シーケンスの極限

無限列に向かう値

単位円に外接する正n角形の場合、その周長の数列には円周長に等しい極限、すなわち が与えられます。内接する多角形の場合も同様の極限が与えられます。 ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

正の整数が どんどん大きくなるにつれて、その値はに任意に近づきます。これを「数列の極限はに等しい」と言います。 ${\textstyle n}$ ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle 1}$ ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle 1}$

数学において、数列の極限とは、数列の各項が「向かう」値であり、多くの場合、記号（例：）を用いて表される。^[1]このような極限が存在し、かつ有限である場合、その数列は収束する数列と呼ばれる。^{[2]収束しない数列は}発散する数列と呼ばれる。^[3]数列の極限は、数学的解析全体が究極的に依拠する基本概念であると言われている。^[1] ${\displaystyle \lim }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

極限は任意の計量空間または位相空間で定義できますが、通常は実数で最初に遭遇します。

歴史

ギリシャの哲学者エレアのゼノンは、制限的なプロセスを伴うパラドックスを定式化したことでも有名です。

レウキッポス、デモクリトス、アンティフォン、エウドクソス、そしてアルキメデスは、面積や体積を決定するために近似値の無限列を用いる、網羅法を考案しました。アルキメデスは、現在では等比級数と呼ばれるものの和を求めることに成功しました。

グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは、著書『幾何学作品』（1647年）の中で、等比級数の極限（終点）の最初の定義を与えた。「数列の終点とは、たとえ無限に数列を続けても到達できない数列の終点であるが、与えられた線分よりも近づくことができる数列の終点である。」^[4]

ピエトロ・メンゴリは、1659年に出版された『幾何学的素因数分解』（ Geometriae speciosae elementa ）における準比例の研究によって、数列の極限という近代的な概念を予見していました。彼は、無限大を「準無限」 、消滅を「準零」という用語で表現しました。

ニュートンは、1669年に執筆され、写本が流通し、1711年に出版された『無限級数による解析』（1669年執筆、写本が流通、1711年出版）、『流数と無限級数法』（1671年執筆、英訳が1736年出版、ラテン語原文はずっと後に出版）、『曲率角論』 （1693年執筆、1704年に『光学』の付録として出版）といった著書で級数を扱っている。後者の著作では、ニュートンは の二項展開を考察し、 がに近づく極限をとることで を線形化している。 ${\textstyle (x+o)^{n}}$ ${\textstyle o}$ ${\textstyle 0}$

18世紀には、オイラーなどの数学者たちが、適切なタイミングで計算を止めることで、いくつかの発散級数の和を求めることに成功しました。彼らは極限が存在するかどうかはさほど気にせず、計算さえできればそれで十分だと考えていました。18世紀末、ラグランジュは『解析関数理論』 （1797年）の中で、厳密さの欠如が微積分のさらなる発展を阻んでいると論じました。ガウスは超幾何級数の研究（1813年）において、級数が極限に収束する条件を初めて厳密に検討しました。

極限の現代的な定義 (任意の値に対して、 ... となるような指数が存在する) は、ベルナルド・ボルツァーノ(当時はあまり注目されなかった『二項方程式の解法』 、プラハ 1816 年) と、 1870 年代にカール・ヴァイエルシュトラスによって与えられました。 ${\textstyle \varepsilon }$ ${\textstyle N}$

実数

収束する数列 { a _n }のプロットは青色で示されています。ここでは、 n が増加するにつれて数列が極限 0 に収束していることがわかります。

実数において、数列 の数が にどんどん近づき、他のどの数にも近づかない 場合、その数は数列の極限となります。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle L}$

例

• 定数 に対してならばとなる。^{[証明 1] [5]} ${\displaystyle x_{n}=c}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle x_{n}\to c}$
• もしならば。^{[証明2] [5]} ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$
• が偶数で、が奇数の場合、 となります。(が奇数であるかどうかは関係ありません。) ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ ${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$ ${\displaystyle n}$
• 任意の実数が与えられた場合、小数近似をとることで、その数に収束する数列を簡単に構築できます。例えば、数列はに収束します。この小数表現は、前数列の極限であり、次のように定義されます。 ${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle 0.3333\dots }$ $${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• 数列の極限を求めることは必ずしも自明ではありません。例としては、 （その極限はe ）と算術幾何平均 が挙げられます。スクイーズ定理は、このような極限を求める際にしばしば役立ちます。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$

