コシーフ

数学の一分野である位相幾何学において、余層は層と双対な概念であり、ボレル・ムーアホモロジーの研究に役立つ。^{[さらなる説明が必要]}

意味

位相空間 に、 の開集合を対象とする開集合の圏を、 のときはいつでもからへの（唯一の）射と関連付ける。圏 を固定する。すると、に値を持つ前余層は共変関手となり、すなわち は以下で構成される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Op} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F:\operatorname {Op} X\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$

• の各開集合に対して、内のオブジェクト、および ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• 開集合の各包含に対して、 ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle \iota _{U,V}:F(U)\to F(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
  • ${\displaystyle \iota _{U,U}=\mathrm {id} _{F(U)}}$すべての人のために ${\displaystyle U}$
  • ${\displaystyle \iota _{U,V}\circ \iota _{V,W}=\iota _{U,W}}$いつでも。 ${\displaystyle U\subset V\subset W}$

が小さな余極限を許容するアーベル圏であるとする。すると、余層とは、以下の数列が成り立つような前余層である。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle \bigoplus _{(\alpha ,\beta )}F(U_{\alpha ,\beta })\xrightarrow {\sum _{(\alpha ,\beta )}(\iota _{U_{\alpha ,\beta },U_{\alpha }}-\iota _{U_{\alpha ,\beta },U_{\beta }})} \bigoplus _{\alpha }F(U_{\alpha })\xrightarrow {\sum _{\alpha }\iota _{U_{\alpha },U}} F(U)\to 0}$$

は、およびであるすべての開集合のコレクションに対して正確です。(これは層条件の双対であることに注意してください。) 近似的に、 における正確性は、上のすべての元がより小さな開集合 上にある元の有限和として表現できることを意味し、 における正確性は、同じ元の 2 つの表現を比較する場合、それらの差が、交差点 上にある元の有限コレクションによって表現される必要があることを意味します。 ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha }}$ ${\displaystyle U:=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha ,\beta }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }F(U_{\alpha })}$ ${\displaystyle U_{\alpha ,\beta }}$

同様に、は余束である。 ${\displaystyle F}$

• 全ての開集合およびに対して、はおよびの押し出しであり、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F(U\cup V)}$ ${\displaystyle F(U\cap V)\to F(U)}$ ${\displaystyle F(U\cap V)\to F(V)}$
• 任意の上向き開集合族に対して、標準射は同型である。この定義が前の定義と一致することを示すことができる。^[1]しかし、この定義には、がアーベル圏でない 場合でも意味を成すという利点がある。 ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha }}$ ${\displaystyle \varinjlim F(U_{\alpha })\to F\left(\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

例

アーベル群の前余層の例としては、特異な前余層 が挙げられ、これは上の特異-鎖の自由アーベル群に開集合を投影する。特に、のときはいつでも自然包含が存在する。しかし、特異単体はより小さな部分に分割できないため、これは余層ではない。これを修正するために、 を重心分割準同型とし、 を図式の余極限 と 定義する。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{k}(U;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \iota _{U,V}:C_{k}(U;\mathbb {Z} )\to C_{k}(V;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle s:C_{k}(U;\mathbb {Z} )\to C_{k}(U;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\overline {C}}_{k}(U;\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} \ldots .}$$

余極限において、単体はそのすべての重心分割と同一視される。ルベーグ数補題を用いて、を に送る前余層が実際には余層であることを示すことができる。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\overline {C}}_{k}(U;\mathbb {Z} )}$

位相空間の連続写像を固定する。すると、をとする位相空間の前余層（ 上）は余層となる。^[2] ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

注記

1. ブレドン、グレン・E.（1997年1月24日）『束理論』シュプリンガー、ISBN 9780387949055。
2. ルリー、ジェイコブ. 「非アーベル的ポアンカレ双対性による玉川数、講義9：代数幾何学における非アーベル的ポアンカレ双対性」(PDF) . 数学部、高等研究所.

参考文献

• ブレドン、グレン・E.（1997年1月24日）『束理論』シュプリンガー、ISBN 9780387949055。
• ブレドン、グレン (1968). 「コシーブスとホモロジー」.パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス. 25 : 1– 32. doi : 10.2140/pjm.1968.25.1 .
• ファンク、J. (1995)。 「コシーフの表示ロケール」。カイエ・ド・トポロジーとジオメトリー・ディフェレンティエル・カテゴリケ。36 (1): 53–93 .
• カリー、ジャスティン・マイケル (2015). 「位相的データ解析と余層」.応用数理誌. 32 (2): 333– 371. arXiv : 1411.0613 . doi :10.1007/s13160-015-0173-9. S2CID  256048254.
• Positselski, Leonid (2012). 「反接余弦」. arXiv : 1209.2995 [math.CT].
• ロシアック、ダニエル（ 2022年10月25日）『層理論の事例解説』MIT出版。ISBN 9780262362375。
• ルリー、ジェイコブ. 「非アーベル的ポアンカレ双対性による玉川数、講義8：位相幾何学における非アーベル的ポアンカレ双対性」(PDF)。数学研究科、高等研究所。
• カリー、ジャスティン (2014). 「§ 3、特に Thm 3.10」.束、余束、そしてその応用(博士論文). ペンシルバニア大学. p. 34. arXiv : 1303.3255 . ProQuest  1553207954.

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