アフィン多様体

代数幾何学において、アフィン多様体またはアフィン代数多様体は、アフィン空間のサブセットとして記述できる特定の種類の代数多様体です。

より正式には、アフィン代数集合とは、多項式環における何らかの多項式族の代数閉体 $k$ 上の共通零点の集合である。アフィン多様体とは、2つのより小さな代数集合の和集合ではないアフィン代数集合である。代数的には、これは定義多項式によって生成されるイデアル（の根号）が素数であることを意味する。1次元のアフィン多様体はアフィン代数曲線と呼ばれ、2次元のアフィン多様体はアフィン代数面と呼ばれる。 $k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$

いくつかのテキストでは、代数集合に対して多様体という用語を使用し、定義イデアルが素数（上記の意味でのアフィン多様体）である代数集合に対しては既約多様体という用語を使用しています。

いくつかの文脈では（例えば、ヒルベルトの零点定理を参照）、係数が考慮される体 $k を、共通の零点が考慮される代数的に閉じた体$ $K$ （ $k$ を含む）と区別することが有用である（つまり、アフィン代数的集合の点は $K n$ にある）。この場合、多様体は $k$ 上で定義されていると言われ、 $k$ $n$ に属する多様体の点は $k$ -有理的または $k$ 上で有理的であると言われる。 $k が$ 実数体である一般的なケースでは、 $k -有理点は$ 実点と呼ばれる。^[1]体 $k$ が指定されていない場合、有理点とは有理数上で有理的な点である。例えば、フェルマーの最終定理は、 $x$ $n$ $+$ $y$ $n$ $- 1 = 0$ で定義されるアフィン代数多様体（曲線）には、2 より大きい任意の整数 $n$ に対して有理点が存在しないことを主張している。

導入

アフィン代数集合とは、 $k$ に係数を持つ多項式方程式系の代数閉体 $k$ における解の集合である。より正確には、 $k$ に係数を持つ多項式がアフィン代数集合を定義する。 $f_{1},\ldots ,f_{m}$

V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.

アフィン（代数）多様体とは、2つの適切なアフィン代数的部分集合の和集合ではないアフィン代数的集合である。このようなアフィン代数的集合は、しばしば既約であると言われる。

Xがアフィン代数集合で、が $X$ 上で零となるすべての多項式のイデアルである場合、商環（またはとも表記されるが、後者は1つの不定元における多項式環と間違えられることがある）は $\mathrm {I} (X)$ $A(X)=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\mathrm {I} (X)$ $\Gamma (X)$ $k[X]$ Xの座標環。イデアルは根基なので、座標環は被約環、Xが（既約）アフィン多様体であればは素数なので、座標環は整域で。座標環の元はX上の多項式関数と考えることができ正則関数または多様体上の多項式関数とも呼ばれる多様体上の正則関数の環多様体の環Xの構造層の大域切断の空間である。 $\mathrm {I} (X)$ $\mathrm {I} (X)$ $A(X)$

多様体の次元は、あらゆる多様体、さらにはあらゆる代数集合に関連付けられた整数であり、その重要性は同値の定義の数の多さに依存します (代数多様体の次元を参照)。

例

アフィン多様体 $X$ の超曲面（ある多項式 $fに対して$ $X$ $\ {$ $f$ $= 0 }$ ）の補曲面はアフィンである。その定義方程式は、 $X$ の定義イデアルを $f$ で飽和させることで得られる。したがって、座標環は局所化となる。例えば、 $X$ $=$ $k$ $n$ および $f$ $\in$ $k$ $[$ $x$ $1$ $,...,$ $x$ $n$ $]$ に対して、 $k$ $n$ $\ {$ $f$ $= 0 }は$ k ⁿ⁺¹における超曲面 $V$ $(1 -$ $x$ $n$ $+1$ $f$ $)$ と同型である。^[2] $k[X][f^{-1}]$
特に、（原点を取り除いたアフィン直線）はアフィンであり、（代数群の§例を参照）の曲線と同型である。 $k-0$ $V(1-xy)$ $k^{2}$
一方、（原点を除いたアフィン平面）はアフィン多様体ではありません（複素解析におけるハートッグスの拡大定理と比較してください）。環のスペクトル § 非アフィンの例を参照してください。 $k^{2}-0$
アフィン空間における余次元 1 の部分多様体は、まさに超曲面、つまり単一の多項式によって定義される多様体です。 $k^{n}$
既約アフィン多様体の正規化はアフィン多様体である。正規化の座標環は多様体の座標環の整閉包である。（同様に、射影多様体の正規化は射影多様体である。）

