座標ベクトル

Concept in linear algebra

線型代数において、座標ベクトルは、ベクトルを特定の順序付き基底を用いて記述する、順序付き数値リスト（組）として表現したものである。^[1]簡単な例としては、基底を軸とする3次元直交座標系における（5, 2, 1）のような位置が挙げられる。座標は常に、順序付き基底を基準として指定される。基底とそれに関連付けられた座標表現により、ベクトル空間と線型変換を列ベクトル、行ベクトル、行列として具体的に実現することができる。そのため、これらは計算に有用である。

座標ベクトルの考え方は、以下で説明するように、無限次元ベクトル空間にも使用できます。

意味

Vを体F上のn次元ベクトル空間とし、

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$

Vの順序基底とする。すると、任意の に対して、となる基底ベクトルの唯一の線形結合が存在する。 ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

Bに対する座標ベクトルは座標の列である ${\displaystyle v}$

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}$

これは、B に関するの表現 ${\displaystyle v}$、またはの B 表現 ${\displaystyle v}$とも呼ばれます。は の座標と呼ばれます。基底の順序は、座標ベクトルにおける係数の順序を決定するため、ここで重要になります。 ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle v}$

有限次元ベクトル空間の座標ベクトルは、列ベクトルまたは行ベクトルとして行列で表すことができます。上記の表記法では、

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

ここでは行列 の転置です。 ${\displaystyle [v]_{B}^{T}}$ ${\displaystyle [v]_{B}}$

標準的な表現

上記の変換は、VのBに関する標準表現と呼ばれる関数を定義することで機械的に行うことができます。この関数は、すべてのベクトルをその座標表現に変換します。すると、VからF ⁿへの線型変換が成立します。実際、これは同型であり、その逆変換は単純に ${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}$

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

あるいは、最初から上記の関数を と定義し、 が同型であることを認識し、その逆関数を と定義することもできます。 ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

例

例1

を、次数が3以下の代数多項式（つまり、 xの最大の指数が3になる）全体の成す空間とします。この空間は線型であり、以下の多項式によって張られます。 ${\displaystyle P_{3}}$

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$

マッチング

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

多項式に対応する座標ベクトル

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

この表現によれば、微分演算子 d / dx （ Dと記す）は次の行列で表されます。

${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

この方法を使用すると、可逆性、エルミートか反エルミートかそのどちらでもない、スペクトルと固有値など、演算子の特性を調べるのが簡単になります。

例2

パウリ行列は、スピン固有状態をベクトル座標に 変換するときにスピン演算子を表します。

基底変換行列

BとCをベクトル空間Vの2つの異なる基底とし、基底ベクトルb ₁、b ₂、…、b _nのC表現からなる列を持つ行列でマークします。 ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

この行列はBからCへの基底変換行列と呼ばれます。これは上の自己同型とみなすことができます。Bで表される任意のベクトルv は、次のようにCの表現に変換できます。 ${\displaystyle F^{n}}$

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

基底の変換において、変換行列Mの上付き文字と座標ベクトルvの下付き文字が同じであることに注目してください。一見すると打ち消し合って、下付き文字だけが残っているように見えます。これは記憶を助けるかもしれませんが、実際にはそのような打ち消しや類似の数学的な操作は行われていないことに注意することが重要です。

推論

行列Mは可逆行列であり、M ^−1はCからBへの基底変換行列である。言い換えれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$

無限次元ベクトル空間

V が体F上の無限次元ベクトル空間であるとする。次元がκであれば、Vにはκ個の元からなる基底が存在する。順序が選択されると、基底は順序付き基底とみなすことができる。Vの元は基底の元の有限線形結合であり、これにより、前述のとおり一意の座標表現が得られる。唯一の違いは、座標のインデックス セットが有限ではないことである。与えられたベクトルvは基底元の有限線形結合であるため、 vの座標ベクトルの唯一の非ゼロ要素は、 vを表す線形結合の非ゼロ係数となる。したがって、vの座標ベクトルは、有限個の要素を除いてゼロである。

（おそらく）無限次元ベクトル空間間の線型変換は、有限次元の場合と同様に、無限行列を用いてモデル化できる。V からVへの変換の特殊なケースについては、線型環に関する完全な記事で説明されている。

参照

• 基準の変更
• 座標空間

参考文献

1. ハワード・アントン、クリス・ロレス（2010年4月12日）。『初等線形代数：応用編』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 978-0-470-43205-1。

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