかもしれないし、複数の有限極限の間で振動するかもしれない。有限収束点がどのように振る舞うかに関わらず、数列 { Τ n } によって定義される連分数は、この場合、無限遠点との振動によって発散する。 [18] シーケンス { Τ n } は、有限個のゼロ分母 B i しか生成できません。一方、有限収束の部分シーケンスは、繰り返されることもなく、有限の限界に近づくこともないパターンで、平面上を激しく動き回ります。 単純な連分数の視覚的な解釈 ケース1と3の興味深い例は、単純な連分数を学ぶことによって構築できる。
x = 1 + z 1 + z 1 + z 1 + z 1 + ⋱ {\displaystyle x=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}}}\,} ここで、 zは z < − となる任意の実数である。 1 / 4 . [19]
オイラーは 次の等式を証明した：
a 0 + a 0 a 1 + a 0 a 1 a 2 + ⋯ + a 0 a 1 a 2 ⋯ a n = a 0 1 − a 1 1 + a 1 − a 2 1 + a 2 − ⋯ a n 1 + a n . {\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1-{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}.\,} このことから、次のような多くの結果が導き出されます。
1 u 1 + 1 u 2 + 1 u 3 + ⋯ + 1 u n = 1 u 1 − u 1 2 u 1 + u 2 − u 2 2 u 2 + u 3 − ⋯ u n − 1 2 u n − 1 + u n , {\displaystyle {\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}={\frac {1}{u_{1}-{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}}}}}}}},\,} そして
1 a 0 + x a 0 a 1 + x 2 a 0 a 1 a 2 + ⋯ + x n a 0 a 1 a 2 … a n = 1 a 0 − a 0 x a 1 + x − a 1 x a 2 + x − ⋯ a n − 1 x a n + x . {\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}}}}}}}.\,} 連分数と級数を結び付けるオイラーの公式は、基本的な不等式 [ リンクまたは 説明が必要 ] の動機であり、 収束問題 への基本的なアプローチの基礎でもあります 。
例
超越関数と超越数 ここでは、オイラーの恒等式 を介して構築できる 2 つの連分数を示します 。
e x = x 0 0 ! + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ = 1 + x 1 − 1 x 2 + x − 2 x 3 + x − 3 x 4 + x − ⋱ {\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}} log ( 1 + x ) = x 1 1 − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ = x 1 − 0 x + 1 2 x 2 − 1 x + 2 2 x 3 − 2 x + 3 2 x 4 − 3 x + ⋱ {\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}} 一般化された連分数をもう 1 つ示します。
arctan x y = x y 1 y 2 + ( 1 x y ) 2 3 y 2 − 1 x 2 + ( 3 x y ) 2 5 y 2 − 3 x 2 + ( 5 x y ) 2 7 y 2 − 5 x 2 + ⋱ = x 1 y + ( 1 x ) 2 3 y + ( 2 x ) 2 5 y + ( 3 x ) 2 7 y + ⋱ {\displaystyle \arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}} e x y = 1 + 2 x 2 y − x + x 2 6 y + x 2 10 y + x 2 14 y + x 2 18 y + ⋱ ⇒ e 2 = 7 + 2 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + ⋱ {\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}} log ( 1 + x y ) = x y + 1 x 2 + 1 x 3 y + 2 x 2 + 2 x 5 y + 3 x 2 + ⋱ = 2 x 2 y + x − ( 1 x ) 2 3 ( 2 y + x ) − ( 2 x ) 2 5 ( 2 y + x ) − ( 3 x ) 2 7 ( 2 y + x ) − ⋱ {\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}} この最後のアルゴリズムは、1970年代にアレクセイ・ニコラエヴィッチ・ホヴァンスキーが導き出したアルゴリズムに基づいています。 [20]
例: 2の自然対数 (= [0; 1, 2, 3, 1, 5, 2 / 3 、7、 1 / 2 、9、 2 / 5 ,..., 2 k − 1, 2 / け ,...] ≈ 0.693147...): [21]
