収束シリーズ

Mathematical series with a finite sum

数学において、級数とは無限の数列の項の和です。より正確には、無限数列は、と表記される 級数Sを定義します。 ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$

n番目の部分和 S _nは、数列の最初のn項の和です。つまり、

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

級数が収束（または収束）するのは、その部分和の列が極限に向かう場合のみです。つまり、添え字で指定された順序で次々に加算していくと、与えられた数にどんどん近づく部分和が得られます。より正確には、級数が収束するのは、任意の小さな正の数 に対して、すべての に対して となる（十分に大きい）整数が存在する場合のみです。 ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}$

級数が収束する場合、（必然的に一意な）数は級数の和と呼ばれます。 ${\displaystyle \ell }$

同じ表記

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

級数には が使用され、収束する場合はその和にも使用されます。この規則は加算に使用される規則と似ています。a + b は、aとbを加算する演算と、この加算の結果であるaとbの和を表します。

収束しない級数は、発散する、または発散すると言われます。

収束級数と発散級数の例

• 正の整数の逆数は、発散級数（調和級数）を生成します。

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• 正の整数の逆数の符号を交互にすると、収束級数（交代調和級数）が生成されます。

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}$

• 素数の逆数は発散級数を生成します（したがって、素数の集合は「大きい」です。素数の逆数の和の発散を参照してください）。

  ${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• 三角数の逆数は収束級数を生成します。

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}$

• 階乗の逆数は収束級数を生成します（eを参照）。

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.}$

• 平方数の逆数は収束級数を生成する（バーゼル問題）

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}$

• 2のべき乗の逆数は収束級数を生成する（したがって、2のべき乗の集合は「小さい」）：

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}$

• n>1の任意のべき乗の逆数は収束級数を生成する：

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.}$

• 2のべき乗の逆数の符号を交互に入れ替えても収束級数を生成する：

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.}$

• n>1の任意のべき乗の逆数の符号を交互に入れ替えても収束級数を生成する：

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.}$

• フィボナッチ数の逆数は収束級数を生成する（ψを参照）：

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}$

収束検定

級数が収束するか発散するかを判断する方法はいくつかあります。

青い級数が収束することが証明できる場合、小さい方の級数 は収束する必要があります。対偶により、赤い級数 が発散することが証明された場合、も発散する必要があります ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$

比較テスト。数列の項を別の数列の項と比較します。すべてのn、、に対してが収束する場合、も収束します。 ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ ${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

しかし、すべてのn、、に対してが発散する場合、も発散します ${\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

比検定。すべてのnに対して、次が存在すると仮定します ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

r < 1の場合、級数は絶対収束します。r > 1の場合、級数は発散します。r = 1の場合、比の検定は決定的ではなく、級数は収束または発散する可能性があります。

根号検定またはn乗根検定。問題の数列の項が非負であると。rを次のように定義します。

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

ここで、「lim sup」は上限（∞の可能性あり。下限が存在する場合は同じ値）。

r < 1の場合、級数は収束します。r > 1の場合、級数は発散します。r = 1の場合、根号検定は決定的ではなく、級数は収束または発散する可能性があります

比テストと根テストはどちらも等比級数との比較に基づいており、そのため同様の状況で機能します。実際、比テストが機能する場合（つまり、極限が存在し、1と等しくない場合）、根テストも機能します。ただし、逆は成り立ちません。したがって、根テストはより一般的に適用できますが、実務上、よく見られる種類の級数では極限を計算するのが難しいことがよくあります。

積分テスト。級数を積分と比較することで、収束または発散を判定できます。を正の単調減少関数とします。もし ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$

ならば、級数は収束します。しかし、積分が発散する場合、級数も発散します。

極限比較テスト。 であり、極限が存在し、0でない場合、 が収束するの収束する場合のみです ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

交代級数テスト。ライプニッツの条件としても知られる交代級数テストは、形の交代級数に対して、が単調減少であり、無限大で極限が0である場合、級数は収束することを述べています。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$

コーシー凝縮テスト。が正の単調減少列である場合場合に限り収束します。 ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$

ディリクレ検定

アーベル検定

条件付き収束と絶対収束

級数が収束する場合、その級数は絶対収束するといいます。すべての絶対収束級数（実数または複素数）は収束しますが、その逆は成り立ちません。指数関数のマクローリン級数は、変数の 任意の複素数値に対して絶対収束します。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

級数が収束するが、級数が発散する場合、その級数は条件収束します。対数関数のマクローリン級数は、x = 1に対して条件収束します（メルカトル級数を参照）。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \ln(1+x)}$

リーマン級数定理は、級数が条件収束する場合、級数の項を並べ替えて、級数が任意の値に収束するか、さらには発散するようにすることができると述べています。アグニューの定理は、すべての級数に対して収束性を保つ並べ替えを特徴付けます。

一様収束

を関数の列とします。によって定義される部分和の列がfに一様収束する場合、級数はfに一様収束するといいます。 ${\displaystyle \left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ ${\displaystyle \{s_{n}\}}$

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

fに一様収束します

無限級数の関数の比較検定に相当するものとして、ワイエルシュトラスのM検定があります。

コーシー収束判定基準

コーシー収束判定基準は、級数が

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

収束するのは、部分和の列がコーシー列である場合のみであると述べています。これは、すべてのに対して、次の式を満たす正の整数が存在することを 意味します。 ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq m\geq N}$

${\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .}$

これは次と同等です。

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.}$

参照

• 正規収束
• 数学級数一覧

外部リンク

• 「級数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein, Eric (2005). リーマン級数定理。2005年5月16日閲覧。

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