余接空間

Dual space to the tangent space in differential geometry

微分幾何学において、余接空間（こっせきかん）とは、滑らかな（または微分可能な）多様体上の点に関連付けられたベクトル空間である。滑らかな多様体上の任意の点に対して余接空間を定義できる。一般的に、余接空間 は 、における接空間の双対空間として定義されるが、より直接的な定義も存在する（後述）。余接空間の元は、余接ベクトルまたは接共ベクトルと呼ばれる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

プロパティ

連結多様体上の点におけるすべての余接空間は、同じ次元を持ち、これは多様体の次元に等しい。多様体のすべての余接空間は「接着」（つまり、結合して位相を与える）することで、次元が2倍の新しい微分可能多様体、すなわち多様体の余接束を形成することができる。

ある点における接空間と余接空間はどちらも同じ次元の実ベクトル空間であり、したがって多くの可能な同型を介して互いに同型である。リーマン計量またはシンプレクティック形式を導入すると、ある点における接空間と余接空間の間に自然な同型が生じ、任意の接余ベクトルに標準接ベクトルが対応付けられる。

正式な定義

線形関数としての定義

を滑らかな多様体とし、を内の点とする。を における接空間とする。すると、 における余接空間はの双対空間として定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=(T_{x}{\mathcal {M}})^{*}}$

具体的には、余接空間の元は上の線型関数である。つまり、すべての元は線型写像である。 ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \alpha :T_{x}{\mathcal {M}}\to F}$

ここで、 は対象とするベクトル空間の基礎体、例えば実数体である。 の元は余接ベクトルと呼ばれる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$

代替定義

場合によっては、接空間を参照せずに余接空間を直接定義したいことがあります。そのような定義は、上の滑らかな関数の同値類として定式化できます。非公式には、 の近くで 2 つの滑らかな関数fとg が同じ 1 次挙動を示す場合、それらの線型テイラー多項式に類似した点において同値であるといえます。2 つの関数fとg がの近くで同じ 1 次挙動を示すのは、関数f − gの導関数がでゼロになる場合のみです。その場合、余接空間は の近くでの関数の可能なすべての 1 次挙動から構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

を滑らかな多様体とし、を内の点とする。を で消滅するにおけるすべての関数のイデアルとし、をの形式を持つ関数の集合とする（ただし）。すると、 とはともに実ベクトル空間となり、 2つの空間が互いに同型であることを示すことにより、余接空間を商空間として定義できる。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle C^{\infty }\!({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\textstyle \sum _{i}f_{i}g_{i}}$ ${\displaystyle f_{i},g_{i}\in I_{x}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}}$

この定式化は、代数幾何学におけるザリスキ接空間を定義するための余接空間の構成に類似している。この構成は局所環空間にも一般化される。

関数の微分

を滑らかな多様体とし、を滑らかな関数とする。点におけるの微分は写像である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(X_{x})=X_{x}(f)}$

ここでは における接線ベクトルであり、微分として考えることができます。つまり、はの 方向のリー微分であり、 となります。同様に、接線ベクトルを曲線の接線と考え、 と書くこともできます。 ${\displaystyle X_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X(f)={\mathcal {L}}_{X}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f(X)=X(f)}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(\gamma '(0))=(f\circ \gamma )'(0)}$

どちらの場合でも、は 上の線型写像であり、したがって における接コベクトルです。 ${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$

このとき、点における微分写像は、を に写す写像として定義できます。微分写像には以下の特性があります。 ${\displaystyle \mathrm {d} :C^{\infty }(M)\to T_{x}^{*}(M)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$

1. ${\displaystyle \mathrm {d} }$は線形写像である。定数およびに対して、 ${\displaystyle \mathrm {d} (af+bg)=a\mathrm {d} f+b\mathrm {d} g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (fg)_{x}=f(x)\mathrm {d} g_{x}+g(x)\mathrm {d} f_{x}}$

微分写像は、上で示した余接空間の2つの定義を結びつけるものである。すべてのに対して となるようなものが存在するので、 ${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle g_{i},h_{i}\in I_{x}}$ ${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}h_{i}}$

${\begin{array}{rcl}\mathrm {d} f_{x}&=&\sum _{i}\mathrm {d} (g_{i}h_{i})_{x}\\&=&\sum _{i}(g_{i}(x)\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}h_{i}(x))\\&=&\sum _{i}(0\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}0)\\&=&0\end{array}}$

のすべての関数が微分零点を持つように、任意の2つの関数 に対して、 が成り立つ。ここで、対応する剰余類 に線型写像を代入することにより、 との間に同型写像を構築できる。与えられた核と傾きに対して一意の線型写像が存在するため、これは同型であり、2つの定義の同値性を確立する。 ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle g\in I_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} (f+g)=\mathrm {d} (g)}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I_{x}/I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +I_{x}^{2}}$

スムーズマップの引き戻し

多様体間のあらゆる微分可能写像が接空間間の線型写像（プッシュフォワード写像または微分写像と呼ばれる）を誘導するのと同様に、 ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f_{*}^{}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N}$

このような写像はすべて、余接空間の間に線型写像（プルバックと呼ばれる）を誘導しますが、今回は方向が逆になります。

${\displaystyle f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M.}$

プルバックは当然のことながら、プッシュフォワードの双対（または転置）として定義されます。定義を紐解くと、次のようになります。

${\displaystyle (f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x}),}$

どこに、そして。すべてのものがどこに住んでいるかを注意深く記録してください。 ${\displaystyle \theta \in T_{f(x)}^{*}N}$ ${\displaystyle X_{x}\in T_{x}M}$

接線ベクトルを、ある点で消える滑らかな写像の同値類で定義すると、引き戻しの定義はさらに簡単になります。を で消える滑らかな関数とします。すると、 （ と表記）によって決定される共ベクトルの引き戻しは、次のように与えられます 。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {d} g}$

${\displaystyle f^{*}\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f).}$

つまり、によって決定される、 で消滅する関数の同値類です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g\circ f}$

外部の力

余接空間の-次外冪は、 と表記され、微分幾何学および代数幾何学におけるもう一つの重要な対象です。- 次外冪のベクトル、より正確には余接束の- 次外冪の切断は、微分 -形式と呼ばれます。これらは、接ベクトル上の交代多重線型写像と考えることができます。このため、接余ベクトルはしばしば1 形式と呼ばれます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{x}^{*}{\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

参考文献

• アブラハム、ラルフ・H. ;マースデン、ジェロルド・E. (1978) 『力学の基礎』ロンドン：ベンジャミン・カミングス、ISBN 978-0-8053-0102-1
• ヨスト、ユルゲン（2005年）、リーマン幾何学と幾何学解析（第4版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-25907-7
• Lee, John M. (2003), 『滑らかな多様体入門』、Springer Graduate Texts in Mathematics、第218巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95448-6
• ミスナー、チャールズ・W. ;ソーン、キップ;ウィーラー、ジョン・アーチボルド(1973) 『重力』 WH フリーマン、ISBN 978-0-7167-0344-0

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