有理点

代数閉体 $K$ 上のアフィン多様体と $K$ の部分体 $k$ に対して、 $V$ の $k$ 有理点とは、座標が $kの元である$ $V$ の点のことである。アフィン多様体 $Vの$ $k$ 有理点の集合は、しばしばと表記される。基底体が複素数 $C$ である場合、 $R$ 有理数（ $R$ は実数）の点は多様体の実点と呼ばれ、 $Q$ 有理数点（ $Q$ は有理数）は単に有理点と呼ばれることが多い。 $V\subseteq K^{n}$ $p\in V\cap k^{n}.$ $V(k).$

例えば、 $(1, 0)$ は $V$ の $Q$ 有理点かつ $R$ 有理点であり、その座標はすべて整数である。点 $($ $\sqrt$ $2$ $/2,$ $\sqrt$ $2$ $/2)は$ $Vの$ $Q$ 有理点ではない実点であり、また $R$ 有理点ではない $V$ の点である。この多様体は円と呼ばれる。なぜなら、その $R$ 有理点の集合は単位円だからである。この多様体には無限個の $Q$ 有理点があり、それらは $V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},$ $(i,{\sqrt {2}})$

\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)

ここで $t$ は有理数です。

円は、 $Q$ 有理点を持たない2次代数曲線の例です。これは、 $4$ を法として2つの平方数の和が $3$ にならないという事実から推測できます。 $V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$

$Q$ 有理点を持つ 2 次代数曲線には、他の $Q$ 有理点が無限に存在することが証明できます。このような各点は、曲線と、有理点を通過する有理傾斜の直線との 2 番目の交点です。

複素多様体には $R$ 有理点はありませんが、複素点は多数あります。 $V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$

$V が$ 複素数 $C上定義された$ $C 2$ のアフィン多様体である場合、 $V$ の $R$ 有理点を紙やグラフ描画ソフトウェアで描くことができます。右の図は $、$ $V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.$

特異点と接空間

$V を$ 多項式によって定義されるアフィン多様体とし、を $V$ の点とします。 $f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],$ $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$

$V$ の $a$ におけるヤコビ行列 $J V (a)$ は偏微分行列である。

{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).

点 $aは$ $、$ $JV$ $($ $a$ $)$ の階数が $V$ の余次元に等しい場合正則点であり、そうでない場合は特異点である。

$a$ が正則な場合、 $a$ における $V$ の接空間は線形方程式^[3]によって定義されるアフィン部分空間である。 $k^{n}$

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.

点が特異点の場合、これらの方程式によって定義されるアフィン部分空間は、ある著者によって接空間とも呼ばれ、他の著者は特異点には接空間は存在しないと主張している。^[4]座標を使用しないより本質的な定義は、ザリスキー接空間によって与えられる。

ザリスキ位相

k ⁿのアフィン代数集合は、 k ⁿ上の位相の閉集合を形成し、ザリスキー位相と呼ばれる。これは、およびという事実から導かれる（実際、アフィン代数集合の可算な共通集合はアフィン代数集合である）。 $V(0)=k^{n},$ $V(1)=\emptyset ,$ $V(S)\cup V(T)=V(ST),$ $V(S)\cap V(T)=V(S,T)$

ザリスキー位相は、基本開集合によって記述することもできます。ここで、ザリスキー開集合は、の形の集合の可算和集合です。これらの基本開集合は、単一の多項式の閉集合零点のk ⁿにおける補集合です。kがネーター体（例えば、kが体または主イデアル領域）である場合、 kのすべてのイデアルは有限生成であるため、すべての開集合は基本開集合の有限和集合となります。 $U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}$ $f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ $V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},$