意味

列の極限をと呼び、これは次のように表される。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to x}$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$、

次の条件が満たされる場合:

それぞれの実数 に対して、任意の自然数に対して となるような自然数が存在する。^[6] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$

言い換えれば、近さの尺度 に対して、数列の項は最終的にその極限に近づきます。数列は極限に収束する、あるいは極限に向かうと言われています。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$。

数列が何らかの極限に収束する場合、それは収束的であり、唯一の極限となる。そうでない場合は発散的となる。極限がゼロである数列は、ヌル数列と呼ばれることもある。 ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

図

• 
  極限に収束する数列の例 ${\displaystyle a}$
• 
  どちらであっても、インデックス が存在するため、シーケンスはその後完全にイプシロン チューブ 内にあります。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$
• 
  より小さいインデックスもあるため、シーケンスはその後イプシロン チューブ内になります。 ${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$
• 
  それぞれについて、イプシロン チューブの外側には、有限個のシーケンス メンバーしかありません。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$

プロパティ

実数列の極限の他の重要な特性には次のものがあります。

• それが存在する場合、シーケンスの極限は一意です。^[5]
• 数列の極限は、通常の算術演算に関して適切に振舞う。とが存在する場合、 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$提供^[5] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• 任意の連続関数 に対して、が存在するならば、も存在します。実際、任意の実数値関数が連続となるのは、数列の極限が保存される場合のみです（ただし、より一般的な連続性の概念を用いる場合、これは必ずしも真ではありません）。 ${\textstyle f}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$ ${\textstyle f}$

• すべての に対して がある より大きい場合、 となります。 ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• (スクイーズ定理)任意の に対して、かつ より大きい場合、 となります。 ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• (単調収束定理) が、ある より大きいすべての に対して有界かつ単調である場合、 は収束します。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$
• シーケンスが収束するのは、すべての部分シーケンスが収束する場合のみです。
• シーケンスのすべてのサブシーケンスに、同じ点に収束する独自のサブシーケンスがある場合、元のシーケンスはその点に収束します。

これらの性質は、煩雑な正式な定義を直接用いることなく、極限を証明するために広く用いられています。例えば、 が証明されれば、上記の性質を用いて（ と仮定）であることを容易に示すことができます。 ${\displaystyle 1/n\to 0}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle b\neq 0}$

無限の限界

数列は無限大に向かうと言われ、次のように書かれる。 ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$、

次の条件が成り立つ場合:

すべての実数 に対して、すべての自然数 に対して が成り立つような自然数 が存在します。つまり、数列の項は最終的には任意の固定された よりも大きくなります。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}>K}$ ${\displaystyle K}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$。

同様に、数列が負の無限大に向かうと言い、

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$、

次の条件が成り立つ場合:

すべての実数 に対して、すべての自然数 に対して が成り立つような自然数 が存在します。つまり、数列の項は最終的には任意の固定された よりも小さくなります。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}<K}$ ${\displaystyle K}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$。

数列が無限大または負の無限大に向かう場合、それは発散的である。しかし、発散的な数列は必ずしも正の無限大または負の無限大に向かうとは限らず、この数列はその一例である。 ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$

計量空間

意味

距離空間の点が数列の極限となるのは、次の場合です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

それぞれの実数 に対して、という自然数が存在し、すべての自然数 に対して、 が成り立ちます。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$。

これは、およびのときの実数の定義と一致します。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

プロパティ

• シーケンスの限界が存在する場合、異なるポイントが何らかの正の距離で分離されているため、シーケンスの限界は一意であり、この距離の半分未満では、シーケンス項は両方のポイントの距離内に存在することはできません。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

• 任意の連続関数 fに対して、 が存在する場合、 が成り立ちます。実際、関数fが連続となるのは、数列の極限が保存される場合のみです。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$