log 2 = log ( 1 + 1 ) = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 2 2 + 2 5 + 3 2 + ⋱ = 2 3 − 1 2 9 − 2 2 15 − 3 2 21 − ⋱ {\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}
π ここにπ の 最もよく知られた一般連分数を 3 つ示します 。最初の連分数は、 上記のそれぞれの 逆正接の式で x = y = 1 に設定し、4 を掛けることによって得られます。π の ライプニッツ の式 :
π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + ⋱ = ∑ n = 0 ∞ 4 ( − 1 ) n 2 n + 1 = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + − ⋯ {\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots } 収束が遅すぎて、 n 桁の小数点以下の正しい桁数を得るには約 3×10 n 項が必要となる。ニラカンタ・ソマヤジ によって導出された級数は以下の通りである 。
π = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + ⋱ = 3 − ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) = 3 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 − 1 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + 1 3 ⋅ 4 ⋅ 7 − + ⋯ {\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots } ははるかに明白な式ですが （ なぜ？ ） 、それでも収束はかなり遅く、小数点以下5桁では約50項、小数点以下6桁では約120項を必要とします。どちらも π に 収束 します。一方、
π = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + ⋱ = 4 − 1 + 1 6 − 1 34 + 16 3145 − 4 4551 + 1 6601 − 1 38341 + − ⋯ {\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots } はπ に 線形 収束し 、4 つの項ごとに少なくとも 3 桁の精度が追加されます。これは π の逆正弦式 よりもわずかに速いペースです。
π = 6 sin − 1 ( 1 2 ) = ∑ n = 0 ∞ 3 ⋅ ( 2 n n ) 16 n ( 2 n + 1 ) = 3 16 0 ⋅ 1 + 6 16 1 ⋅ 3 + 18 16 2 ⋅ 5 + 60 16 3 ⋅ 7 + ⋯ {\displaystyle \pi =6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!} 5つの項ごとに少なくとも3桁の小数点を追加します。
注: この連分数の 収束率 μ は3 − √ 8 ≈ 0.1715729 に近づくため 、 1 / μ は 3 + √ 8 ≈ 5.828427 に近づき 、その 常用対数 は 0.7655... ≈ 13 / 17 > 3 / 4 . 同じ 1 / μ = 3 + √ 8 （ 白銀比の2 乗 ）は、 2 = 1 + 1を用いて計算した場合、 2の自然対数 と 2のn 乗根（ n > 1 の 任意の整数に有効 の両方 の展開された一般連分数でも観測されます。両方の式の展開された 一般連分数について 、収束速度 μ = (3 − √ 8 ) 2 = 17 − √ 288 ≈ 0.02943725 であるため、 1 / μ = (3 + √ 8 ) 2 = 17 + √ 288 ≈ 33.97056 、その常用対数は 1.531です... ≈ 26 / 17 > 3 / 2 、つまり2項ごとに少なくとも3桁の数字が追加されます。これは、折り畳み最大公約数が展開最大公約数の各分数ペアを1つの分数に折り畳むため、収束速度が2倍になるためです。Manny Sardinaの参考文献では、「折り畳み」連分数についてさらに詳しく説明しています。 注:逆 正接 の連分数の使用 × / y 上で引用した最もよく知られている マチンのような式は、 依然として線形ではあるが、さらに急速に収束する式を提供する。 π = 16 tan − 1 1 5 − 4 tan − 1 1 239 = 16 5 + 1 2 15 + 2 2 25 + 3 2 35 + ⋱ − 4 v + 1 2 717 + 2 2 1195 + 3 2 1673 + ⋱ . {\displaystyle \pi =16\tan ^{-1}{\cfrac {1}{5}}\,-\,4\tan ^{-1}{\cfrac {1}{239}}={\cfrac {16}{5+{\cfrac {1^{2}}{15+{\cfrac {2^{2}}{25+{\cfrac {3^{2}}{35+\ddots }}}}}}}}\,-\,{\cfrac {4}{v+{\cfrac {1^{2}}{717+{\cfrac {2^{2}}{1195+{\cfrac {3^{2}}{1673+\ddots }}}}}}}}.}
正の数の根 任意の正の数 z mの n 乗根 は、 z = x n + y と書き直すことで表すことができ 、
z m n = ( x n + y ) m n = x m + m y n x n − m + ( n − m ) y 2 x m + ( n + m ) y 3 n x n − m + ( 2 n − m ) y 2 x m + ( 2 n + m ) y 5 n x n − m + ( 3 n − m ) y 2 x m + ⋱ {\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}} これは、各分数のペアを1つの分数にまとめることで簡略化できます。