Vがk ⁿのアフィン部分多様体である場合、V上のザリスキ位相は、単にk ⁿ上のザリスキ位相から継承された部分空間位相です。

幾何学と代数の対応

アフィン多様体の幾何学的構造は、その座標環の代数的構造と深く結びついている。IとJ を、アフィン多様体Vの座標環k [ V ]のイデアルとする。I( V ) をVで消滅するすべての多項式全体の集合とし、イデアルIの根号をとすると、多項式fの何らかの冪がIに含まれるような集合となる。基底体が代数的に閉じている必要があるのは、アフィン多様体は自動的にヒルベルトの零点定理を満たすからである。すなわち、kが代数的に閉じた体であるJのイデアルに対して、 $k[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ ${\sqrt {I}}$ $k[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ $\mathrm {I} (\mathrm {V} (J))={\sqrt {J}}.$

k [ V ]の根基イデアル (それ自身根基であるイデアル) は、Vの代数的部分集合に対応する。実際、根基イデアルIおよびJに対して、である場合に限り、したがって、 V( I ) = V( J ) である場合に限り、I = J となる。さらに、アフィン代数集合Wを取り、 Wのすべての点で消えるすべての関数の集合であるI( W ) を返す関数は、零点定理によって、根基イデアルに代数集合を割り当てる関数の逆である。したがって、アフィン代数集合と根基イデアルとの対応は一対一である。アフィン代数集合の座標環は既約(冪零でない) であり、環RのイデアルIが根基である場合と商環R/Iが既約である場合に限り、同様である。 $I\subseteq J$ $\mathrm {V} (J)\subseteq \mathrm {V} (I).$

座標環の素イデアルはアフィン部分多様体に対応する。アフィン代数集合 V( I ) は、真イデアルJとKがIと等しくない場合（この場合は）にI = JK となる場合、かつその場合のみ、他の2つの代数集合の和集合として表すことができる。これは、I が素数でない場合に限り成立する。アフィン部分多様体とは、まさに座標環が整域となるものである。これは、イデアルが素数となる場合と、その環をイデアルで割った商が整域となる場合とが等しいためである。 $\mathrm {V} (I)=\mathrm {V} (J)\cup \mathrm {V} (K)$

k [ V ]の極大イデアルは、Vの点に対応します。IとJ が根基イデアルである場合、である場合に限ります。極大イデアルは根基的であるため、極大イデアルは、 Vの点である極小代数集合（適切な代数的部分集合を含まないもの）に対応します。Vが座標環を持つアフィン多様体である場合、この対応は、写像によって明示されます。ここで、は多項式の商代数Rの像を表します。代数的部分集合が点である場合、かつその場合に限り、部分集合の座標環は体です。これは、環と極大イデアルの商が体であるためです。 $\mathrm {V} (J)\subseteq \mathrm {V} (I)$ $I\subseteq J.$ $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,$ $(a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,$ ${\overline {x_{i}-a_{i}}}$ $x_{i}-a_{i}.$

次の表は、アフィン多様体の代数部分集合と対応する座標環のイデアルについて、この対応をまとめたものです。

代数集合の種類	理想のタイプ	座標環の種類
アフィン代数部分集合	急進的な理想	縮小リング
アフィン多様体	最高の理想	積分領域
ポイント	最大の理想	分野

アフィン多様体の積

$アフィン多様体の積は、同型A n \times A m = A n + m$ を使って定義でき $、$ この新しいアフィン空間に積を埋め込むことができます。 $A n$ と $A m が$ それぞれ座標環 $k [x 1,..., x n]$ と $k [y 1,..., y m]$ を持つとすると、それらの積 $A n + m$ は座標環 $k [x 1,..., x n, y 1,..., y m]$ を持ちます。 $V = V (f 1,..., f N)を$ $A n$ の代数的部分集合とし $、$ $W = V (g 1,..., g M)を$ $A m$ の代数的部分集合とします $。$ すると、各 $f i は$ $k [x 1,..., x n]$ の多項式となり、各 $g j$ $はk [y 1,..., y m]$ になります。 $V$ と $W$ の積は、 $A$ $n$ $+$ $m$ における代数集合 $V$ $\times$ $W$ $=$ $V$ $($ $f$ $1$ $,...,$ $f$ $N$ $,$ $g$ $1$ $,...,$ $g$ $M$ $)として定義される$ $。V$ $と$ $W$ がそれぞれ既約であれば、この積は既約である。^[5]

