制御性

Dynamic system property

制御可能性は制御システムの重要な特性であり、フィードバックを使用した不安定システムの安定化、問題の追跡、最適な制御戦略の取得、または状態に望ましい効果をもたらす入力の単純な規定など、多くの調整問題で重要な役割を果たします。

制御可能性と観測可能性は二重の概念です。制御可能性は適切な入力を選択することで状態を制御することを意味し、観測可能性は出力を観測することで状態を把握できることを意味します（ただし、入力も観測されていると仮定します）。

広義に言えば、可制御性の概念は、特定の許容される操作のみを用いて、システムをその構成空間内で制御する能力に関係します。正確な定義は、扱うフレームワークやモデルの種類によって異なります。

以下は、システムと制御の文献で紹介されている制御可能性の概念のさまざまな例です。

• 状態制御可能性：システムを状態間で制御する能力
• 強力な制御性: 指定された時間枠内で状態を切り替える能力
• 集団制御可能性：動的システムの集合を同時に制御する能力
• 軌道制御性: 望ましい最終状態ではなく、事前に定義された軌道に沿って操縦する能力
• 出力制御性：出力を指定された値に制御する能力
• 行動枠組みにおける制御可能性：過去と未来の入力と出力の軌跡間の適合性条件

状態の制御可能性

決定論的システムの状態は、システムのすべての状態変数（動方程式によって特徴付けられる変数）の値の集合であり、任意の時点におけるシステムを完全に記述します。特に、現時点での状態が既知であり、制御変数（値が選択可能な変数）の現在値と将来値がすべて既知である場合、システムの過去に関する情報は将来予測に役立ちません。

完全な状態制御可能性（または他の文脈が与えられていない場合は単に制御可能性）は、外部入力（制御変数のベクトル）がシステムの内部状態を有限の時間間隔内に任意の初期状態から任意の最終状態に移動させる能力を表します。 ^{[1] ：737}

つまり、非公式には制御可能性を次のように定義できます。任意の初期状態x ₀と任意の終了状態x _{fに対して、有限の時間間隔でシステムの状態を}x _0からx _fに転送する入力シーケンスが存在する場合、状態空間表現によってモデル化されたシステムは制御可能です。連続線形時不変 (LTI) システムの最も単純な例では、状態空間式ẋ = A x ( t ) + B u ( t )の行次元によって間隔が決定されます。各行は、システムの状態空間にベクトルを提供します。 xの状態空間にまたがるのに十分なそのようなベクトルがない場合、システムは制御可能性を実現できません。制御可能性を実現するために推定される基礎となる微分関係をより適切に近似するように、 AとBを変更する必要がある場合があります。

制御可能性は、到達した状態を維持できることを意味するのではなく、単に任意の状態に到達できることを意味します。

可制御性とは、状態空間において任意の経路を形成できることを意味するのではなく、有限の時間間隔内に経路が存在することを意味する。時間間隔も指定できる場合、その力学系はしばしば強可制御性を持つと言われる。

連続線形システム

連続 線形システムを考える^[注1] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}}$$

時刻t ₀の状態x ₀から時刻t ₁ > t ₀の状態x ₁への制御uが存在するのは、 x ₁ − ϕ ( t ₀ , t ₁ ) x ₀が の列空間内にある場合に限られます。ここで、 ϕ ( t ₀ , t )は状態遷移行列、W ( t ₀ , t ₁ )は制御性グラミアンです。 $${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{\mathsf {T}}\phi (t_{0},t)^{\mathsf {T}}\mathrm {d} t}$$

実際、η _0がW ( t ₀ , t ₁ ) η = x ₁ − ϕ ( t ₀ , t ₁ ) x ₀の解である場合、 u ( t ) = − B ( t ) ^T ϕ ( t ₀ , t ) ^T η ₀によって与えられる制御によって、目的の転送が行われます。

上記のように定義された行列W ( t0 , t1 )_には次の特性があることに注意してください。

• Wは対称的である
• Wはt ₁ ≥ t ₀に対して半正定値である
• Wは線形行列微分方程式を満たす $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{\mathsf {T}}-B(t)B(t)^{\mathsf {T}},\;W(t_{1},t_{1})=0}$$
• Wは次の式を満たす^[2] $${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{\mathsf {T}}}$$