z m n = x m + 2 x m ⋅ m y n ( 2 x n + y ) − m y − ( 1 2 n 2 − m 2 ) y 2 3 n ( 2 x n + y ) − ( 2 2 n 2 − m 2 ) y 2 5 n ( 2 x n + y ) − ( 3 2 n 2 − m 2 ) y 2 7 n ( 2 x n + y ) − ( 4 2 n 2 − m 2 ) y 2 9 n ( 2 x n + y ) − ⋱ . {\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.} z の 平方根 は、 m = 1 かつ n = 2 の特別なケースです 。
z = x 2 + y = x + y 2 x + y 2 x + 3 y 6 x + 3 y 2 x + ⋱ = x + 2 x ⋅ y 2 ( 2 x 2 + y ) − y − 1 ⋅ 3 y 2 6 ( 2 x 2 + y ) − 3 ⋅ 5 y 2 10 ( 2 x 2 + y ) − ⋱ {\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}} これは、次の点に注意することで簡略化できます 。 5 / 10 = 3 / 6 = 1 / 2 :
z = x 2 + y = x + y 2 x + y 2 x + y 2 x + y 2 x + ⋱ = x + 2 x ⋅ y 2 ( 2 x 2 + y ) − y − y 2 2 ( 2 x 2 + y ) − y 2 2 ( 2 x 2 + y ) − ⋱ . {\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}.} 平方根は 周期連分数で表すこともできますが、上記の形式の方が適切な x と y でより速く収束します 。
例1 2 の立方根 ( 2 1/3 または 3 √ 2 ≈ 1.259921...) は、次の 2 つの方法で計算できます。
まず、 x = 1 、 y = 1 、 2 z − y = 3 の「標準表記」は次のようになります 。
2 3 = 1 + 1 3 + 2 2 + 4 9 + 5 2 + 7 15 + 8 2 + 10 21 + 11 2 + ⋱ = 1 + 2 ⋅ 1 9 − 1 − 2 ⋅ 4 27 − 5 ⋅ 7 45 − 8 ⋅ 10 63 − 11 ⋅ 13 81 − ⋱ . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.} 次に、 x = 5 、 y = 3 、 2 z − y = 253 で急速に収束します。
2 3 = 5 4 + 0.5 50 + 2 5 + 4 150 + 5 5 + 7 250 + 8 5 + 10 350 + 11 5 + ⋱ = 5 4 + 2.5 ⋅ 1 253 − 1 − 2 ⋅ 4 759 − 5 ⋅ 7 1265 − 8 ⋅ 10 1771 − ⋱ . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.}
例2 ポグソン比 （100 1/5 または 5 √ 100 ≈ 2.511886...）、 x = 5 、 y = 75、2 z − y = 6325の 場合 ：
100 5 = 5 2 + 3 250 + 12 5 + 18 750 + 27 5 + 33 1250 + 42 5 + ⋱ = 5 2 + 5 ⋅ 3 1265 − 3 − 12 ⋅ 18 3795 − 27 ⋅ 33 6325 − 42 ⋅ 48 8855 − ⋱ . {\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {3}{250+{\cfrac {12}{5+{\cfrac {18}{750+{\cfrac {27}{5+{\cfrac {33}{1250+{\cfrac {42}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {5\cdot 3}{1265-3-{\cfrac {12\cdot 18}{3795-{\cfrac {27\cdot 33}{6325-{\cfrac {42\cdot 48}{8855-\ddots }}}}}}}}.}
例3 2の12乗根 （ 2 1/12 または 12 √ 2 ≈ 1.059463...）を「標準表記」で表すと、
2 12 = 1 + 1 12 + 11 2 + 13 36 + 23 2 + 25 60 + 35 2 + 37 84 + 47 2 + ⋱ = 1 + 2 ⋅ 1 36 − 1 − 11 ⋅ 13 108 − 23 ⋅ 25 180 − 35 ⋅ 37 252 − 47 ⋅ 49 324 − ⋱ . {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=1+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {11}{2+{\cfrac {13}{36+{\cfrac {23}{2+{\cfrac {25}{60+{\cfrac {35}{2+{\cfrac {37}{84+{\cfrac {47}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{36-1-{\cfrac {11\cdot 13}{108-{\cfrac {23\cdot 25}{180-{\cfrac {35\cdot 37}{252-{\cfrac {47\cdot 49}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}
