連続関数微積分

数学、特に作用素論とC*-代数理論において、連続関数計算はC*-代数の 通常の要素に連続関数を適用できる関数計算です。

高度な理論では、この関数計算の応用はあまりにも自然であるため、しばしば言及されることさえありません。連続関数計算が、C*-代数と、正則関数計算のみが存在する 一般バナッハ代数との違いを生み出していると言っても過言ではありません。

モチベーション

バナッハ代数の元のスペクトル上の多項式に対する自然な関数計算を、スペクトル上の連続関数に対する関数計算に拡張する場合、ストーン・ワイエルシュトラスの定理に従って連続関数を多項式で近似し、これらの多項式に元を挿入して、この要素の列が に収束することを示すことは明らかです。上の連続関数は、およびの多項式、つまり、形式の多項式で近似されます。ここで、 は複素数上の反転である複素共役を表します。^[1]この種の多項式の代わりにを挿入できるようにするために、バナッハ *-代数、つまり反転 * も持つバナッハ代数が考慮され、の代わりに が挿入されます。準同型を得るためには、多項式環が可換 であるため、通常の元、つまり を持つ元への制限が必要です。が連続関数 に一様収束する多項式列である場合、その列がの元に収束することが保証されなければならない。この収束問題を詳細に解析すると、C*-代数に頼る必要があることがわかる。これらの考察から、いわゆる連続関数計算が導かれる。 ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}$ ${\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f(a)}$

定理

連続関数計算— を単位元を持つC*-代数の正規元とし、を 上の連続関数の可換C*-代数（のスペクトル）とします。このとき、 に対して 、に対しての* -準同型がちょうど1つ存在し、に対しての恒等関数が存在します。^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Phi _{a}\colon C(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}(z)=1}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a}$

この写像は、正規元 の連続関数計算と呼ばれます。通常は、暗示的に と設定されます。^[3] ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a):=\Phi _{a}(f)}$

*-準同型性により、すべての関数とスカラーには以下の計算規則が適用されます。^[4] ${\displaystyle f,g\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle (\lambda f+\mu g)(a)=\lambda f(a)+\mu g(a)\qquad }$	（リニア）
${\displaystyle (f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)}$	（乗法）
${\displaystyle {\overline {f}}(a)=\colon \;(f^{*})(a)=(f(a))^{*}}$	（転用的）

したがって、実際に通常の要素を連続関数に挿入すると、明らかな代数演算が期待どおりに動作すると考えられます。

単位元の必要性は大きな制約ではない。必要であれば、単位元を付加して拡大C*-代数 を得ることもできる。そして と が成り立つならば、とが成り立つ。^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}}$

連続関数計算の存在と一意性は別々に証明される。

• 存在:およびによって生成されたC*-部分代数におけるのスペクトルはにおける のスペクトルと同じなので、 について のステートメントを示せば十分である。^[6]実際の構築はゲルファント表現からほぼ直接的である。をあるコンパクト空間上の連続関数の C*-代数と仮定し、 を定義すれば十分である。^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(f)=f\circ x}$

• 一意性：と は固定されているので、はすべての多項式 に対して既に一意に定義されています。これは、 が*-準同型であることによるものです。これらは、ストーン＝ワイエルシュトラスの定理によりの稠密部分代数を形成します。したがって、は一意です。^[7] ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$

関数解析においては、正規作用素に対する連続関数計算がしばしば関心の対象となります。具体的には、 がヒルベルト空間上の有界作用素のC*-代数である場合です。文献では、連続関数計算はこのような設定において自己随伴作用素に対してのみ証明されることが多いです。この場合、証明にはゲルファント表現は必要ありません。^[8] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle H}$

連続関数計算のさらなる性質

連続関数計算は、とによって生成されるC*部分代数への等長同型であり、次のようになる。^[7] ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

• ${\displaystyle \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}}$すべての に対して、したがって連続です。 ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$
• ${\displaystyle \Phi _{a}\left(C(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}}}$

は の正規元なので、とによって生成される C*-部分代数は可換である。特に、は正規元であり、関数計算のすべての元は可換である。^[9] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f(a)}$

正則関数計算は連続関数計算によって明確に拡張される。[ ^10]したがって、多項式の場合、連続関数計算は多項式に対する自然な関数計算に対応する。すべての に対して となる。[ ^3] ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})}$ ${\textstyle \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l}}$ ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}$ ${\displaystyle c_{k,l}\in \mathbb {C} }$

関数に一様収束する関数列 はに収束する。^[11]冪級数はに絶対一様収束するので、 が成り立つ。[ ^12] ${\displaystyle f_{n}\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle f_{n}(a)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$

と の合成に対してが成り立つ。^[5]が2 つの正規元でがとの両方におけるの逆関数である場合、となる。なぜならであるからである。 ^[13] ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}$ ${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (b)}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$