$A n \times A m$ 上のザリスキー位相は、2つの空間上のザリスキー位相の位相積ではない。実際、積位相は基本開集合 $U f = A n - V (f)$ と $T g = A m - V (g) の積によって生成される。$ したがって、 $k [x 1,..., x n, y 1,..., y m]に含まれるが、$ $k [x 1,..., x n]の多項式と$ $k [y 1,..., y m]$ の多項式との積として得られない多項式は、 $A n \times A m$ 上のザリスキー位相では閉じているが $、$ 積位相では閉じていない代数集合を定義する。

アフィン多様体の射

アフィン多様体の射、または正則写像は、各座標において多項式となるアフィン多様体間の関数である。より正確には、アフィン多様体 $V \subseteq k n$ と $W \subseteq k m$ に対して、 $V$ から $W$ への射は、 $φ$ $:$ $V$ $\to$ $W$ の写像であり、 $φ$ $($ $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $n$ $) = ($ $f$ $1$ $($ $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $n$ $), ...,$ $f$ $m$ $($ $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $n$ $))$ の形式をとる。ここで、 $f$ $i$ $\in$ $k$ $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $]$ であり、各 $i$ $= 1, ...,$ $m$ $に対してである。$ これらは、アフィン多様体のカテゴリにおける射である。

$代数閉体k 上のアフィン多様体の射と、逆方向の$ $k$ 上のアフィン多様体の座標環の準同型との間には一対一対応がある。このため、 k 上のアフィン多様体とその座標環との間に一対一対応があるという事実と合わせて、 $k$ 上のアフィン多様体の圏は $k$ 上のアフィン多様体の座標環の圏と双対である $。$ $k$ 上のアフィン多様体の座標環の圏は、 $まさに$ $k$ 上の有限生成冪零自由代数の圏である $。$

より正確には、アフィン多様体の各射 $φ$ $:$ $V$ $\to$ $W$ に対して、座標環の間に（反対方向に）準同型 $φ$ $#$ $:$ $k$ $[$ $W$ $] \to$ $k$ $[$ $V$ $]が存在し、そのような準同型に対して、座標環に関連付けられた多様体の射が存在する。これは明示的に示すことができる$ $。V$ $\subseteq$ $k$ $n$ と $W$ $\subseteq$ $k$ $m$ を、それぞれ座標環 $k$ $[$ $V$ $] =$ $k$ $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $] /$ $I$ と $k$ $[$ $W$ $] =$ $k$ $[$ $Y$ $1$ $, ...,$ $Y$ $m$ $] /$ $J$ を持つアフィン多様体とする。φ $:$ $V$ $\to$ $W$ $を$ 射とする。実際、多項式環 $θ$ $:$ $k$ $[$ $Y$ $1$ $, ...,$ $Y$ $m$ $] /$ $J$ $\to$ $k$ $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $] /$ $I$ 間の準同型は環 $k$ $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $]$ を介して一意に因数分解し、準同型 $ψ$ $:$ $k$ $[$ $Y$ $1$ $, ...,$ $Y$ $m$ $] /$ $J$ $\to$ $k$ $[$ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $]は$ $Y$ $1$ $, ...,$ $Y$ $m$ の像によって一意に決定されます $。$ したがって、各準同型 $φ$ $#$ $:$ $k$ $[$ $W$ $] \to$ $k$ $[$ $V$ $]は、各$ $Y$ $i$ の像の選択に一意に対応します。次に、 $V$ から $W$ への任意の射 $φ$ $= ($ $f$ $1$ $, ...,$ $f$ $m$ $)が与えられた場合$ $、準同型$ $φ$ $#$ $:$ $k$ $[$ $W$ $] \to$ $k$ を構築できます。 $[V]$ は $Y$ $i$ をに送信します。ここでは $k$ $[$ $V$ ]における $f$ $i$ の同値類です $。$ ${\overline {f_{i}}},$ ${\overline {f_{i}}}$