制御可能性のランク条件

可制御性グラミアンは、システムの状態遷移行列の積分を伴います。可制御性のより単純な条件は、時間不変システムのカルマンランク条件に類似したランク条件です。

区間[ t0 _, t ]で滑らかに変化する連続時間線形システムΣを考える。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}}$$

状態遷移行列ϕも滑らかである。n × m行列値関数M ₀ ( t ) = ϕ ( t ₀ , t ) B ( t )を導入し、次のように定義する 。  $${\displaystyle M_{k}(t)={\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1.}$$

行列M（M _i、i = 0、1、...、k）のすべての列をリストすることによって得られる行列値関数の行列を考えます。 $${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right].}$$

t̅∈ [ t0 _, t ]と非負整数kが存在し、ランクM ^{( k )} ( t̅ )= nとなる場合、Σは制御可能である。^[3]

Σが区間[ t0 _, t ]で解析的に変化するとき、Σが[ t0 , t ] のすべての非自明な部分区間で制御可能であるためには、t̅∈ [ t0 _{, t} ]と非負整数kが存在し、ランクM ^{( k )} ( ti )= nとなる必要がある_。 [ ^3]

上記の方法は、状態遷移行列ϕの計算を伴うため、検証が複雑になる場合があります。別の同等の条件は次のように定義されます。B ₀ ( t ) = B ( t )とし、各i ≥ 0について定義します。この場合、各B _iはデータ( A ( t ), B ( t ))から直接得られます。システムが制御可能であるのは、t̅ ∈ [ t ₀ , t ]と非負整数k が存在し、 rank([ B ₀ ( t̅ ), B ₁ ( t̅ ), ... , B _k ( t̅ )]) = nとなる場合です。^[3] $${\displaystyle B_{i+1}(t)=A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$$

例

(−∞, ∞)および行列について 解析的に変化するシステムを考えます。この行列の階数は 3 なので、システムは のすべての非自明な区間で制御可能です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A(t)&={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\\B(t)&={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle [B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

連続線形時不変（LTI）システム

連続線形時間不変システムを考える 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)\end{aligned}}}$$

• xはn  ×1の状態ベクトルである
• yはm  ×1の出力ベクトルです
• uはr  ×1の入力（または制御）ベクトルです
• Aはn  ×  nの状態行列です。
• Bはn  ×  rの入力行列です。
• Cはm  ×  nの出力行列であり、
• Dはm  ×  rフィードスルー (またはフィードフォワード) 行列です。

n  ×  nr制御性行列は次のように与えられます。制御性行列がフル行ランク（つまり、rank( R ) = n）を持つ場合、システムは制御可能です。 $${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$$

離散線形時不変（LTI）システム

離散時間線形状態空間システム（すなわち時間変数）の状態方程式は、 Aがn  ×  n行列、Bがn  ×  r行列（すなわちuがr  ×1ベクトルに集められたr入力）である場合に成り立ちます。可制御性のテストは、n  ×  nr行列がフル行ランク（すなわちrank( C ) = n）を持つかどうかで行われます。つまり、システムが可制御である場合、Cは線形独立なn列を持ちます。Cのn列が線形独立である場合、変数u ( k )を介してシステムに適切な入力を与えることで、 n個の状態のそれぞれに到達できます。 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$$

導出

初期時刻における状態x (0)を任意にk = 0と表記すると、状態方程式はx (1) = A x (0) + B u (0)となり、次にx (2) = A x (1) + B u (1) = A ² x (0) + AB u (0) + B u (1)となり、状態変数を繰り返し代入することで最終的に次式が得られる。 $${\displaystyle {\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}$$ $${\displaystyle {\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{\mathsf {T}}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{\mathsf {T}}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{\mathsf {T}}(0)]^{\mathsf {T}}.}$$

左側に状態ベクトルx ( n )の任意の値を課すと、右側の先頭の行列の行列が完全な行ランクを持つ場合にのみ、制御ベクトルの積み重ねられたベクトルに対してこれを常に解くことができます。