スペクトル写像定理は、すべての に対して適用されます。^[7] ${\displaystyle \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

が に対して成り立つなら、すべての に対しても成り立ちます。つまり、が と交換可能であれば、連続関数計算 の対応する要素とも交換可能です。^[14] ${\displaystyle ab=ba}$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f(a)b=bf(a)}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)}$

をC*-代数と の間の単位*-準同型とする。するとは連続関数計算と可換となる。すべての に対して以下が成立する。特に、連続関数計算はゲルファント表現と可換である。^[4] ${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi (f(a))=f(\Psi (a))}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

スペクトル写像定理によれば、特定の性質を持つ関数はC*-代数の元の特定の性質と直接関連付けられる。^[15]

• ${\displaystyle f(a)}$が逆行列を持つ場合、かつその場合に限り、 は に零点を持たない。^[16]そして成り立つ。^[17] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$

• ${\displaystyle f(a)}$が自己随伴となるのは、が実数値、すなわち の場合のみです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(a)}$が正( )となるのは、すなわち の場合のみです。 ${\displaystyle f(a)\geq 0}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$
• ${\displaystyle f(a)}$のすべての値が円周群内にある場合、つまり の場合、 はユニタリです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle f(a)}$は、とのみをとる場合、つまり の場合、射影になります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$

これらは、アプリケーション セクションに示されている特定の要素のスペクトルに関する記述に基づいています。

ヒルベルト空間 の有界作用素のC*-代数 という特殊な場合においては、正規作用素の固有値の固有ベクトルは、作用素 の固有値の固有ベクトルでもある。ならば、すべての に対して も成り立つ。^[18] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v\in H}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$ ${\displaystyle f(T)}$ ${\displaystyle Tv=\lambda v}$ ${\displaystyle f(T)v=f(\lambda )v}$ ${\displaystyle f\in \sigma (T)}$

アプリケーション

以下の応用は、連続関数計算の数多くの応用のうちの典型的で非常に単純な例です。

スペクトラム

をC*-代数と正規元とする。するとスペクトルには次式が成り立つ：^[15] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$

• ${\displaystyle a}$が自己随伴となるのは、 の場合のみです。 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle a}$がユニタリであるのは、 の場合に限ります。 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle a}$が射影となるのは、 の場合のみです。 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

証明。^[3]正規元に対する連続関数計算はとの*準同型であり、したがって もが自己随伴/ユニタリ/射影である場合、 は自己随伴である。 がすべての に対して成り立つ場合、すなわちが実数である場合、 はまさにそのときが自己随伴である。 がすべての に対して成り立つ場合、すなわちがユニタリである場合、 はまさにそのとき が射影である。がすべての に対して成り立つ場合、すなわち が射影である。 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} )=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} \in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}}}$ ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle {\text{Id}}}$ ${\displaystyle 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2}}$ ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}$ ${\displaystyle {\text{Id}}}$ ${\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z)}}$ ${\displaystyle z^{2}=z={\overline {z}}}$ ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

ルーツ

をC*-代数 の正元とする。すると、任意の に対して、を満たす正元、すなわち唯一の乗根が一意に存在する。^[19] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n}$

証明：各 に対して、根関数は上の連続関数である。が連続関数微分積分を用いて定義されるならば、微分積分の性質から が成り立つ。スペクトル写像定理から が成り立ち、すなわち は正である。^[19]が の別の正元である場合、 が成り立つ。これは、正の実数上の根関数が の逆関数であるためである。^[13] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ${\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)}$ ${\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a}$ ${\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle c^{n}=a=b^{n}}$ ${\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

が自己随伴元である場合、少なくともすべての奇数に対して、 を満たす一意に決定された自己随伴元が存在する。^[20] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$

同様に、 C*-代数 の正元 に対して、それぞれ はの一意に定まる正元を定義し、 はすべての に対して成り立つ。が可逆な場合、これは の負の値にも拡張できる。^[19] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ${\displaystyle a^{\alpha }}$ ${\displaystyle C^{*}(a)}$ ${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \geq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$

絶対値

の場合には、元は正であり、正の実数上で連続なので、絶対値は連続関数計算によって定義できる。^[21] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$ ${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}$

C*-代数 の自己随伴元 とすると、が成り立つ正元 が存在し、 が成り立つ。元と は、正部分 と負部分とも呼ばれる。^[22]さらに、が成り立つ。^[23] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$

証明．関数および はおよび上で連続な関数である．およびを置く．スペクトル写像定理によれば，および はおよびが成り立つ正の元である．^[22]さらにが成り立つ．^[23] ${\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}$ ${\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z)}$ ${\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0}$ ${\displaystyle a_{+}=f_{+}(a)}$ ${\displaystyle a_{-}=f_{-}(a)}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}}$ ${\textstyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}}}$ ${\textstyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}}$