コーシー列

コーシー列 ( x _n ) のnに対するプロット（青で表示）。視覚的には、 nが増加するにつれて列の各項が近づくため、列が極限点に収束しているように見える。実数では、すべてのコーシー列は何らかの極限に収束する。 ${\displaystyle x_{n}}$

コーシー列とは、十分な数の初期項を捨て去った後、最終的に各項が任意に接近する列である。コーシー列の概念は、距離空間における列の研究、特に実解析において重要である。実解析における特に重要な結果の一つは、列の収束に関するコーシー条件である。実数列が収束する場合、それはコーシー列である必要がある。これは他の完備距離空間においても成り立つ。

位相空間

意味

位相空間の点は ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$制限またはシーケンスの極限点^[7][8]の場合： ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

の任意の近傍 に対して、任意のに対してとなるようなものが存在する。^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}\in U}$

これは、が距離空間であり、が によって生成される位相である場合の距離空間の定義と一致します。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$

位相空間における点列の極限は、関数の極限の特殊なケースです。定義域は空間 にあり、アフィン拡張実数系の誘導位相、値域は、関数の引数は に近づき、この空間ではの極限点となります。 ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

プロパティ

ハウスドルフ空間においては、数列 の極限は存在する限り一意である。ハウスドルフ空間以外の空間では必ずしもそうではない。特に、2点と が位相的に区別不可能な場合、 に収束する数列は必ず に収束し、その逆もまた同様である。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

超実数

超実数を用いた極限の定義は、指数の値が「非常に大きい」場合、対応する項が極限に「非常に近い」という直感を形式化します。より正確には、実数列がLに近づくとは、任意の無限超自然数に対して、項がに無限に近い（すなわち、差が無限小 である）場合です。同様に、Lはの標準部分です。 ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\textstyle H}$ ${\displaystyle x_{H}}$ ${\textstyle L}$ ${\displaystyle x_{H}-L}$ ${\displaystyle x_{H}}$

${\displaystyle L={\rm {st}}(x_{H})}$。

したがって、限界は次の式で定義できる。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})}$。

ここで、右辺が無限大の選択に依存しない場合にのみ、極限が存在します。 ${\textstyle H}$

複数のインデックスのシーケンス

複数のインデックスを持つシーケンス、例えば二重シーケンス を考慮することもあります。このシーケンスは、 nとm が非常に大きくなるとに近づくにつれて限界に達します。 ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

例

• 定数 の場合、 となります。 ${\displaystyle x_{n,m}=c}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to c}$
• もし なら、。 ${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$
• の場合、極限は存在しません。 と の相対的な「成長速度」に応じて、この数列はとの間の任意の値に近づく可能性があります。 ${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle 1}$

意味

列の二重極限は、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$、 または

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$、

次の条件が満たされる場合:

それぞれの実数 に対して、自然数が存在し、自然数のすべてのペアに対して、 が成り立つ。^[10] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$

言い換えれば、近さの尺度 に対して、数列の項は最終的にその極限に近づきます。数列は極限に収束する、あるいは極限に向かうと言われています。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle x}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$。

二重極限は、まずn の極限をとり、次にmの極限をとることとは異なります。後者は反復極限と呼ばれます。二重極限と反復極限の両方が存在する場合、それらは同じ値を持ちます。しかし、一方が存在し、もう一方が存在しない可能性もあります。

無限の限界

数列は無限大に向かうと言われ、次のように書かれる。 ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$、

次の条件が成り立つ場合:

すべての実数 に対して、すべての自然数ペア に対して となる自然数 が存在します。つまり、数列の項は最終的に任意の固定された よりも大きくなります。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle x_{n,m}>K}$ ${\displaystyle K}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$。

同様に、数列は負の無限大に向かい、 ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$、 または

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$、

次の条件が成り立つ場合:

すべての実数 に対して、すべての自然数ペア に対して となる自然数 が存在します。つまり、数列の項は最終的に任意の固定された よりも小さくなります。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle x_{n,m}<K}$ ${\displaystyle K}$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$。

