シグマ加法集合関数

Mapping function

数学において、加法集合関数（かほうせつせつせつかんげん）とは、集合を数値に写像する関数 であり、 2つの互いに素な集合の和集合におけるその関数の値が、これらの集合におけるその関数の値の合計に等しいという性質を持つ。すなわち、この加法性が任意の2つの集合に対して成り立つならば、任意の有限個の集合に対しても成り立つ。すなわち、k個の互いに素な集合（kは有限数）の和集合における関数の値は、これらの集合におけるその関数の値の合計に等しい。したがって、加法集合関数は有限加法集合関数とも呼ばれる（これらの用語は同義である）。ただし、有限加法集合関数は、無限個の集合の和集合に対しては加法性を持たない可能性がある。σ加法集合関数は、可算無限個の集合に対しても加法性を持つ関数であり、すなわち、 $\mu$ ${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$

加法性とシグマ加法性は、測度の特に重要な性質です。これらは、複数の対象を考慮した際に、集合の合計の大きさ（長さ、面積、体積）に関する直感的な性質がどのように作用するかを抽象化したものです。加法性はσ加法性よりも弱い条件です。つまり、σ加法性は加法性を必然的に伴います。

モジュラー集合関数という用語は加法集合関数と同等です。以下のモジュラー性を参照してください。

加法的な（または有限加法的な）集合関数

を、 に値を持つ集合の代数上で定義された集合関数とする（拡張実数直線を参照）。この関数は ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mu }$添加物またはと がにおける互いに素な集合である場合、 は有限加法的 となりこの結果、加法的関数は と の両方を値として取ることはできません。式は未定義だからです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$ $${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

数学的帰納法によって、任意の互いに素な集合に対して加法関数が成り立つこと を証明することができる。 $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

σ加法集合関数

がσ-代数であると仮定する。における任意の対素集合の列に対して が 成り立つ場合、 は可算加法性または𝜎-加法性であると言われる。以下に示すように、任意の 𝜎-加法関数は加法性を持つが、その逆は成り立たない。 ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),}$$ ${\displaystyle \mu }$

τ加法集合関数

シグマ代数に加えて、位相があると仮定する。任意の測定可能な開集合の有向族に対して、が-加法的であると言う。特に、が（コンパクト集合に関して）内正則であるならば、 -加法的である。^[1] ${\textstyle {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \tau }$

プロパティ

加法セット関数の有用な特性は次のとおりです。 ${\displaystyle \mu }$

空集合の値

またはは定義域内のすべての集合に代入するか、 は定義域内のすべての集合に代入します。証明：加法性は、すべての集合に対して が成り立つことを意味します（空定義域のエッジケースでは、 の唯一の選択肢が空集合自身になる可能性もありますが、それでも機能します）。 の場合、この等式は正または負の無限大によってのみ満たされます。 ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}$

単調性

が非負の場合、つまり、 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$ ${\displaystyle \mu }$単調集合関数。同様に、が非正であれば ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}$

モジュール性

集合族上の集合関数 は ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$モジュラーセット関数ととが要素である場合、評価は、上記 のプロパティと呼ばれます。 ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cup B,}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$ $${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)}$$モジュール性と以下の議論は、加法性がモジュール性を意味することを証明しています。

与えられた条件と証明：と とを書き、和集合のすべての集合が互いに素である。加法性は、等式の両辺が等しいことを意味する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}$ ${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)}$ ${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)}$ ${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$ ${\displaystyle \mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).}$

ただし、劣モジュラ性と劣加法性の関連する特性は、互いに同等ではありません。

モジュール性は複素関数のコンテキストでは異なる無関係な意味を持つことに注意してください。モジュラー形式を参照してください。

差集合

とが定義されている場合、 ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$

例

𝜎加法関数の例としては、実数の冪集合上で定義される関数があり、 ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

が互いに素な実数集合の列である 場合、どの集合にも0が含まれないか、あるいはそのうちの1つだけが0を含む。どちらの場合も、等式は成立する。 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

𝜎加法関数のその他の例については、 measureとsigned measure を参照してください。

電荷は、 ^[2]にマッピングされる有限加法集合関数として定義されます（有界電荷に関する情報についてはba空間を参照してください。ここで、電荷が有界であると言うのは、その値域がRの有界サブセットであることを意味します）。 ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle 0.}$

σ加法ではない加法関数

σ加法性を持たない加法関数の例は、実数のルベーグ集合上で公式 によって 定義される を考えることで得られる。ここで はルベーグ測度、バナッハ極限を表す。 は を満たし、 とすると、 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lim }$ ${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}$ ${\displaystyle \sup A<\infty }$ ${\displaystyle \mu (A)=0.}$

この関数が加法的であることは、極限の線形性を用いることで確認できます。この関数がσ加法的でないことは、 の素集合の列を考えることで分かります。これらの集合の和は正の実数であり、和に を適用すると 1 になりますが、個々の集合のいずれかに を適用すると 0 になるため、 の和も 0 となり、これは反例を証明しています。 $${\displaystyle A_{n}=[n,n+1)}$$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (A_{n})}$

一般化

任意の加法モノイド（例えば任意の群、あるいはより一般的にはベクトル空間）に値を持つ加法関数を定義できます。シグマ加法性を定義するには、さらに、その集合上で列の極限の概念を定義する必要があります。例えば、スペクトル測度はバナッハ代数に値を持つシグマ加法関数です。量子力学からの別の例としては、正の作用素値測度があります。

参照

• 加法写像 – Z加群準同型
• ハーン・コルモゴロフの定理 – 前測度を測度に拡張する定理Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 測定（数学）  - 質量、長さ、面積、体積の一般化
• σ有限測度 – 測度論における概念
• 符号測度 – 数学における測度の一般化された概念
• 劣モジュラー集合関数 – 収束が減少する集合から実数への写像
• 劣加法集合関数
• τ加法性
• ba空間– 与えられたシグマ代数上の有界電荷の集合

この記事にはPlanetMathの additive の資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。

参考文献

1. DH Fremlin測度論、第4巻、Torres Fremlin、2003年。
2. バスカラ・ラオ、KPS;バスカラ ラオ、M. (1983)。電荷理論: 有限加法測度の研究。ロンドン：アカデミックプレス。 p. 35.ISBN​ 0-12-095780-9. OCLC  21196971。

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