凸空間

数学において、凸空間（または重心代数）とは、任意の有限の点の集合の凸結合をとることが可能な空間である。 ^[1]^[2]

正式な定義

凸空間は、次の条件を満たすそれぞれに対する二項凸結合演算を備えた集合として定義できます。 $X$ $c_{\lambda}:X\times X\rightarrow X$ $\lambda \in [0,1]$

$c_{0}(x,y)=x$
$c_{1}(x,y)=y$
$c_{\lambda }(x,x)=x$
$c_{\lambda }(x,y)=c_{1-\lambda }(y,x)$
$c_{\lambda }(x,c_{\mu }(y,z))=c_{\lambda \mu }\left(c_{\frac {\lambda (1-\mu )}{1-\lambda \mu }}(x,y),z\right)$ （のために） $\lambda \mu \neq 1$

このことから、n 組 ( )によってパラメータ化された n 項凸結合演算を定義することができます。 $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ $\sum _{i}\lambda _{i}=1$

任意の実アフィン空間は凸空間である。より一般的には、任意の実アフィン空間の凸部分集合は凸空間である。

凸空間は、少なくともStone (1949)にまで遡る、独立して何度も発明され、様々な名前が付けられてきました。^[3]また、Neumann (1970) ^[4]やŚwirszcz (1974) ^[5]などによっても研究されました。

ハーシュタインとミルナー（1953）^[6]は凸空間を用いて混合空間定理を証明した。

^ 「凸空間」nLab . 2023年4月3日閲覧。
^ Fritz, Tobias (2009). 「凸空間I：定義と例」. arXiv : 0903.5522 [math.MG].
^ ストーン、マーシャル・ハーベイ (1949)。「重心微積分の仮定」。Annali di Matematica Pura ed Applicata。29 : 25–30 .土井:10.1007/BF02413910。S2CID 122252152。
^ Neumann, Walter David (1970). 「アフィン空間の凸部分集合の準多様体について」. Archiv der Mathematik . 21 : 11–16 . doi :10.1007/BF01220869. S2CID 124051153.
^ シュヴィルシュチュ、タデウシュ (1974)。「モナド関手と凸性」。Bulletin l'Académie Polonaise des Science、Série des Sciences Mathématiques、Astronomics et Physiques。22：39～ 42
^ Herstein, Israel Nathan ; Milnor, John (1953). 「測定可能な効用への公理的アプローチ」 . Econometrica . 21 (2): 291– 297. doi :10.2307/1905540. JSTOR 1905540.