連続関数（集合論）

集合論において、連続関数とは、極限段階において仮定される値が、それ以前の段階における全ての値の極限（極限上限と極限下限）となるような順序数の列である。より正式には、γ を順序数とし、γ列の順序数とする。すると、 s は、すべての極限順序数β < γにおいて連続となる。 $s:=\langle s_{\alpha }|\alpha <\gamma \rangle$

s_{\beta }=\limsup\{s_{\alpha }:\alpha <\beta \}=\inf\{\sup\{s_{\alpha }:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}

そして

s_{\beta }=\liminf\{s_{\alpha }:\alpha <\beta \}=\sup\{\inf\{s_{\alpha }:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}\,.

あるいは、sが増加関数である場合、s : γ → range( s ) が連続関数である場合、集合がそれぞれ順序位相を備えている。これらの連続関数は、共終性や基数においてよく用いられる。

正規関数は、連続かつ厳密に増加する関数です。

参考文献

トーマス・ジェック著 『集合論』、第3千年紀版、2002年、Springer Monographs in Mathematics、Springer、ISBN 3-540-44085-2

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