例4 平均律 の 完全五度 （2 7/12 または 12 √ 2 7 ≈ 1.498307...）（ m = 7 ）の場合：
「標準表記」の場合：
2 7 12 = 1 + 7 12 + 5 2 + 19 36 + 17 2 + 31 60 + 29 2 + 43 84 + 41 2 + ⋱ = 1 + 2 ⋅ 7 36 − 7 − 5 ⋅ 19 108 − 17 ⋅ 31 180 − 29 ⋅ 43 252 − 41 ⋅ 55 324 − ⋱ . {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}=1+{\cfrac {7}{12+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {19}{36+{\cfrac {17}{2+{\cfrac {31}{60+{\cfrac {29}{2+{\cfrac {43}{84+{\cfrac {41}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 7}{36-7-{\cfrac {5\cdot 19}{108-{\cfrac {17\cdot 31}{180-{\cfrac {29\cdot 43}{252-{\cfrac {41\cdot 55}{324-\ddots }}}}}}}}}}.} x = 3 、 y = −7153 、 2 z − y = 2 19 + 3 12 で急速に収束します 。
2 7 12 = 1 2 3 12 − 7153 12 = 3 2 − 0.5 ⋅ 7153 4 ⋅ 3 12 − 11 ⋅ 7153 6 − 13 ⋅ 7153 12 ⋅ 3 12 − 23 ⋅ 7153 6 − 25 ⋅ 7153 20 ⋅ 3 12 − 35 ⋅ 7153 6 − 37 ⋅ 7153 28 ⋅ 3 12 − 47 ⋅ 7153 6 − ⋱ {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {1}{2}}{\sqrt[{12}]{3^{12}-7153}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {0.5\cdot 7153}{4\cdot 3^{12}-{\cfrac {11\cdot 7153}{6-{\cfrac {13\cdot 7153}{12\cdot 3^{12}-{\cfrac {23\cdot 7153}{6-{\cfrac {25\cdot 7153}{20\cdot 3^{12}-{\cfrac {35\cdot 7153}{6-{\cfrac {37\cdot 7153}{28\cdot 3^{12}-{\cfrac {47\cdot 7153}{6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}} 2 7 12 = 3 2 − 3 ⋅ 7153 12 ( 2 19 + 3 12 ) + 7153 − 11 ⋅ 13 ⋅ 7153 2 36 ( 2 19 + 3 12 ) − 23 ⋅ 25 ⋅ 7153 2 60 ( 2 19 + 3 12 ) − 35 ⋅ 37 ⋅ 7153 2 84 ( 2 19 + 3 12 ) − ⋱ . {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {3\cdot 7153}{12(2^{19}+3^{12})+7153-{\cfrac {11\cdot 13\cdot 7153^{2}}{36(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {23\cdot 25\cdot 7153^{2}}{60(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {35\cdot 37\cdot 7153^{2}}{84(2^{19}+3^{12})-\ddots }}}}}}}}.} この手法の詳細については、 「(折り畳まれた)連分数を使用して根を抽出する一般的な方法」 を参照してください。
高次元 一般化連分数 のもう一つの意味は 、高次元への一般化です。例えば、無理実数 α の標準形の単純連分数と、 2次元における 整数格子点が直線 y = αx の両側に位置する様子との間には密接な関係があります 。この考え方を一般化すると、3次元以上の格子点に関連する事柄について考えることができます。この分野を研究する理由の一つは、 数学的な一致の 概念を定量化することです。例えば、 複数の実数からなる 単項式について、 対数形式を取り、それがどれだけ小さくなるかを検討します。もう一つの理由は、 エルミート問題 の可能な解を見つけることです 。
一般化された理論を構築しようとする試みは数多く行われてきました。この方向における注目すべき取り組みとしては、 フェリックス・クライン （ クライン多面体 ）、 ジョルジュ・ポワトゥ 、 ジョージ・シェケレス などが挙げられます。
参照
注記 ^ ユークリッド (2008) - ユークリッドの互除法は副産物として連分数を生成します。 ^ ブラーマグプタ （598-670）はペル方程式を体系的に研究した最初の数学者であった。 ^ ロレンツェン＆ワーデランド 1992. ^ オスカー・ペロンは、 連分数に対するさらに一般的な拡大・縮小公式を導出している。Perron (1977a)、Perron (1977b)を参照。 ^ この直感的な解釈は厳密ではない。なぜなら、無限連分数は写像ではなく、 写像の列の極限 だからである。この無限連分数の構成は、無理数を有理数の コーシー列 の極限として構成することとほぼ類似している。 ^ このような類似性のため、等角写像 の理論は 「ゴムシート幾何学」と説明されることもあります。 ^ 収束問題 に対する一つのアプローチは 、分母 B i が決してゼロにならない正定値 連分数を構築することです 。 ^ 周期 1 のこの周期分数については、収束問題の 記事でさらに詳しく説明します 。 ^ log(x)を計算する別の方法 ^ Borwein、Crandall＆Fee 2004、278、280ページ。
