連続確率過程

Stochastic process that is a continuous function of time or index parameter

確率論において、連続確率過程とは、その「時間」または指標パラメータの関数として「連続」であると言える確率過程の一種です。連続性は、過程（のサンプルパス）が持つべき特性です。なぜなら、連続性は、それらがある意味で適切に振る舞うことを意味するため、解析がはるかに容易になるからです。ここでは、確率過程の指標が連続変数であることが暗黙的に示されています。一部の著者^{[1]は、 「連続（確率）過程」を、指標変数が連続であることのみを必要とし、サンプルパスの連続性は必要としないものとして定義しています。別の用語で言えば、これは「離散時間過程」と並行する}連続時間確率過程となります。混乱が生じる可能性があるため、注意が必要です。^[1]

定義

(Ω, Σ,  P )を確率空間とし、T をある時間間隔とし、X  :  T  × Ω →  Sを確率過程とする。本稿では簡潔にするため、状態空間Sを実数直線 Rとするが、 SがR ⁿ、ノルムベクトル空間、あるいは一般計量空間であっても、定義は適宜変更して適用される。

継続はほぼ確実

時刻t  ∈  Tが与えられたとき、X がtにおいて確率1で連続であるとは、

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}=0\right.\right\}\right)=1.}$

平均二乗連続性

時刻t  ∈  Tにおいて、E [ | X _t | 2 ] ^< + ∞かつ

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}^{2}\right]=0.}$

確率の連続性

時刻t  ∈  Tが与えられたとき、すべてのε  > 0に対して、 Xがtにおいて確率的に連続であるとは、

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\geq \varepsilon \right.\right\}\right)=0.}$

または同等

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}<\varepsilon \right.\right\}\right)=1.}$

同様に、Xが時刻tにおいて確率的に連続であるのは、

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\frac {{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}{1+{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}}\right]=0.}$

流通の継続性

時刻t  ∈  Tが与えられたとき、X がtにおいて分布連続であるとは、

${\displaystyle \lim _{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)}$

F _tが連続するすべての点xについて、F _tは確率変数X _tの累積分布関数を表します。

サンプルの連続性

X _t ( ω ) がP -ほぼすべてのω ∈ Ωに対してtで連続であるとき、 Xは標本連続であるという。標本連続性は、伊藤拡散 のような過程における連続性の適切な概念である。

フェラー連続性

Xがフェラー連続過程であるとは、任意の固定されたt  ∈  Tと、任意の有界で連続かつΣ測定可能な関数 g  :  S  →  Rに対して、E ^x [ g ( X _t )] がxに連続的に依存する場合を言う。ここで、 x は過程Xの初期状態を表し、E ^{x は}X がxから開始するという事象を条件とする期待値を表す。

人間関係

確率過程の様々な連続性の関係は、確率変数の様々な収束性の関係に似ています。特に、

• 確率の連続性は確率の連続性を意味する。
• 平均二乗の連続性は確率の連続性を意味する。
• 確率 1 の連続性は平均二乗の連続性を意味するものではなく、また平均二乗の連続性によっても意味されるものではありません。
• 確率の連続性は分布の連続性を意味しますが、分布の連続性によってそれが意味されるわけではありません。

確率1の連続性と標本連続性を混同しがちです。時刻tにおける確率1の連続性は、 P ( A _t ) = 0を意味します。ここで、事象A _tは次のように与えられます。

${\displaystyle A_{t}=\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\neq 0\right.\right\},}$

そして、各t∈Tに対してこれが成り立つかどうかを調べることは完全に可能である 。 一方、標本連続性はP ( A ) = 0を必要とする。ここで

${\displaystyle A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.}$

Aは事象の非可算和 集合であるため、実際には事象ではない可能性があり、P ( A ) は未定義となる可能性があります。さらに悪いことに、A が事象であっても、すべてのt  ∈  Tに対してP ( A _t ) = 0であっても、 P ( A ) は厳密に正となる可能性があります。これは、例えば電信過程の場合に当てはまります。

注記

1. Dodge, Y. (2006)オックスフォード統計用語辞典、OUP. ISBN 0-19-920613-9（「連続プロセス」のエントリ）

参考文献

• クローデン、ピーター E.プラテン、エックハルト (1992)。確率微分方程式の数値解。数学の応用 (ニューヨーク) 23. ベルリン: Springer-Verlag。38 ～ 39ページ 。ISBN 3-540-54062-8。
• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式：応用入門（第6版）. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。（補題8.1.4参照）

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