例

例えば、n = 2、r = 1（つまり制御入力が1つだけ）の場合を考えてみましょう。BとABは2 × 1ベクトルです。 [ B AB ]のランクが2（フルランク）の場合、BとABは線形独立であり、平面全体を張ります。ランクが1の場合、BとABは共線的であり、平面全体を張りません。

初期状態はゼロであると仮定します。

時刻k = 0 のとき:時刻k = 1 のとき: $${\displaystyle x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)}$$ $${\displaystyle x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)}$$

時刻k = 0では、到達可能なすべての状態はベクトルBによって形成される線上にあります。

時刻k = 1において、到達可能な状態はすべてABとBの線形結合である。システムが制御可能であれば、これら2つのベクトルは平面全体に広がり、時刻k = 2においてもその状態を維持できる。

初期状態がゼロであるという仮定は、単に便宜上のものです。原点からすべての状態に到達できるのであれば、他の状態から任意の状態に到達できることは明らかです（単なる座標の移動です）。

この例はすべての正のnに当てはまりますが、n = 2の場合の方が視覚化が簡単です。

類推の例n= 2

先ほどの例のシステムとの類似点を考えてみましょう。あなたは無限に広がる平面上に車に乗っており、北を向いています。目標は、直線で一定距離を走行し、完全に停止して方向転換し、さらに直線でさらに一定距離を走行することで、平面上の任意の地点に到達することです。

車にハンドルが付いていないと、まっすぐ走ることしかできません。つまり、直線（この場合は北を向いているため、南北の直線）に沿ってしか走れません。ハンドルがないケースは、Cランクが1の場合（2つの距離が同じ直線上にある場合）に似ています。

さて、もし車にステアリング機能があれば、平面上のどの地点にも簡単に移動できます。これは、Cランクが2 の場合と類似したケースになります。

この例をn = 3に変更すると、航空機の向きを無視して、3D 空間内の任意の位置に到達するために宇宙を飛行するのと同じようなものになります。

以下の行為が許可されます:

• 直線で飛ぶ
• 任意の量だけ左または右に回転する（ヨー）
• 飛行機を任意の量だけ上または下に向ける（ピッチ）

3 次元の場合は視覚化が難しくなりますが、制御可能性の概念は依然として類似しています。

非線形システム

制御アフィン形式の非線形システム

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}}$

アクセス性分布が空間に広がる場合、がの次元に等しく、Rは次のように与えられる：[ ^4] ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.}$

ここで、繰り返しリー括弧演算は次のように定義されます。 ${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]}$

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

前のセクションの線形システムの制御可能性行列は、実際にはこの方程式から導出できます。

状態フィードバックによる制御性

線形動的システムの制御権限が時間変動フィードバックゲイン行列の選択を通じて発揮される場合、システムは ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=(A-BK(t))\mathbf {x} }$

制御パラメータと状態の積が存在するという点で非線形である。アクセシビリティ分布は、前述と同様に、 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}.}$

システムが制御可能であるためには、 がフル列ランクを持つことが必要であることは明らかである。この条件も十分であることがわかった。しかし、先に説明した（最適な）制御戦略は、指定された状態間でシステムを操縦するための最適入力を適用する際の軌道が原点を通過しないように修正する必要がある。そうしないと、制御入力をフィードバック形式 で記述することができない。この双線形システムの制御可能性、および強制御可能性は で証明されている。^[5] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle u=-K(t)\mathbf {x} }$

集団制御可能性 - フィードバックによる状態遷移の制御

集団制御性は、同一のダイナミクスに従う線形動的システムを操縦する能力を表す。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}^{(i)}(t)=A\mathbf {x} ^{(i)}(t)+B\mathbf {u} ^{(i)}(t)}$

ここで、は指定された開始構成と終了構成間の共通の状態フィードバックゲイン行列を介しての次元に等しく、それによって、それぞれが制御入力をインスタンス化する。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}(t)=K(t){\mathbf {x} }^{(i)}(t)}$

それぞれの場合です。 ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$

アクセス分布が完全な列ランクを持つことは、当然ながら必要条件である。また、十分条件でもあり、実際、集合体は初期構成から制御可能であるという点で、強く制御可能である。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \Phi (0)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(0)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(0)\end{bmatrix}}}$

指定された端末構成に

${\displaystyle \Phi (T)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(T)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(T)\end{bmatrix}},}$