同様に、座標環の各準同型に対して、アフィン多様体の逆方向の射が構成できる。上の段落を反映すると、準同型 $φ$ $#$ $:$ $k$ $[$ $W$ $] \to$ $k$ $[$ $V$ $]は$ $Y$ $i$ $をk$ $[$ $V$ $]$ の多項式に写す。これは $、$ $φ$ $($ $a$ $1$ $, ... ,$ $a$ $n$ $)$ $= ($ $f$ $1$ $( a 1 , ...,$ $a$ $n$ $), ...,$ $f$ $m$ $($ $a$ $1$ $, ...$ $,$ $a$ $n$ ))で $定義される多様体$ $φ :$ $V \to$ $W$ $の$ $射に対応する。$ $f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})$

構造束

以下に説明する構造層を備えたアフィン多様体は、局所的に環化された空間です。

座標環Aを持つアフィン多様体Xが与えられたとき、 k代数の層は、をU上の正則関数の環とすることで定義されます。 ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$

Aの各fについて、 D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0 }とする。これらはXの位相の基底となるため、開集合D ( f ) 上の値によって決定される。（参照：加群の層#加群に付随する層） ${\mathcal {O}}_{X}$

ヒルベルトのヌルステレンザッツに本質的に依存する重要な事実は次のとおりです。

主張— Aの任意のfに対して。 $\Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=A[f^{-1}]$

証明: ^[6]包含 ⊃ は明らかである。その逆については、g を左辺とし、はイデアルであるとする。x がD ( f )に含まれる場合、g はx の近くで正則なので、となるxの開アフィン近傍D ( h )が存在する。すなわち、h ^m gはAに含まれるので、x はV ( J )には含まれない。言い換えれば、となり、したがってヒルベルトの零点定理から、 fはJの根号に含まれる、すなわちとなる。 $J=\{h\in A|hg\in A\}$ $g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]$ $V(J)\subset \{x|f(x)=0\}$ $f^{n}g\in A$ $\square$

この主張は、まず第一に、Xが「局所環」空間であることを意味する。

{\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}

ここで、である。第二に、この主張はが層であることを示唆している。実際、関数がD ( f ) 上で（点ごとに）正則であれば、その関数はD ( f )の座標環になければならない、つまり、「正則性」はつなぎ合わせることができる、と述べている。 ${\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

したがって、は局所的に環化された空間です。 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$

アフィン性に関するセールの定理

セールの定理は、アフィン多様体のコホモロジー的特徴付けを与える。つまり、代数多様体がアフィンであるための必要十分条件は、 X上の任意の準連接層Fに対してである、としている。(カルタンの定理 B を参照)。これにより、直線束のコホモロジー群が中心的な関心事である射影的なケースとは著しく対照的に、アフィン多様体のコホモロジー的研究は存在しないことになる。 $H^{i}(X,F)=0$ $i>0$

アフィン代数群

代数的に閉体 $k$ 上のアフィン多様体 $G$ は、次の条件を満たすときアフィン代数群と呼ばれます。

乗算 $μ$ $:$ $G$ $\times$ $G$ $\to$ $G$ 、これは結合公理に従う正則射です。つまり、 G のすべての点 $f$ 、 $g$ 、 $hに対して$ $μ$ $($ $μ$ $($ $f$ $、$ $g$ $)、$ $h$ $) =$ $μ$ $($ $f$ $、$ $μ$ $($ $g$ $、$ $h$ $))$ $と$ なります $。$
$G$ の任意の $g$ に対して $μ$ $($ $e$ $,$ $g$ $) =$ $μ$ $($ $g$ $,$ $e$ $) =$ $g$ となるような単位元 $e$ $。$
逆射、つまり $G$ のすべての $gに対して$ $μ$ $($ $ι$ $($ $g$ $),$ $g$ $) =$ $μ$ $($ $g$ $,$ $ι$ $($ $g$ $)) =$ $e$ $と$ なる正則全単射 $ι : G \to G。$

これらは一緒に、多様体上の群構造を定義します。上記の射は $、通常の群記法を用いて書かれることが多いです。μ$ $($ $f$ $,$ $g$ $)は$ $f$ $+ g$ 、 $f \cdot g 、$ または $fg$ と書かれ、逆射 $ι (g)は$ $- g$ または $g -1$ と書かれます $。$ 乗法記法を用いると、結合法則、恒等法則、逆法則は次のように書き直すことができます。 $f (gh) = (fg) h$ 、 $ge = eg = g$ 、 $gg -1 = g -1 g = e$ 。