参考文献 アンジェル、デイヴィッド (2010). 「連分数の族」 (PDF) . 数論ジャーナル . 130 (4). エルゼビア: 904–911 . doi :10.1016/j.jnt.2009.12.003. カタルディ、ピエトロ・アントニオ (1613)。 Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri [ 数値の平方根を簡単に求める方法に関する論文 ]。 Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E. (1989). The Markoff and Lagrange Spectra . American Mathematical Society. pp. 89. ISBN 0-8218-1531-8 。 ユークリッド (2008) [紀元前300年].「原論」. クレイ数学研究所. オイラー、レオンハルト (1748). 「E101 – 無限解析入門 第1巻」. オイラー・アーカイブ. 2022年 5月2日 閲覧 。 ジョーンズ、ウィリアム・B.；スロン、WJ（1980） 連分数 解析理論とその応用 数学とその応用百科事典 第11巻 マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー ISBN 0-201-13510-8 . Zbl 0445.30003。 （分析理論と歴史の両方をカバーしています。） ペロン、オスカー (1977a) [1954]。 ディ・レーレ・フォン・デン・ケッテンブリュヘン 。 Vol.バンド I: エレメンターレ ケッテンブリュッヘ (第 3 版)。 Vieweg + Teubner Verlag。 ISBN 9783519020219 。 ペロン、オスカー (1977b) [1954]。 ディ・レーレ・フォン・デン・ケッテンブリュヘン 。 Vol.バンド II: 分析機能理論ケッテンブリュッヘ (第 3 版)。 Vieweg + Teubner Verlag。 ISBN 9783519020226 。 Porubský, Štefan (2008). 「連分数の基本定義」. アルゴリズム数学のためのインタラクティブ情報ポータル . チェコ共和国プラハ：チェコ科学アカデミーコンピュータサイエンス研究所. 2022年 5月2日 閲覧 . Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 「第5.2節 連分数の計算」. 数値計算レシピ：科学計算の技法 （第3版）. ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-88068-8 . 2021年5月6日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2011年8月8日 閲覧。 サルディーナ、マニー (2007).「（折り畳み）連分数を用いた根の一般的な抽出法」サリー（英国） ジョージ・セーケレス (1970)。 「多次元連分数」。 アン。大学科学。ブダペスト。エトヴェシュ宗派数学 。 13 : 113–140 . フォン・コッホ、ヘルゲ (1895)。 「Sur un théorème de Stieltjes et sur les fonctions définies par des fractions は続く」。 フランス数学協会紀要 。 23 : 33–40 . 土井 : 10.24033/bsmf.508 。 JFM 26.0233.01。
外部リンク 無料辞書のウィクショナリーで 連分数 を調べてください。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{0}(z)&=b_{0}+z,\\[4px]\tau _{1}(z)&={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\\[4px]\tau _{2}(z)&={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\\[4px]\tau _{3}(z)&={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d7698a7e33e75b5841fd7bddb2295ce4ec116d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc93223abc967db688a6fb82f7972d18fddc0b88)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\,\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e09db95c89227a4bf95705b98e2bcab4c39c23)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{nm}+{\cfrac {(nm)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{nm}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{nm}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f45543d8d926fc4166bab352dad855eff67283)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ca4eebd9f9f51d6a7ce01affd6e4288c645997)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78ea30b53ecb650843fdde319480186c0239829)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576542aa065d8a920a2890870859c18112b0892e)