提供される共通の時間変動フィードバックゲイン行列の選択を通じて、任意の指定された時間間隔にわたって、完全な列ランクを持つ。^[5] ${\displaystyle \det(\Phi (0)\Phi (T))>0}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle K(t)}$ ${\displaystyle R}$

ヌル制御性

離散制御系が零制御可能であるとは、ある初期状態 に対してとなるような制御可能値が存在することを意味します。言い換えれば、が冪零となるような行列が存在するという条件と同等です。 ${\displaystyle u(k)}$ ${\displaystyle x(k_{0})=0}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A+BF}$

これは、制御可能-制御不可能分解によって簡単に示されます。

出力制御性

出力可制御性は、システムの出力（前式ではyと表記）に関連する概念です。出力可制御性は、外部入力が有限の時間間隔内に出力を任意の初期状態から任意の最終状態へ変化させる能力を表します。状態可制御性と出力可制御性の間には、必ずしも何らかの関係がある必要はありません。特に、

• 制御可能なシステムは、必ずしも出力制御可能であるとは限りません。例えば、行列D = 0で行列Cがフルランクの行を持たない場合、出力の一部の位置は出力行列の制限構造によってマスクされ、したがって達成不可能になります。さらに、システムは有限時間内に任意の状態に移行できますが、すべての状態からアクセスできない出力が存在する可能性があります。簡単な数値例として、D = 0で少なくとも1行がゼロである行列Cを使用します。したがって、システムはその次元に沿って非ゼロの出力を生成することはできません。
• 出力制御可能なシステムは、必ずしも状態制御可能であるとは限りません。例えば、状態空間の次元が出力の次元よりも大きい場合、個々の出力に対して複数の状態構成の可能性があることになります。つまり、システムは、出力からは観測できないシステムの軌跡である、重要なゼロダイナミクスを持つ可能性があります。したがって、有限時間内に出力を特定の位置に移動できることは、システムの状態構成について何も意味しません。

上記の例のように行列A、B、C、Dで記述された線形連続時間システムの場合、システムが出力制御可能である場合にのみ、m  ×  ( n +1) r 出力制御可能性行列は完全な行ランク（つまりランクm）を持ちます。^{[1] : 742} $${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$$

入力制約下での制御可能性

制御権限が制限されたシステムでは、制御可能な部分空間内で初期状態から最終状態へ遷移させることが不可能になることがよくあります。この現象は、入力に対する制約によって引き起こされます。制約は、システムに固有のもの（例えば、アクチュエータの飽和など）や、その他の理由（例えば、安全上の懸念など）でシステムに課せられたものなどです。入力と状態に制約のあるシステムの可制御性は、到達可能性^[6]と実行可能性理論^[7]の文脈で研究されています。

行動フレームワークにおける制御可能性

ウィレムスによるいわゆる行動システム理論的アプローチ（システムと制御における人物参照）では、検討対象となるモデルは入出力構造を直接定義しません。この枠組みでは、システムは変数の集合の許容される軌跡によって記述され、その一部は入力または出力として解釈される可能性があります。

この設定において、システムが制御可能であると定義されるのは、ある動作の過去の部分（外部変数の軌跡）が、その動作の将来の軌跡と連結され、その連結が動作に含まれる、つまり許容されるシステム動作の一部である場合である。^{[8] : 151}

安定化可能性

可制御性よりもやや弱い概念が、安定化可能性である。システムは、すべての制御不能な状態変数が安定したダイナミクスを持つようにできる場合、安定化可能であると言われる。したがって、状態変数の一部が制御不能であっても（上記の可制御性テストによって決定されるように）、システムの挙動中、すべての状態変数は依然として有界のままである。^[9]

到達可能な集合

T ∈ Т、x ∈ X（Xはすべての可能な状態の集合、Тは時間間隔）とする。時刻Tにおけるxからの到達可能集合は次のように定義される：^[3]ここでx $${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\},}$$ T→ z は、時間Tにxからzへの状態遷移が存在することを示します。

自律システムの場合、到達可能集合は次のように与えられます。ここで、Rは制御可能性行列です。 $${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B),}$$