アフィン代数群の最も顕著な例は、次数 $n$ の一般線型群 $GL n (k)である$ $。これは$ ベクトル空間 $k$ $n$ の線型変換の群であり $、$ $k$ $n$ の基底が固定されている場合 $、これは$ $kを要素とする$ $n$ $\times$ $n$ の可逆行列の群と同値である $。任意のアフィン代数群は$ $GL$ $n$ $($ $k$ $)$ の部分群と同型であることが示される。このため、アフィン代数群はしばしば線型代数群と呼ばれる。

アフィン代数群は有限単純群の分類において重要な役割を果たします。これは、 $リー$ $型$ の群はすべて、有限体であるアフィン代数群の $F q$ 有理点の集合であるためです。

一般化

著者がアフィン多様体の基底体が代数的に閉じていることを要求する場合（本稿のように）、代数的に閉じていない体上の既約アフィン代数集合はアフィン多様体の一般化となる。この一般化には、実数上のアフィン多様体が含まれる。
アフィン多様体の開集合は準アフィン多様体と呼ばれるので、すべてのアフィン多様体は準アフィン多様体である。任意の準アフィン多様体は、準射影多様体でもある。
アフィン多様体は代数多様体の局所チャートの役割を果たす。つまり、射影多様体などの一般代数多様体は、アフィン多様体を貼り合わせることで得られる。多様体に付随する線型構造もまた（自明に）アフィン多様体である。例えば、接空間や代数ベクトル束のファイバーなどである。
§ 構造層で示した構成は、代数幾何学への現代的なアプローチであるスキーム理論で用いられる一般化を可能にする。アフィン多様体は（カテゴリの同値性を除き）アフィンスキームの特殊な場合であり、アフィンスキームは可換環のスペクトルに同型な局所環空間である。各アフィン多様体には、それに関連付けられたアフィンスキームがある。V $(I)が$ $k$ $n$ のアフィン多様体で座標環 $R$ $=$ $k$ $[$ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $] /$ $I$ $である場合、$ $V(I)$ に対応するスキームは $Spec($ $R$ $)、つまり$ $R$ の素イデアルの集合である $。$ アフィンスキームには「古典点」があり、これは多様体の点（したがって多様体の座標環の極大イデアル）に対応する。また、多様体の各閉部分多様体に対する点もある（これらの点は座標環の素で極大でないイデアルに対応する）。これは、各閉部分多様体に、その部分多様体において稠密な開点を割り当てることにより、アフィン多様体の「ジェネリック点」というより明確な概念を作り出す。より一般的には、アフィンスキームが代数閉体 $k$ 上で被約、既約、かつ有限型である場合、アフィン多様体という $。$

注記

^ リード（1988）
^ ハーツホーン、第1章、補題4.2
^ ミルン（2017）、第5章
^ リード（1988年）、94ページ。
^ これは代数的に閉じた体上では、整域のテンソル積は整域となるためです。整域#特性を参照してください。
^ Mumford 1999、第I章、§4。命題1。

参照

座標環上の表現

参考文献

元の記事は、対応するフランス語の記事の部分的な人間翻訳として書かれました。

ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR 0463157
フルトン、ウィリアム(1969). 代数曲線(PDF) . アディソン・ウェスリー. ISBN 0-201-510103。
ミルン、ジェームズ・S. (2017). 「代数幾何学」(PDF) . www.jmilne.org . 2021年7月16日閲覧.
ミルン、ジェームス S.エタールコホモロジーに関する講義
マンフォード、デイヴィッド(1999). 『多様体とスキームのレッドブック：曲線とそのヤコビアンに関するミシガン講義 (1974) を収録』 . 数学講義ノート. 第1358巻 (第2版).シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X。
リード、マイルズ（1988年）『学部生向け代数幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-35662-8。

[ReidUAG-1] リード（1988）

[2] ハーツホーン、第1章、補題4.2

[3] ミルン（2017）、第5章

[4] リード（1988年）、94ページ。

[5] これは代数的に閉じた体上では、整域のテンソル積は整域となるためです。整域#特性を参照してください。

[6] Mumford 1999、第I章、§4。命題1。