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {3}{250+{\cfrac {12}{5+{\cfrac {18}{750+{\cfrac {27}{5+{\cfrac {33}{1250+{\cfrac {42}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {5\cdot 3}{1265-3-{\cfrac {12\cdot 18}{3795-{\cfrac {27\cdot 33}{6325-{\cfrac {42\cdot 48}{8855-\ddots }}}}}}}}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b0aff33195c2412db1a0ee985eb6ccf1b552c4)
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=1+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {11}{2+{\cfrac {13}{36+{\cfrac {23}{2+{\cfrac {25}{60+{\cfrac {35}{2+{\cfrac {37}{84+{\cfrac {47}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{36-1-{\cfrac {11\cdot 13}{108-{\cfrac {23\cdot 25}{180-{\cfrac {35\cdot 37}{252-{\cfrac {47\cdot 49}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f8fa3593557440bd49cd167a8b180a0916aa24)
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}=1+{\cfrac {7}{12+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {19}{36+{\cfrac {17}{2+{\cfrac {31}{60+{\cfrac {29}{2+{\cfrac {43}{84+{\cfrac {41}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 7}{36-7-{\cfrac {5\cdot 19}{108-{\cfrac {17\cdot 31}{180-{\cfrac {29\cdot 43}{252-{\cfrac {41\cdot 55}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada4496628085c3f74730eb2b2f8fc42382aa107)
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {1}{2}}{\sqrt[{12}]{3^{12}-7153}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {0.5\cdot 7153}{4\cdot 3^{12}-{\cfrac {11\cdot 7153}{6-{\cfrac {13\cdot 7153}{12\cdot 3^{12}-{\cfrac {23\cdot 7153}{6-{\cfrac {25\cdot 7153}{20\cdot 3^{12}-{\cfrac {35\cdot 7153}{6-{\cfrac {37\cdot 7153}{28\cdot 3^{12}-{\cfrac {47\cdot 7153}{6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd5984869cf9a6f110f96d1b09c28dcb907d301)
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {3\cdot 7153}{12(2^{19}+3^{12})+7153-{\cfrac {11\cdot 13\cdot 7153^{2}}{36(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {23\cdot 25\cdot 7153^{2}}{60(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {35\cdot 37\cdot 7153^{2}}{84(2^{19}+3^{12})-\ddots }}}}}}}}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687483556b9c46bc7b52b683e32155806b3e75f2)