主張—到達可能セットに関して、システムが制御可能であるのは、次の場合のみです。 ${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}}$

証拠

次の等式が成り立ちます。システムが制御可能であることを考慮すると、Rの列は線形独立である必要があります。したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}R&=[B\ AB....A^{n-1}B]\\\mathrm {Im} (R)&=\mathrm {Im} ([B\ AB....A^{n-1}B])\\\mathrm {dim(Im} (R))&=\mathrm {rank} (R)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {dim(Im} (R))&=n\\\mathrm {rank} (R)&=n\\\mathrm {Im} (R)&=\mathbb {R} ^{n}\qquad \blacksquare \end{aligned}}}$$

到達可能集合に関連する集合は制御可能集合であり、次のように定義される。到達可能性と制御可能性の関係はソンタグによって次のように表されている。^[3] $${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}.}$$

1. n次元離散線形システムが制御可能であるのは、次の場合のみです。

   $${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$$

   (ここで、Xはxのすべての可能な値または状態の集合であり、kは時間ステップです)。
2. 連続時間線形システムは、 すべてのe > 0に対して次の条件を満たす場合にのみ制御可能です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}R(0)&=R^{e}{(0)=X}\\C(0)&=C^{e}{(0)=X}\end{aligned}}}$$

例

システムを次の式から n 次元の離散時間不変システムとします。ここで、ϕ (最終時刻、初期時刻、状態変数、制約) は、何らかの制約w ) を伴う、初期時刻0から最終時刻nまでの状態変数xの遷移行列として定義されます。 $${\displaystyle \phi (n,0,0,w)=\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1),}$$

将来の状態がR ^k (0)にある場合、そしてそれが にある場合のみである。これは次のように定義される線型写像Rの像である。 これは ${\displaystyle \mathrm {Im} (R)}$ $${\displaystyle R(A,B)\triangleq [B\ AB....A^{n-1}B],}$$ $${\displaystyle u^{n}\mapsto X.}$$

u = K ^mかつX = K ⁿのとき、R ( A , B )をn  ×  nm行列と同一視し、その列はB , AB , ... , A ^{n −1} Bの順となる。系が可制御ならば、 [ B AB ... A ^{n −1} B ]の階数はnである。これが真ならば、線型写像Rの像はXの全体となる。これに基づいて、次式が成り立つ。 $${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$$ ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n}.}$

参照

• 可観測性
• ハウトゥス・レマ

注記

1. 線形時間不変システムも同様に動作しますが、係数は時間に対して一定です。

参考文献

1. 緒方克彦 (1997).現代制御工学（第3版）. アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-227307-7。
2. Brockett, Roger W. (1970).有限次元線形システム. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5。
3. Eduardo D. Sontag、「数理制御理論：決定論的有限次元システム」。
4. イシドリ、アルベルト (1989).非線形制御システム、p. 92-3。スプリンガー・フェルラーク、ロンドン。 ISBN 3-540-19916-0。
5. Mahmoud Abdelgalil; Tryphon T. Georgiou (2025). 「有限時間における集団ステアリング：制御可能性」. IEEE Transactions on Automatic Control . doi :10.1109/TAC.2025.3574186. ${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$
6. Claire J. Tomlin、Ian Mitchell、Alexandre M. Bayen、Meeko Oishi (2003). 「ハイブリッドシステムの検証のための計算手法」(PDF) . Proceedings of the IEEE . 91 (7): 986– 1001. Bibcode :2003IEEEP..91..986T. CiteSeerX 10.1.1.70.4296 . doi :10.1109/jproc.2003.814621 . 2012年3月4日閲覧. 
7. ジャン＝ピエール・オーバン (1991).生存理論. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-3571-8。
8. Jan Polderman; Jan Willems (1998). 『数理システム理論入門：行動アプローチ』（第1版）. ニューヨーク: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98266-3。
9. ブライアン・D・O・アンダーソン、ジョン・B・ムーア (1990). 『最適制御：線形二次法』 エングルウッド・クリフス、ニュージャージー州: プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-638560-8。

外部リンク

• システムの可制御性をチェックするためのMATLAB関数 2012年2月10日アーカイブ at the Wayback Machine
• システムの制御可能性をチェックするためのMathematica関数

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