単位元

が単位元 を持つC*-代数の自己随伴元である場合、 はユニタリ元であり、 は虚数単位を表す。逆に、 がユニタリ元である場合、スペクトルが単位円の真部分集合であるという制約、すなわちを持つ自己随伴元が存在する。^[24] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}$ ${\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$

証明。^[24]は の場合であり、は自己随伴なので、 、すなわちは のスペクトル上の関数である。なので、関数計算を用いると、すなわち はユニタリとなる。他の命題に対して が存在するので、関数はのスペクトル上の実数値連続関数であり、 はを満たす自己随伴元である。 ${\displaystyle u=f(a)}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1}$ ${\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \sigma (u)\subseteq \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}\mid z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi \}}$ ${\displaystyle f(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z})=z}$ ${\displaystyle \sigma (u)}$ ${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi }$ ${\displaystyle a=f(u)}$ ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} f(u)}=u}$

スペクトル分解定理

を単位C*-代数、を正規元とする。スペクトルは、すべての に対して互いに素な閉部分集合、すなわちから構成されるとする。すると、すべての に対して以下の性質を持つ射影が存在する：^[25] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle 1\leq j,k\leq n}$

• スペクトルについては、成立します。 ${\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}}$
• 射影は と交換されます。つまり です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p_{k}a=ap_{k}}$
• 投影は直交、すなわち です。 ${\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}}$
• 投影の合計は単位要素、つまり です。 ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e}$

特に、 の分解があり、これはすべての に対して成り立ちます。 ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ${\displaystyle \sigma (a_{k})=\sigma _{k}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

証明^[25]すべてが閉じているので、特性関数は上で連続である。ここで、連続関数を用いて を定義する。 は互いに素であるため、と が成り立ち、したがって は主張されている性質を満たす。これは連続関数方程式の性質からわかる。最後のステートメントについては、 としよう。 ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)}$

注記

1. ディクスミア 1977、3ページ。
2. ディクスミア 1977年、12～13ページ。
3. Kadison & Ringrose 1983、272ページ。
4. Dixmier 1977、p.5、13より。
5. Dixmier 1977、14ページより。
6. ディクスミア 1977、11ページ。
7. Dixmier 1977、13ページ。
8. リード＆サイモン 1980年、222～223頁。
9. ディクスミア 1977年、5、13頁。
10. カニウト 2009、147ページ。
11. ブラックアダー 2006年、62ページ。
12. デイトマール & エヒターホフ 2014、p. 55.
13. カディソンとリングローズ 1983、p. 275.
14. カディソン＆リングローズ 1983年、239ページ。
15. カディソンとリングローズ 1983、p. 271.
16. カバロ 2014、332ページ。
17. シュミュッゲン 2012、93ページ。
18. リード＆サイモン 1980年、222ページ。
19. Kadison & Ringrose 1983、248–249ページ。
20. ブラックアダー 2006年、63ページ。
21. ブラックアダー 2006年、64～65頁。
22. カディソンとリングローズ 1983、p. 246.
23. Dixmier 1977、15ページより。
24. Kadison & Ringrose 1983、274–275。
25. カバロ 2014、375ページ。

参考文献

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• デイトマー、アントン、エヒターホフ、ジークフリート (2014). 『調和解析の原理』 第2版. シュプリンガー. ISBN 978-3-319-05791-0。
• ジャック・ディクスミエ（1969年）。Les C*-algebres et leurs représentations (フランス語)。ゴーティエ・ヴィラール。
• ディクスミア、ジャック (1977). C*-代数. ジェレット、フランシス訳. アムステルダム/ニューヨーク/オックスフォード: 北ホランド. ISBN 0-7204-0762-1。Les C*-algèbres et leurs représentations (フランス語)の英語翻訳。ゴーティエ・ヴィラール。 1969年。
• カバロ、ウィンフリード (2014)。Aufbaukurs 機能分析と演算子理論(ドイツ語)。ベルリン/ハイデルベルク：シュプリンガー。ISBN 978-3-642-37794-5。
• カディソン, リチャード・V.; リングローズ, ジョン・R. (1983). 『作用素環理論の基礎』 第1巻 初等理論. ニューヨーク/ロンドン: アカデミック・プレス. ISBN 0-12-393301-3。
• カニウト、エバーハルト (2009). 『可換バナッハ代数講座』シュプリンガー. ISBN 978-0-387-72475-1。
• シュミュッゲン、コンラッド (2012).ヒルベルト空間上の非有界自己随伴作用素. シュプリンガー. ISBN 978-94-007-4752-4。
• リード、マイケル、サイモン、バリー (1980). 『現代数理物理学の方法』第1巻. 関数解析. サンディエゴ、カリフォルニア州: アカデミック・プレス. ISBN 0-12-585050-6。
• 竹崎正道 (1979).作用素環論 I.ハイデルベルク/ベルリン: シュプリンガー. ISBN 3-540-90391-7。

外部リンク

• PlanetMathにおける連続関数微積分

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