数列が無限大または負の無限大に向かう場合、それは発散的である。しかし、発散的な数列は必ずしも正の無限大または負の無限大に向かうとは限らず、この数列はその一例である。 ${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$

点ごとの極限と一様極限

二重列 に対して、例えば の添え字の1つに極限をとることで、単一の列 を得ることができます。実際、この極限をとることには2つの意味があります。1つ目は点ごとの極限と呼ばれ、 ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (y_{m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$、 または

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$、

つまり、

それぞれの実数 とそれぞれの固定された自然数に対して、任意の自然数に対して となる自然数が存在する。^[11] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$。

このような極限が存在する場合、シーケンスはに点ごとに収束するといいます。 ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

2番目は一様極限と呼ばれ、

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$、

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$、 または

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$、

つまり、

それぞれの実数 に対して、任意の自然数と任意の自然数に対して、が成り立つような自然数が存在する。^[11] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

象徴的に言えば、次のようになります。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$。

この定義では、 の選択はとは独立しています。言い換えれば、 の選択はすべての自然数 に一様に当てはまります。したがって、一様収束は点収束よりも強い性質であることが容易にわかります。一様極限の存在は、点極限の存在と等価性を意味します。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$

均一であれば、点ごとに。 ${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$

このような極限が存在する場合、シーケンスはに均一収束するといいます。 ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

反復限界

2つの数列 の場合、一方のインデックス、つまり に極限をとって1つの数列 を取得し、もう一方のインデックス、つまり に極限をとって数 を取得します。記号的に言えば、 ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (y_{m})}$ ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$。

この極限は二重列の反復極限として知られています。極限を取る順序は結果に影響を与える可能性があります。

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}}$一般的に。

等式の十分な条件はムーア・オズグッド定理によって与えられ、この定理では極限が において均一であることが必要である。^[10] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$ ${\textstyle m}$

参照

• 限界点
• 後続の制限
• 上限を上限とし、下限を下限とする
• 関数の極限
• 集合の列の極限
• ネットの限界
• 点ごとの収束
• 一様収束
• 収束のモード

注記

1. Courant (1961)、29ページ。
2. Weisstein, Eric W. 「収束列」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月18日閲覧。
3. クーラント（1961年）、39ページ。
4. ヴァン・ローイ、H. (1984)。グレゴリウス・ア・サンクト・ヴィンセンティオ（1584–1667）の数学写本の年表と歴史的分析。 Historia Mathematica、11(1)、57-75。
5. "数列の極限 | Brilliant Math & Science Wiki".ブリリアント.org 。2020年8月18日に取得。
6. Weisstein, Eric W. 「Limit」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月18日閲覧。
7. Dugundji 1966、209–210ページ。
8. Császár 1978、61ページ。
9. Zeidler, Eberhard (1995).応用関数解析：主要原理とその応用（第1版）. ニューヨーク: Springer-Verlag. p. 29. ISBN 978-0-387-94422-7。
10. Zakon, Elias (2011). 「第4章 関数の極限と連続性」.数学的解析学 第1巻. ウィンザー大学. p. 223. ISBN 9781617386473。
11. Habil, Eissa (2005). 「Double Sequences and Double Series」 . 2022年10月28日閲覧。

証明

1. 証明： を選択する。すべての に対して、 ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-c|=0<\varepsilon }$
2. 証明: 整数 を選択してください。任意の に対して、 が存在します。 ${\displaystyle N>{\frac {1}{\varepsilon }}.}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-0|={\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{N}}<\varepsilon }$

参考文献

• チャザール、アコス(1978)。一般的なトポロジ。翻訳はチャザール、クララ。ブリストル イングランド: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011。
• ドゥグンジ、ジェームズ(1966). 『トポロジー』 ボストン: アリン・アンド・ベーコン. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485。
• クーラント、リチャード（1961年）「微分積分学 第1巻」、ブラック＆サン社、グラスゴー。
• フランク・モーリーとジェームズ・ハークネス『関数論に関する論文』（ニューヨーク：マクミラン、1893年）

外部リンク

• 「極限」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 微積分学の歴史（極限を含む）

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